精品第四章微分中值定理和导数的应用.docx

1、精品第四章微分中值定理和导数的应用第四章微分中值定理和导数的应用4.1微分中值定理本节主要介绍微分学的几个中值定理，它们将可导函数在两点的函数值与这两点之间某一点的导数值联系在一起，揭示了函数的整体性质与局部性质之间的关系，从几何上讲，微分中值定理给出的是整体量（割线斜率）与局部量（切线斜率）之间的关系.费马引理：设函数y=f（x）在的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或），则.4.1.1罗尔定理罗尔（Rolle）定理：若函数f（x）满足条件：（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），则在（a,b）内至少有一点，使得.导数为等于零的点称为函数的驻点.

2、罗尔定理的几何意义是：如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么在曲线弧AB上至少存在一点C（），在该点处曲线的切线平行于x轴，如图4-1所示.注意罗尔定理的三个条件是结论的充分条件，即如果缺少某一条件，结论就可能不成立，但是即使三个条件都不满足，结论中的仍可能存在，例如：（1）函数在区间-2，2上除不存在外，满足罗尔定理的其他条件，但在（-2,2）内找不到一点使得.（2）函数在区间0，1上除了x=0处不连续外，满足罗尔定理的其他条件，但在（0,1）内，因此在（0,1）内找不到一点使得.（3）函数在区间0,1上除外，满足罗尔定理的其他条件，但在

3、（0,1）内，因此在（0,1）内找不到一点使得.例1.验证函数在区间-1,上满足罗尔定理的条件，并求定理中的值.答疑编号5解：由于是（）内的初等函数，所以在区间-1,上连续，在区间（-1，）内可导，且.又因为，所以f（x）在-1,上满足罗尔定理的条件.令，解得，即，使.例2.下列函数中，在区间-1,1上满足罗尔定理条件的是（）.（A）（B）（C）（D）答疑编号5答案：B解析：在x=0处无定义，与中，.例3.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足，求出定理中的值（1）（2）答疑编号5解：（1）显然y=ln（sinx）在上连续，在上有定义，且所以满足罗尔定理，令（2）在x=0处无定义

4、，所以不满足罗尔定理.例4.判断函数的导数方程有几个不同实根.答疑编号5解：由于为多项式函数，故在区间与上连续，在区间（）与（）内可导，且.根据罗尔定理，在（）内至少存在一点，使得，即为的一个实根；在（）内至少存在一点为的一个实根.又为一元二次方程，至多有两个实根，故方程有两个不同实根.例5.不求导数，判断函数的导数有几个零点，并指出它们所在的区间.答疑编号5解：由于为多项式函数，故在区间上连续，在区间内可导，且.根据罗尔定理：在内至少存在一点，使得在内至少存在一点，使得在内至少存在一点，使得又为一元三次方程，至多有三个零点，故方程有三个不同实根，分别位于区间内,4.1.2拉格朗日中值定理拉格

5、朗日（Lagrange）中值定理：设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则在（a,b）内至少有一点，使得.显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.如图.割线AB的斜率为,点C处切线的斜率为，拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在弧AB上至少有一点C（），该点处的切线平行于割线AB.推论1：如果函数f（x）在区间（a,b）内任意一点的导数都等于零，那么函数f（x）在（a，b）内是一个常数.推论1：如果函数f（x）在（a，b）

6、内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即，这里C是一个确定的常数.例6.验证函数在区间-1,0上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理中的值.答疑编号5解：显然在-1,0上连续，在内有定义，即在内可导，故在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，根据拉格朗日中值定理，得，所以.例7.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足，求出定理中的值.（1）（2）答疑编号5解：（1）显然在0,2上连续，在（0,2）上有定义，所以满足拉格朗日中值定理，即所以（2）在x=1处无定义，所以不满足拉格朗日中值定理.例8.证明：答疑编号5证：当x=1时，等式显然成立.当

7、时，设，由于所以又因为，故例9.利用拉格朗日中值定理，证明下列不等式：（1）；（2）；（3）答疑编号5解：（1）y=arctanx在a,b上连续，在（a,b）内有定义，（2）y=sinx在x,y上连续，y=cosx在（x,y）内有定义，sinxsiny=cos（x-y）xy，（x,y）.（3）y=ln（1+x）在0,x上连续，在（0,x）有定义，则又因为11+0时，xln（1+x）.答疑编号5证：令f（x）=x-ln（1+x）,则.当x0时，所以f（x）在（0，+）内单调增加，故f（x）f（0）.又因为f（0）=0,所以f（x）=x-ln（1+x）0,即xln（1+x）例5.当x1时，.答疑编

