精品第四章微分中值定理和导数的应用.docx
《精品第四章微分中值定理和导数的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精品第四章微分中值定理和导数的应用.docx（43页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
精品第四章微分中值定理和导数的应用
第四章 微分中值定理和导数的应用
4.1 微分中值定理
本节主要介绍微分学的几个中值定理，它们将可导函数在两点的函数值与这两点之间某一点的导数值联系在一起，揭示了函数的整体性质与局部性质之间的关系，从几何上讲，微分中值定理给出的是整体量（割线斜率）与局部量（切线斜率）之间的关系.
费马引理：
设函数y=f（x）在的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或），则.
4.1.1 罗尔定理
罗尔（Rolle）定理：
若函数f（x）满足条件：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
（3）f（a）=f（b），
则在（a,b）内至少有一点，使得.
导数为等于零的点称为函数的驻点.
罗尔定理的几何意义是：
如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么在曲线弧AB上至少存在一点C（），在该点处曲线的切线平行于x轴，如图4-1所示.
注意罗尔定理的三个条件是结论的充分条件，即如果缺少某一条件，结论就可能不成立，但是即使三个条件都不满足，结论中的仍可能存在，例如：
（1）函数在区间[-2，2]上除不存在外，满足罗尔定理的其他条件，但在（-2,2）内找不到一点使得.
（2）函数在区间[0，1]上除了x=0处不连续外，满足罗尔定理的
其他条件，但在（0,1）内，因此在（0,1）内找不到一点使得.
（3）函数在区间[0,1]上除外，满足罗尔定理的其他条件，但在（0,1）内，因此在（0,1）内找不到一点使得.
例1.验证函数在区间[-1,]上满足罗尔定理的条件，并求定理中的值.
[答疑编号5]
解：
由于是（）内的初等函数，所以在区间[-1,]上连续，在区间（-1，）内可导，且.
又因为，所以f（x）在[-1,]上满足罗尔定理的条件.
令，解得，即，使.
例2.下列函数中，在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
[答疑编号5]
答案：
B
解析：
在x=0处无定义，与中，.
例3.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？
如果满足，求出定理中的值
（1）
（2）
[答疑编号5]
解：
（1）显然y=ln（sinx）在上连续，在上有定义，
且所以满足罗尔定理，
令
（2）在x=0处无定义，所以不满足罗尔定理.
例4.判断函数的导数方程有几个不同实根.
[答疑编号5]
解：
由于为多项式函数，故在区间[]与[]上连续，在区间（）与（）内可导，且.
根据罗尔定理，在（）内至少存在一点，使得，即为的一个实根；在（）内至少存在一点为的一个实根.
又为一元二次方程，至多有两个实根，故方程有两个不同实根.
例5.不求导数，判断函数的导数有几个零点，并指出它们所在的区间.
[答疑编号5]
解：
由于为多项式函数，故在区间上连续，在区间内可导，且.
根据罗尔定理：
在内至少存在一点，使得在内至少存在一点，使得在内至少存在一点，使得
又为一元三次方程，至多有三个零点，故方程有三个不同实根，分别位于区间内,
4.1.2 拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理：
设函数f（x）满足条件：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导，
则在（a,b）内至少有一点，使得.
显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.
如图.割线AB的斜率为,点C处切线的斜率为，拉格朗日中值定理的几何意义是：
如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在弧AB上至少有一点C（），该点处的切线平行于割线AB.
推论1：
如果函数f（x）在区间（a,b）内任意一点的导数都等于零，那么函数f（x）在（a，b）内是一个常数.
推论1：
如果函数f（x）在（a，b）内每一点的导数与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即，这里C是一个确定的常数.
例6.验证函数在区间[-1,0]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理中的值.
[答疑编号5]
解：
显然在[-1,0]上连续，在内有定义，即在内可导，故在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，
根据拉格朗日中值定理，得
，
所以.
例7.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？
如果满足，求出定理中的值.
（1）
（2）
[答疑编号5]
解：
（1）显然在[0,2]上连续，
在（0,2）上有定义，所以满足拉格朗日中值定理，即
所以
（2）在x=1处无定义，所以不满足拉格朗日中值定理.
例8.证明：
[答疑编号5]
证：
当x=±1时，等式显然成立.
当时，设，由于
所以
又因为，
故
例9.利用拉格朗日中值定理，证明下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）
[答疑编号5]
解：
（1）y=arctanx在[a,b]上连续，在（a,b）内有定义，
（2）y=sinx在[x,y]上连续，y’=cosx在（x,y）内有定义，ξ｜
｜sinx－siny｜=｜cosξ·（x-y）｜≤｜x－y｜，ξ∈（x,y）.
