最全面二项式定理重点知识点总结.docx

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最全面二项式定理重点知识点总结

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优秀知识点

二项式定理

一、二项式定理：

n

0

n

1

n1b

k

nkbk

nn

a

b

Ca

Ca

Ca

Cb

（

n

N

）等号右边的多项式叫做

n

n

n

n

n

Ck

a

b

（k

0,1,2,3

n）叫做二项式系数。

的二项展开式，其中各项的系数

n

对二项式定理的理解：

n

1项

（1）二项展开式有

（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由

n逐项减

1到0；字母b按升幂排列，从

第一项开始，次数由

0逐项加1到

n

a,b，等式都成立，通过对

a,b取不同

（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数

a

1，b

x

的特殊

值，可

为某

些

问

题的解决

带

来方

便。

在定理中假设

，则

n

0

n

1

k

nk

nn

1

x

Cx

Cx

Cx

Cx（n

N

）

n

n

n

n

n

（4）要注意二项式定理的双向功能：

一方面可将二项式

a

b展开，得到一个多项式；

n

另一方面，也可将展开式合并成二项式

a

b

knkk

b

二、二项展开式的通项：

T

Ca

k1

n

k

nkk

二项展开式的通项

Tk

Cnab

k

1项，它体现了

（k

0,1,2,3

n）

是二项展开式的第

1

二项展开式的项数、

系数、次数的变化规律，

是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特

定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广

泛应用

k

nkk

对通项Tk

Cnab

（k

0,1,2,3

n）的理解：

1

（1）字母b的次数和组合数的上标相同

a与

b的次数之和为

n

（2）

（3）在通项公式中共含有

a,b,n,k,Tk1这5个元素，知道

4个元素便可求第

5个元素

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3

1

2

n1

n

例1．

Cn3Cn

9Cn

3Cn

等于

（

）

n

n

4

4

1

n

n

A．4

B。

34

1

C。

D.

3

3

（12x）7的展开式的第四项的系数；

例2．

（1）求

（x1）9的展开式中

x

3

x的系数及二项式系数

（2）求

三、二项展开式系数的性质：

①对称性：

在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

0

n

1

n1,

2

n2,

k

nk,

Cn

Cn,Cn

CnCn

Cn

Cn

Cn

②增减性与最大值：

在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

n

2

k

n偶数：

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即

Cn

Cn

；

max

n1

2

n1

2

kn

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，

即

C

C

C

n

n

max

n

2，令

0

n

1

n

nn

1）n

2n；

③二项展开式的各系数的和等于

C

C

C

（1

a

1，

b

1即

a

1，

b

1即

④奇数项的二

项式系数和与偶数项的二项式系数和

相等，

令

0

2

1

3

2n1

Cn

Cn

Cn

Cn

11

例题：

写出

（x

y）的展开式中：

（1）二项式系数最大的项；

（2）项的系数绝对值最大的项；

（3）项的系数最大的项和系数最小的项；

（4）二项式系数的和；

（5）各项系数的和

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四、多项式的展开式及展开式中的特定项

）n

（1）求多项式

（aa

a

的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用

1

2

n

二项式定理展开。

1

x2

（x2

2）3的展开式

例题：

求多项式

（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通

项再分析。

求（1x）2（1

x）5的展开式中

x3的系数

例题：

n

1

2x

例题：

（1）如果在

x

的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的

4

有理项。

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3

1

x

x

2

（2）求

的展开式的常数项。

k

【思维点拨】

求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定

五、展开式的系数和

求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定

2x）7

x2

x7，求：

例题：

已知

（1

a

ax

a

a

0

1

2

7

（1）

a1

a2

a7；

（2）a1

a3

a5

a7；

（3）|a0

|

|a1|

|a7|.

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六、二项式定理的应用：

1、二项式定理还应用与以下几方面：

（1）进行近似计算

（2）证明某些整除性问题或求余数

n

的展开式

n

2

2n

（3）证明有关的等式和不等式。

如证明：

2n

n

3,n

N

1

1

取

中的四项即可。

2、各种问题的常用处理方法

（1）近似计算的处理方法

n

x）的近似值。

当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求

（1

（1.05）6的计算结果精确到

例题：

0.01的近似值是

（

）

A．1.23

B．1.24

C．1.33

D．1.34

（2）整除性问题或求余数的处理方法

①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式

k的和或差的形式，

②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数

k通常为

1，若k为其他数，则需对幂的底数

k再次构造

再利用二项式定理展开，这里的

和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了

③要注意余数的范围，对给定的整数a,b（b

0），有确定的一对整数

q和r，满足a

bq

r，

其中b为除数，r为余数，

r

0,b

，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，

要注意转换成正数

求201363除以

例题：

7所得的余数

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7n

C17n1

C27n

2

Cn

17被

例题：

若n为奇数，则

9除得的余数是

（

）

n

n

n

A．0

B。

2

C。

7

D.8

1）n

n

当n

N

且n>1，求证

3

例题：

2

（1

【思维点拨】

这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定

综合测试

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一、选择题：

本大题共

12个小题，每小题

5分，共

60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的

.

