最全面二项式定理重点知识点总结.docx

1、最全面二项式定理重点知识点总结名师归纳总结名师总结优秀知识点二项式定理一、二项式定理：n0n1n 1bkn kbkn nabC aC aC aC b（nN）等号右边的多项式叫做nnnnnC kab(k0,1,2,3n) 叫做二项式系数。的二项展开式，其中各项的系数n对二项式定理的理解：n1项（1）二项展开式有（2）字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1 到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0 逐项加 1 到na, b，等式都成立，通过对a,b 取不同（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a1，bx的 特 殊值 ， 可为 某些问题 的 解 决带来 方便 。

2、在 定 理 中 假 设， 则n0n1kn kn n1xC xC xC xC x （ nN）nnnnn（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式ab 展开，得到一个多项式；n另一方面，也可将展开式合并成二项式abk n k kb二、二项展开式的通项：TC ak 1nkn k k二项展开式的通项TkCn a bk1 项，它体现了(k0,1,2,3n)是二项展开式的第1二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用kn k k对通项 TkCn a b( k0,1,2,3n)

3、 的理解：1（1）字母 b 的次数和组合数的上标相同a 与b 的次数之和为n（2）（3）在通项公式中共含有a, b, n, k,Tk 1 这 5 个元素，知道4 个元素便可求第5 个元素精品学习资料第 1 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点312n 1n例 1Cn 3Cn9Cn3 Cn等于（）nn441nnA 4B。 3 41C。D.33(1 2 x) 7 的展开式的第四项的系数；例 2（ 1）求( x 1) 9 的展开式中x3x 的系数及二项式系数（ 2）求三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即0n1n 1 ,2n 2 ,

4、kn k ,CnCn ,CnCn CnCnCnCn增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n2kn 偶数：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即CnCn；maxn 12n 12k n如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项的二项式系数相等并最大，即CCCnnmaxn2 ，令0n1nn n1) n2 n ；二项展开式的各系数的和等于CCC(1a1，b1即a1 ，b1 即 奇 数 项 的 二项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和相 等 ，令02132n 1CnCnCnCn11例题： 写出( xy) 的展开式中：（1）二项式系数最

5、大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和精品学习资料第 2 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点四、多项式的展开式及展开式中的特定项)n（1）求多项式(a aa的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用12n二项式定理展开。1x2(x22)3 的展开式例题： 求多项式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。求 (1 x)2 (1x)5 的展开式中x3 的系数例题：n12 x例题：（ 1）如果在x的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的4有理项。精

6、品学习资料第 3 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点31xx2（ 2）求的展开式的常数项。k【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定2 x)7x2x7 ，求：例题： 已知(1aa xaa0127（1）a1a2a7 ；（ 2） a1a3a5a7 ；（3） | a0| a1 | a7 | .精品学习资料第 4 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数

7、n的展开式n22n（ 3）证明有关的等式和不等式。如证明：2 nn3, nN11取中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法nx) 的近似值。当 n 不是很大， | x | 比较小时可以用展开式的前几项求(1(1.05)6 的计算结果精确到例题：0.01 的近似值是（）A 1.23B1.24C1.33D 1.34（2）整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式k 的和或差的形式，用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k 通常为1，若 k 为其他数，则需对幂的底数k 再次构造再利用二项式定理展开，这里的和或差的形式再展

8、开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了要注意余数的范围， 对给定的整数 a,b(b0) ，有确定的一对整数q 和 r ，满足 abqr ，其中 b 为除数， r 为余数，r0, b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数求 201363 除以例题：7 所得的余数精品学习资料第 5 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点7 nC 1 7n 1C 2 7 n2C n1 7 被例题：若 n 为奇数，则9 除得的余数是（）nnnA 0B。 2C。 7D.81 ) nn当 nN且 n 1，求证3例题：2(1【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综

9、 合 测 试精品学习资料第 6 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.610的展开式中，x1在的系数为（）x3464A6BCD9C109C1027C1027C10n的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1 项相2 已知ab0,b4a，ab等，那么正整数n 等于（）A4B9C10D 111ana) 的展开式的第三项与第二项的系数的比为3已知（11 2，则n 是（）32A 10B11C12D 1310 被8 除的余数是（）453A1B2C3D 76 的计算结果精确到0.01

10、 的近似值是（）5 (1.05)A 1.23B1.24C1.33D 1.34n1x6二项式N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开(n2x4式有理项的项数是（）A 1B2C 3D 411n)3 +x 2展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=2 72，则展开7设 (3xx 2式的项的系数是（）12AB1C2D 32 658在 (1 xx ) 的展开式中x 的系数为（）A 4B5C6D 7精品学习资料第 7 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点n1x19 (35x ) 展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）A330B462C

11、680D 79045410 (x1) (x1) 的展开式中，x 的系数为（）A 40B10C40D 4552n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，11二项式 (1+sinx)则 x 在0 ， 2 内的值为（）562356或或或或ABCD63633567 的展开式中 ,含x4 项的系数是等差数列a12在 (1+x) +(1+x) +(1+x)n=3n 5 的（）A第 2 项B第 11 项C第 20 项D第 24 项二、填空题：本大题满分16 分，每小题4 分，各题只要求直接写出结果 .12 x29913(x)展开式中x的系数是.44x22 的值为 .14若，则2x3aa

12、xaaaaaa0140241332n15若 ( xx ) 的展开式中只有第6 项的系数最大，则展开式中的常数项是.1999 ，有下列四个命题：16对于二项式(1-x)1000999 ；展开式中T 1000 = C1999x展开式中非常数项的系数和是1；展开式中系数最大的项是第1000 项和第 1001 项；1999 除以2000 的余数是 1当 x=2000 时， (1-x)精品学习资料第 8 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74 分 .1xn617（ 12 分）若 ( x) 展开式中第二、三、四项的二项

13、式系数成等差数列6（）求 n 的值；（）此展开式中是否有常数项，为什么？142 x )n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项18 （ 12 分）已知 (式系数最大的项的系数精品学习资料第 9 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点012nn对任意an19（ 12 分） 是否存在等差数列，使a1C na 2Cna3Cnan1Cnn2N*的通项公式；若不存在，请说明理由n都成立？若存在，求出数列an20（ 12分）某地现有耕地100000 亩，规划10 年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少

14、亩（精确到1 亩）？精品学习资料第 10 页，共 11 页名师归纳总结名师总结优秀知识点mn21. （12 分）设 f(x)=(1+x) +(1+x) (m、 nN )，若其展开式中，关于x 的一次项系数为11，.f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值，并求出这个最小值试问： m、 n 取何值时，x( x1)( x mm!1)m01 ，这是，其中 xR， m是正整数，且Cx22（ 14 分）规定 Cxmn组合数C（ n、 m 是正整数，且m n）的一种推广315 的值；求 C(1)3C x取得最小值？(2) 设 x，当 x 为何值时，1 2(C )x(3) 组合数的两个性质；mn mmm 1mCnCnCnCnCn.1 .mCx是否都能推广到（ xR，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.精品学习资料第 11 页，共 11 页