（3）y=ln（1+x）在[0,x]上连续，在（0,x）有定义，则
又因为1<1+ξ<1+x，
所以即
4.2 洛必达法则
如果当x→（可以为）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，通常称这类极限为不定式，记为“”或“”，对于这类极限，即使它存在，也不能直接使用第二章中商的极限的运算法则.
4.2.1 基本不定式“”型或“”型的极限
定理4.3 设函数f（x）,g（x）满足条件：
（1）；
（2）在点的某个去心邻域内，与都存在，且；
（3）存在或为无穷大，则.
定理4.4 设函数满足条件：
（1）；
（2）在点的某个去心邻域内，都存在，且；
（3）存在或为无穷大，则.
上面的定理中将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.
使用洛必达法则时必须注意：
（1）必须是“”或“”型不定式.
（2）还是“”或“”型不定式，且函数仍满足定理中满足的条件，则可以继续使用洛必达法则，即
.
（3）若无法判定的极限状态，或能判定它的极限振荡而不存在，则洛必达法则失效，此时，需用别的方法来求.
（4）若把定理中的换成此时只要把定理中的条件
（2）做相应的修改，定理仍然成立.
例1.
（1）
（2）
（3） （4）
（5）
[答疑编号5]
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例2.求下列极限：
（1）;
（2）;
（3）;（4）.
[答疑编号5]
解：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
例3.求下列极限：
（1）
（2）
[答疑编号5]
解：
（1）.
（2）.
例4.求.
[答疑编号5]
解：
由于当时，，故
例5.求.
[答疑编号5]
解：
这个极限属于“”型不定式，但
振荡不存在，故洛必达法则失效，需用其他方法求此极限，事实上，有
.
例6.
（1）下列极限问题中，不能够使用洛必达法则的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
[答疑编号5]
答案：
A
解析：
，此时无极限，故洛必达法则失效.
（2）下列极限问题中，能够使用洛必达法则的是（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
[答疑编号5]
答案：
C
解析：
，可以使用洛必达法则.
4.2.2 其他不定式
未定型分为7种,
例7.求下列极限：
（1）
（2）
（3） （4）
（5）
[答疑编号5]
解：
（1）.
（2）
.
（3）.
（4）
（5）.
例8.设,是连续函数，求a 的值.
[答疑编号5]
解：
4.3 函数单调性的判定
定理4.5（单调性判定定理）设函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导.
（1）若在（a,b）内,则f（x）在[a,b]上单调增加.
（2）若在（a,b）内，则f（x）在[a,b]上单调减少.
定理的证明可由拉格朗日中值定理推得，这里从略.
注意：
（1）如果定理中的[a,b]换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍然成立.
（2）如果在（a,b）内，且等号仅在个别点处成立，结论仍然成立。
例1.，是函数f（x）在（a,b）内单调增加的（ ）.
（A）必要条件（B）充分条件
（C）充要条件（D）无关条件
[答疑编号5]
答案：
B
判定函数f（x）单调性的步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域.
（2）求，找出或不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间.
（3）列表，有在各个小区间内的符号确定函数f（x）的单调性.
例2.判断函数的单调性.
[答疑编号5]
解：
函数的定义域为（），它在（-∞，+∞）内可导，且，只有当x=0时，，所以函数在（-∞，+∞）内单调增加.
例3.确定下列函数的单调区间：
（1）
（2）
[答疑编号5]
解：
（1）函数的定义域为（-∞，+∞），又
，
令，得x=-1，x=1.
列表如下：
x
（-∞，-1）
-1
（-1,1）
1
（1，+∞）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
2
↘
-2
↗
注：
表中符号“↗”表示单调增加，“↘”表示单调减少，下同.
所以，f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）内单调增加；在（-1,1）内单调减少.
（2）函数的定义域为（-∞，+∞），又，当x=0时，不存在.
列表如下：
x
（-∞，0）
0
（0，+∞）
-
不存在
+
f（x）
↘
0
↗
所以，f（x）在（-∞，0）内单调减少；在（0，+∞）内单调增加.
例4.证明：
当x>0时，x>ln（1+x）.
[答疑编号5]
证：
令f（x）=x-ln（1+x）,则
.
当x>0时，，所以f（x）在（0，+∞）内单调增加，故f（x）>f（0）.
又因为f（0）=0,所以
f（x）=x-ln（1+x）>0,即x>ln（1+x）
例5.当x>1时，.