8、号5解：令则，当x1时，f（x）0，所以f（x）在（1,+）内单调增加，故f（x）f（1）=0，所以4.4函数的极值及其求法定义4.1设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，对于邻域内异于x0的任意一点x均有f（x）f（x0），则称f（x0）是函数f（x）的极大值（或极小值），称x0是函数f（x）的极大值点（或极小值点）。函数的极大值和极小值统称极值；函数的极大值点和极小值点统称为极值点。显然，函数的极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点x0附近局部范围的所有点的函数值相比较而言。极大值可能小于极小值，如图4-3，x1，x3是函数y=f（x）的极大值点，x2，x4是极小值点，而f（x1）,

9、，求连续函数f（x）在闭区间a,b上的最值的步骤如下：（1）求出f（x）在（a,b）内和不存在的点，记为x1,x2,xn.（2）计算函数值f（a）,f（x1）,f（x2）,，f（xn）,f（b）.（3）函数值f（a）,f（x1）,f（x2）,，f（xn）,f（b）中的最大者为最大值，最小者为最小值.例1.（1）若f（x0）是连续函数f（x）在a,b上的最小值，则（）.（A）f（x0）一定是f（x）的极小值（B）（C）f（x0）一定是区间端点的函数值（D）x0或是极值点，或是区间端点答疑编号5答案：D（2）函数y=x1+2的最小值点x=（）.（A）0（B）1（C）2（D）3答疑编号5答案：B例2

10、.求答疑编号5解：由，令又不存在的点为x=0.列表如下：x10f（x）50所以ymax=f（1）=5,ymin=f（0）=0.例3.（1）y=ln（1+x2）,x1,2;（2）y=xex,x0,4；（3）答疑编号5解：（1），令f（1）=ln2，f（0）=0，f（2）=ln5,所以ymin=f（0）=0，ymax=f（2）=ln5.（2）令f（0）=0，f（4）=4e4，所以ymin=f（0）=0，ymax=f（4）=4e4.（3）令当0x0，当x1时，y0所以y在（0,1）上单调增加，在（1，）上单调减小，因为所以当函数f（x）在a,b上连续，且在（a,b）内存在唯一极值点时，则此极值点即为

11、函数f（x）在a,b上的最值点.在处理实际问题中的最小值和最大值时，应建立目标函数（即欲求其最值的那个函数），并确定其定义区间，将原问题转化为函数的最值问题.特别地，如果所考虑的实际问题存在最小值或最大值，并且所建立的目标函数f（x）有唯一的驻点x0,则f（x0）即为所求的最小值或最大值.例4.设有一块边长为a的正方形薄铁皮，从其四角截去同样的小正方形，做成一个无盖的方盒，问截去的小正方形边长为多少时，做成的盒子的容积最大？答疑编号5解：设截去的小正方形边长为x,则所做成方盒的容积为由由所以当x=时，容积V取得最大值.例5.从半径为R的圆形铁片上截下圆心角为的扇形，做成一个圆锥形的漏斗，问取多

12、大时，漏斗的容积最大？答疑编号5解：设所做漏斗的底面半径为r，高为h，则漏斗的容积V为由，令，得唯一驻点h=由因此，当时，漏斗的容积最大.例6.要造一圆柱形油罐，体积为V，问底面半径r和高h取何值时能使表面积最小？此时底面半径与高的比为多少？答疑编号5解：由表面积令所以当表面积最小，此时例7.设某企业每周生产某产品x件的总成本为（单元：百元），需求函数x=813P，其中P是产品的单价，问每周生产多少件该产品时，该企业获利最大？最大利润为多少？答疑编号5解：设产量为x件的总收益函数为R（x），总利润函数为L（x），则由，得唯一驻点x=27因为，所以当x=27时，L（x）取得最大值.最大利润为L（

13、27）=228（百元）例8.设某产品的需求函数为p=103Q，其中p为价格，Q为需求量，且平均成本.问当产品的需求量为多少时，可使利润最大？并求此最大利润.答疑编号5解：设产量为Q件的总收益函数为R（Q），总利润函数为L（Q）,则R（Q）=PQ=（103Q）Q=10Q3Q2LQ）=R（Q）C（Q）=10Q4Q2L（Q）=108Q，令L（Q）=0，则，L（Q）=80，所以当时，利润最大，最大利润为例9.某工厂生产某产品，日总成本为c元，其中固定成本为50元，每天多生产一个单位产品，成本增加10元，该产品的需求函数为Q=502p，求当Q为多少时，工厂日总利润最大？答疑编号5解：设产量为Q件的总收益函数为R（Q）,总利润函数为L（Q）,则C（Q）=50+10Q,L（Q）=Q+15，令L（Q）=0，则Q=15，L（Q）=10，所以当Q=15时，总利润最大.例10.某厂生产某种商品，其年产量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的年库