6

10

的展开式中，

x

1．在

的系数为

（

）

x

3

4

6

4

A．

6

B．

C．

D．

9C10

9C10

27C10

27C10

n

的展开式按

a的降幂排列，

其中第

n项与第

n+1项相

2．已知

a

b

0,b

4a，

a

b

等，那么正整数

n等于

（

）

A．4

B．9

C．10

D．11

1

a

n

a

）的展开式的第三项与第二项的系数的比为

3．已知（

11∶2，则

n是

（

）

3

2

A．10

B．11

C．12

D．13

10被

8除的余数是

（

）

4．53

A．1

B．2

C．3

D．7

6的计算结果精确到

0.01的近似值是

（

）

5．（1.05）

A．1.23

B．1.24

C．1.33

D．1.34

n

1

x

6．二项式

N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开

（n

2

x

4

式有理项的项数是

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4

1

1

n

）

3+x2

展开式的各项系数之和为

t，其二项式系数之和为

h，若

t+h=272，则展开

7．设（3x

x2

式的

项的系数是

（

）

1

2

A．

B．1

C．2

D．3

26

5

8．在（1x

x）的展开式中

x的系数为

（

）

A．4

B．5

C．6

D．7

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n

1

x

1

9．（

3

5

x）展开式中所有奇数项系数之和等于

1024，则所有项的系数中最大的值是

（

）

A．330

B．462

C．680

D．790

4

5

4

10．（

x

1）（x

1）的展开式中，

x的系数为

（

）

A．－40

B．10

C．40

D．45

5

2

n

的展开式中，末尾两项的系数之和为

7，且系数最大的一项的值为

，

11．二项式（1+sinx）

则x在[0，2π]内的值为

（

）

5

6

2

3

5

6

或

或

或

或

A．

B．

C．

D．

6

3

6

3

3

5

6

7的展开式中,含

x4项的系数是等差数列

a

12．在（1+x）+（1+x）+（1+x）

n=3n－5的

（

）

A．第2项

B．第11项

C．第20项

D．第24项

二、填空题：

本大题满分

16分，每小题

4分，各题只要求直接写出结果.

1

2x

2

9

9

13．

（x

）

展开式中

x

的系数是

.

4

4

x

2

2的值为

.

14．若

，则

2x

3

a

ax

a

a

a

a

a

a

0

1

4

0

2

4

1

3

3

2

n

15．若（x

x）的展开式中只有第

6项的系数最大，则展开式中的常数项是

.

1999，有下列四个命题：

16．对于二项式

（1-x）

1000

999；

①展开式中

T1000=－C1999

x

②展开式中非常数项的系数和是

1；

③展开式中系数最大的项是第

1000项和第1001项；

1999除以

2000的余数是1．

④当x=2000时，（1-x）

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其中正确命题的序号是

．（把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题：

本大题满分

74分.

1

x

n

6

17．（12分）若（x

）展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．

6

（１）

求n的值；

（２）此展开式中是否有常数项，为什么？

1

4

2x）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于

37，求展式中二项

18．（12分）已知（

式系数最大的项的系数．

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0

1

2

n

n

对任意

an

19．（12分）是否存在等差数列

，使

a1Cn

a2Cn

a3Cn

an

1Cn

n

2

N*

的通项公式；若不存在，请说明理由．

n

都成立？

若存在，求出数列

a

n

20．（12

分）某地现有耕地

100000亩，规划

10年后粮食单产比现在增加

22%，人均粮食占

有量比现在提高

10%。

如果人口年增加率为

1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少

亩（精确到

1亩）？

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m

n

21.（12分）设f（x）=（1+x）+（1+x）（m、n

N），若其展开式中，关于

x的一次项系数为

11，

.

f（x）的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值

试问：

m、n取何值时，

x（x

1）

（xm

m!

1）

m

0

1，这是

，其中x∈R，m

是正整数，且

Cx

22．（14分）规定Cx

m

n

组合数

C

（n、m是正整数，且

m≤n）的一种推广．

3

15的值；

求C

（1）

3

Cx

取得最小值？

（2）设x>０，当x为何值时，

12

（C）

x

（3）组合数的两个性质；

m

nm

m

m1

m

Cn

Cn

Cn

Cn

Cn

①

②

.

1.

m

Cx

是否都能推广到

（x∈R，m

是正整数）的情形？

若能推广，则写出推广的形式

并给出证明；若不能，则说明理由

.

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