[答疑编号5]
解：
令则，
当x>1时，f’（x）>0，所以f（x）在（1,+∞）内单调增加，
故f（x）>f
（1）=0，所以
4.4 函数的极值及其求法
定义4.1 设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，对于邻域内异于x0的任意一点x均有f（x）f（x0）），则称f（x0）是函数f（x）的极大值（或极小值），称x0是函数f（x）的极大值点（或极小值点）。
函数的极大值和极小值统称极值；函数的极大值点和极小值点统称为极值点。
显然，函数的极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点x0附近局部范围的所有点的函数值相比较而言。
极大值可能小于极小值，如图4-3，x1，x3是函数y=f（x）的极大值点， x2，x4是极小值点，而f（x1）< f（x4）。
定理4.6（可导函数取极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则函数f（x）在x0处的导数值为零，即f ’（x0）=0.
定理4.6说明，可导极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是极值点，例如，x=0是函数y=x3
的驻点，但它并不是极值点，另外，对于导数不存在的点，函数也可能取得极值，例如，函数y=∣x∣在x=0处的导数不存在，但在该点却取得极小值0，所以，函数f（x）的可能的极值点在或不存在的点中取到。
下面给出函数极值的判别法。
定理4.7（第一充分条件,一阶导数变号法）设函数f（x）在点x0的某一领域（x0－δ，x0+δ）内连续，在去心邻域（x0－δ，x0）U（x0 ，x0+δ）内可导。
（1）若当x∈（x0－δ，x0）时，；当x∈（x0，x0+δ）时，,则x0是函数f（x）的极大值点。
（2）若当x∈（x0－δ，x0）时，；当x∈（x0，x0+δ）时，,则x0是函数f（x）的极小值点。
（3）若当x∈（x0－δ，x0）U（x0，x0+δ）时，不变号，则x0不是函数f（x）的极值点。
判别函数极值的一般步骤如下：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求，找出定义域内=0或不存在的点，这些点将定义域分成若干区间。
（3）列表，由在上述点两侧的符号，确定其是否为极值点，是极大值点还是极小值点。
（4）求出极值。
例1.
（1）如果，则x0一定是（ ）。
（A）极小值点（B）极大值点
（C）驻点 （D）都不是
[答疑编号5]
解：
C
（2）是函数y=f（x）在点x=x0处有极值的（ ）。
（A）必要条件（B）充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
[答疑编号5]
解：
D
例2.求函数的极值。
[答疑编号5]
解：
函数的定义域是（－∞，+∞），且
令，得驻点x1=－1， x2=0，x3=1
列表如下：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,0）
0
（0，1）
1
（1,+∞）
－
0
－
0
+
0
+
f（x）
↘
非极值
↘
极小值
↗
非极值
↗
所以，函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=0
例3.求函数的单调区间和极值。
[答疑编号5]
解：
函数的定义域是（－∞，+∞），且
令，得驻点x1=1，不存在的点x2=0.
列表如下：
x
（－∞，0）
0
（0,1）
1
（1，+∞）
+
不存在
－
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，函数f（x）在（－∞，0）和（1，+∞）内单调增加，在（0,1）内单调减少；在x=0处取得极大值f（0）=0，在x=1处取得极小值.
当函数f（x）在驻点处有不等于零的二阶导数时，我们往往利用二阶导数的符号来判断函数f（x）的驻点是否为极值点，即有下面的判定定理。
定理4.8 （第二充分条件，二阶导数非零法）设函数f（x）在点x0处有二阶导数，且
（1）若，则函数f（x）在x0处取得极大值。
（2）若，则函数f（x）在x0处取得极小值。
例4.
（1），是函数y=f（x）在点x=x0处有极值（ ）。
（A）必要条件（B）充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
[答疑编号5]
解：
B
（2）若，，则函数y=f（x）在点x=x0处（ ）。
（A）一定有极大值（B）一定有极小值
（C）不一定有极值（D）一定没有极值
[答疑编号5]
解：
C
（3）函数y=f（x）在点x=x0处取极值，则必有（ ）。
（A） （B）
（C） （D）或不存在
[答疑编号5]
解：
D
例5.求函数f（x）=x3－3x的极值。
[答疑编号5]
解：
令，得驻点x1=－1,x2=1
因为，所以函数f（x）在x=－1处取得极大值f（－1）=2;
因为，所以函数f（x）在x=1处取得极小值f
（1）=－2。
例6.试问a为何值时，函数处取得极值？
并求此极值。
[答疑编号5]
解：
又当a=2时,所以f（x）在处取得极大值。
例7.已知函数y=alnx+bx2+3x在x=1及x=2处有极值，求常数a,b的值。
[答疑编号5]
解：
解得，
4.5 函数的最值及其应用
回顾：
定理2.17 若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则存在ξ，η∈[a,b]，使得对任意的x∈[a,b]都有f（ξ） ≤f（x）≤f（η）成立.即f（ξ）是函数f（x）在闭区间[a,b]上的最小值,f（η）是函数f（x）在闭区间[a,b]上的最大值.
