高考试题数学理北京卷解析版.docx

1、高考试题数学理北京卷解析版绝密使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷分第I卷和第n卷两部分。第I卷 至2页、第n卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效， 考试结束后，将本试卷和答题卡。、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1) 集合 P =x Z 0 兰x q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记E为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为E0123p6125ad24125(I )求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(n)求p , q的值；(川)求

2、数学期望E E。(18)(本小题共13分)x已知函数 f ( x)=In(1+ x)- x+_x2( k 0)。2(I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1 , f (1)处的切线方程;(n )求f( x)的单调区间。(19)(本小题共14分)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点0对称，P是动点，且直线 AP与1BP的斜率之积等于-3(I )求动点P的轨迹方程；(n )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点 P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由。(20)(本小题共13分)1 )=,n 0-， 1 对于

3、已知集合 Sn = X X =为 X( 2 - ” Xn xA B b Lb -d |,& -b n|)；A与B之间的距离为d(A,B)=v Iq-bJi /(I)证明：-A,B,C Sn，有A-B Sn，且 d(A_C,B_C) =d(A,B);(n)证明：-A, B,C &,d(A,B),d(AC),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数（川）设P5 & , P中有m（m2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为 （P）.d证明：(P)1 时，f （x） 0，得 Xi （-1,0） , X2 = 0.1 +x k1_k 1_k所以没在区间（_1, ）和（0, ：）上，f （x） 0 ;在区

4、间（ ，0）上，k kf （x） : 01_k 1_ k故f （x）得单调递增区间是（一 1, ）和（0, ：），单调递减区间是（ ，0）k k（19）（共 14 分）（I）解：因为点 B与A（_1,1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1,-1）.设点P的坐标为（x, y）由题意得y -y 1 1x 1 x -1 3化简得2 2x 3y =4(x =二 1).故动点P的轨迹方程为x2 3y2二4（x 二1）（II）解法一：设点P的坐标为（x0,y。），点M , N得坐标分别为（3$皿），（3必）.则直线AP的方程为y -1 1），直线BP的方程为 y 1二也（x1）X。+1 X。1x - 1

5、令 x=3 得 yr43，y2y-X 3x +1于是 L PMN得面积|X2 - 1 |SpmWs yN(3 0xJX0 y0|(3x02)又直线AB的方程为xy=0, |ABF2i2，点P到直线AB的距离d =1 X01 V2于是L pab的面积1SPAB = 2 丨 AB Ld X y0 I又|X0 y F0 ,2 2 5所以(3-Xo)=|Xo -1|，解得 |Xo：3因为X,曲=4，所以y 一罟 故存在点P使得L PAB与L PMN的面积相等，此时点 P的坐标为（？ 土匹）.3 9解法二：若存在点 P使得L PAB与L PMN的面积相等，设点 P的坐标为（X0, y0）1 则2因为|

6、PA M PB I sin . APB = 11 PM 匕 PN |sin . MPN . sin . APB 二 sin . MPN ,所以I Xo 1| _ |3 -Xo I |3-xo|x-1|即(3-x0)2 =|x/ -1|，解得 X2 2 J33因为 X02 - 3y。2 =4，所以 y :9(20)(共 13 分)点P S使得L PAB与L PMN的面积相等，此时点P的坐标为证明： 设A二佝总,），B =（b,t2,.,bn），C = （心）S因为 q，b e 0,1，所以 q b 0,1 ,(i =1,2,，n)从而 A-B =(|耳-b |,|鬼-鸟 务-b I) &n又 d

7、(A-C,B-C)|ai-c|-|b-C|i#由题意知 ai，bi，g 9,1 (i -1,2,., n).当 G =0 时，Ila|-lb -c IFIIa -bi I；当 C =1 时，I|a|-|b -q|F|(1-ai)-(1-bi)F|ai-bi|所以 d(A -C,B -C)= 旧-b | =d(A,B)i 4(II)设人二佝盘,a.) , B 二血,bn) , C = (gg,Cn) S d(代 B k d(A,C)=l , d(B,C)=h.记 O =(0,0,.,0) Sn，由(I)可知d(A, B) =d(A - A, B - A) =d(O, B - A) = kd(A,

8、C) =d(A_A,C _A) = d(O,C _ A) =1d(B,C) =d(B _ A,C _ A) = h所以 |bj p | (i =1,2,., n)中 1 的个数为 k , -ai |(i = 1,2,n)的 1 的个数为I。设t是使|b ai |=|g a |=1成立的i的个数，则h = l +k2t由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数， 即d(代B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数。1(III)d(P) d(A, B),其中v d(A, B)表示P中所有两个元素间距离的总和,Cm A,B A,B中设P种所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1， m-tj个0n则 d(A,B) =、tj (m -tjA,BWP i A2由于 tj (mtj _m(i =1,2，n)4所以 d(A,B) A,B - P2 nm1 nmC2 J一 d(A,B) Cm A,B P 4Cm