最值与极值的区别
极值
最值
不一定连续
连续
内点
端点也可以
>,<
≥，≤
求连续函数f（x）在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下：
（1）求出f（x）在（a,b）内和不存在的点，记为x1,x2,…xn.
（2）计算函数值f（a）,f（x1）,f（x2）,…，f（xn）,f（b）.
（3）函数值f（a）,f（x1）,f（x2）,…，f（xn）,f（b）中的最大者为最大值，最小者为最小值.
例1.
（1）若f（x0）是连续函数f（x）在[a,b]上的最小值，则（ ）.
（A）f（x0）一定是f（x）的极小值 （B）
（C）f（x0）一定是区间端点的函数值（D）x0或是极值点，或是区间端点
[答疑编号5]
答案：
D
（2）函数y=∣x－1∣+2的最小值点x=（ ）.
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
[答疑编号5]
答案：
B
例2.求
[答疑编号5]
解：
由，
令
又不存在的点为x=0.
列表如下：
x
－1
0
f（x）
5
0
所以ymax=f（－1）=5,ymin=f（0）=0.
例3.
（1）y=ln（1+x2）,x∈[－1,2];
（2）y=xex,x∈[0,4]；
（3）
[答疑编号5]
解：
（1），令
f（﹣1）=ln2，f（0）=0，f
（2）=ln5,
所以ymin=f（0）=0， ymax=f
（2）=ln5.
（2）令
f（0）=0，f（4）=4e4，
所以ymin=f（0）=0， ymax =f（4）=4e4.
（3）令
当00，当x>1时，y’<0
所以y在（0,1）上单调增加，在（1，∞）上单调减小，
因为
所以
当函数f（x）在[a,b]上连续，且在（a,b）内存在唯一极值点时，则此极值点即为函数f（x）在[a,b]上的最值点.
在处理实际问题中的最小值和最大值时，应建立目标函数（即欲求其最值的那个函数），并确定其定义区间，将原问题转化为函数的最值问题.特别地，如果所考虑的实际问题存在最小值或最大值，并且所建立的目标函数f（x）有唯一的驻点x0,则f（x0）即为所求的最小值或最大值.
例4.设有一块边长为a的正方形薄铁皮，从其四角截去同样的小正方形，做成一个无盖的方盒，问截去的小正方形边长为多少时，做成的盒子的容积最大？
[答疑编号5]
解：
设截去的小正方形边长为x,则所做成方盒的容积为
由
由
所以当x=时，容积V取得最大值.
例5.从半径为R的圆形铁片上截下圆心角为θ的扇形，做成一个圆锥形的漏斗，问θ取多大时，漏斗的容积最大？
[答疑编号5]
解：
设所做漏斗的底面半径为r，高为h，则
漏斗的容积V为
由，令，得唯一驻点h=
由
因此，当时，漏斗的容积最大.
例6.要造一圆柱形油罐，体积为V，问底面半径r和高h取何值时能使表面积最小？
此时底面半径与高的比为多少？
[答疑编号5]
解：
由
表面积
令
所以当表面积最小，此时
例7.设某企业每周生产某产品x件的总成本为（单元：
百元），
需求函数x=81－3P，其中P是产品的单价，问每周生产多少件该产品时，该企业获利最大？
最大利润为多少？
[答疑编号5]
解：
设产量为x件的总收益函数为R（x），总利润函数为L（x），则
由，得唯一驻点x=27
因为，所以当x=27时，L（x）取得最大值.
最大利润为L（27）=228（百元）
例8.设某产品的需求函数为p=10－3Q，其中p为价格，Q为需求量，且平均成本.问当产品的需求量为多少时，可使利润最大？
并求此最大利润.
[答疑编号5]
解：
设产量为Q件的总收益函数为R（Q），总利润函数为L（Q）,
则
R（Q）=PQ=（10－3Q）·Q=10Q－3Q2
LQ）=R（Q）－C（Q）=10Q－4Q2
L’（Q）=10－8Q，令L’（Q）=0，则，
L’’（Q）=－8<0，
所以当时，利润最大，最大利润为
例9.某工厂生产某产品，日总成本为c元，其中固定成本为50元，每天多生产一个单位产品，成本增加10元，该产品的需求函数为Q=50－2p，求当Q为多少时，工厂日总利润最大？
[答疑编号5]
解：
设产量为Q件的总收益函数为R（Q）,总利润函数为L（Q）,则C（Q）=50+10Q,
L’（Q）=－Q+15，令L’（Q）=0，则Q=15，
L’’（Q）=－1<0，
所以当Q=15时，总利润最大.
例10.某厂生产某种商品，其年产量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的年库
升级会员 