高考试题数学理北京卷解析版.docx

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高考试题数学理北京卷解析版

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）

（北京卷）

本试卷分第I卷和第n卷两部分。

第I卷至2页、第n卷3至5页，共150分。

考

试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,

在试卷上作答无效，考试结束后，将本试

卷和答题卡。

、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）集合P={x€Z0兰x<3},M={x€Zx2兰9}，则PIM=

（D）

（B）A8C9

（5）极坐标方程（p-1）（v-二）=（p—0）表示的图形是

（A）两个圆

（B）两条直线

（6）a、b为非零向量。

“a_b”是“函数f（x）=（xa•b）|_（xb-a）为一次函数”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

y-11_0

（7）设不等式组

3x-y3_0

表示的平面区域为

x

D，若指数函数y=a的图像上

5x-3y9乞0

存在区域D上的点，贝Ua的取值范围是

（A）（1,3]

（B）[2,3]

（C）（1,2]

（D）[3,-]

（8）如图，正方体ABCD-AB1CQ1的棱长为2，动点E、F在棱A3上，动点

P,Q分别在棱AD,CD上，若EF=1,AE=x,DQ=y,DP=z（x,y,z大于零），则四面体PEFQ的体积

（A）与x,y,z都有关

（E）与x有关，与y,z无关

（C）与y有关，与x,z无关

（D）与z有关，与x,y无关

第II卷（共110分）

、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分

（9）在复平面内，复数

空对应的点的坐标为。

1-i

2

（10）在厶ABC中,若b=1,c=,3,■C=…，贝y

3

（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：

厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

由图中

数据可知a=。

若要从身高在[120,130），

[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]

内的学生中选取的人数应为

（12）如图，LO的弦ED,CB的延长线交于点A。

若BD_AE,

AB=4,BC=2,AD=3,则DE=;CE=。

斤”X2y27-2Y2

（13）已知双曲线—牙=1的离心率为2，焦点与椭圆1

a2b2259

的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为

（14）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。

设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则f（x）的最小正周期为；y二f（x）在其两个相邻零点间的图像与x轴

所围区域的面积为。

说明：

“正方形FABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。

沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。

类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。

三、解答题：

本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

2

已知函数f（x）=2cos2xsinx-4cosx。

n

（I）求f=（）的值；

3

（n）求f（x）的最大值和最小值。

（16）（本小题共14分）

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE丄AC,EF//AC,AB=2,

CE=EF=1.

（I）求证：

AF//平面BDE

（n）求证：

CFL平面BDE

（川）求二面角A-BE-D的大小。

（17）（本小题共13分）

4

某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为-，第二、

5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p>q），且不同课程是否取得优秀成绩相

互独立。

记E为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

E

0

1

2

3

p

6

125

a

d

24

125

（I）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

（n）求p,q的值；

（川）求数学期望EE。

（18）（本小题共13分）

x

已知函数f（x）=In（1+x）-x+_x2（k>0）。

2

（I）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程;

（n）求f（x）的单调区间。

（19）（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点0对称，P是动点，且直线AP与

1

BP的斜率之积等于--

3

（I）求动点P的轨迹方程；

（n）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：

是否存在点P使得△PAB与厶PMN的

面积相等？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（20）（本小题共13分）

1）=,…n0-，1对}于

已知集合Sn={XX=为X（'2-”Xnx

A—B—bLb-d|,…&-bn|）；

A与B之间的距离为d（A,B）=vIq-bJ

i/

（I）证明：

-A,B,CSn，有A-BSn，且d（A_C,B_C）=d（A,B）;

（n）证明：

-A,B,C&,d（A,B）,d（AC）,d（B,C）三个数中至少有一个是偶数

（川）设P5&,P中有m（m>2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为（P）.

d

证明：

（P）

d2（m-1）

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

（）

，0）.

十、2,0,1）.

22

（II）f（x）=2（2cosx-1）（1-cosx）-4cosx

2

=3cosx-4cosx-1

7

=3（cosx）,xR

33

因为cosx[-1,1]，

所以，当cosx--1时，f（x）取最大值6；当

7

cosx时，f（x）取最小值-

33

（16）（共14分）

证明：

（I）设AC与BD交与点G。

1

因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.

2

所以四边形AGEF为平行四边形.

所以AF//平面EG，

因为EG平面BDE，AF二平面BDE，所以AF//平面BDE.

（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面

相互垂直，且CE-AC,

所以CE—平面ABCD.

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-Xyz

则C（0，0，0），A（近，J2，0），B（0，V2

所以CF=（上2,丄^1），BE=（0,-、.2,1），DE

22

所以

设平面ABE的法向量n=（x,y,z），则

」（x,y,z）L（、2,0,0）=0

'Jx,y,z）L（0,r2,1）=0

所以x=0,且z=.2y,

令y=1,则z二2.

所以n=（0,1八2）.

解：

事件A表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3，由题意知

4

P（A），P（A2）=p，P（A3）=q

5

该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是

1_p（F：

=0）=1--6119，

125125

（II）由题意知

（III）由题意知&=卩（匕=1）=卩（人人乓）+卩（人人2人）+卩（八人2乓）

所以CF_BE,CF_DE.所以CF_BDE.

4

11

=（1—p）（1—q）•p（1-q）•u（1-p）q

5

55

_37

~125

b=P（『：

=2）=1_P（F：

=0）-P（F：

=1）-P（『：

=3）

=58

=125

E$：

=0P（F：

=0）1P（!

：

=1）2PC：

=2）3P（F：

=3）

_9

=5

（18）（共13分）

21

解：

（I）当k=2时，f（x）=1n（1x）-xx,f'（x）12x

1+x

3

由于f

（1）=ln2,f'

（1）=,

2

所以曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为

3

y-ln2（x-1）

2

即3x-2y2ln~2=30

（II）f'（x）=x（kx—，x.（_1「j.

1+x

x当k=0时，f'（x）=.

1+x

所以，在区间（-1,0）上，f'（x）0；在区间（0,=）上，f'（x）：

：

：

0.

故f（x）得单调递增区间是（-1,0），单调递减区间是（0,=）•

当0讣叮时，由f'（x）=x（kx3）=0，得X1=o,X2二口0

1+xk

1_k1_k

所以，在区间（-1,0）和（，「：

）上，f'（x「0；在区间（0,）上,

kk

f'（x）:

:

0

1_k1_k

故f（x）得单调递增区间是（-1,0）和（J：

：

），单调递减区间是（0,）.

kk

x2

当k=1时，f'（x）二

1+x

故f（x）得单调递增区间是（T,：

：

）•

x（kxk-1）/口1-k

当k>1时，f'（x）0，得Xi（-1,0）,X2=0.

1+xk

1_k1_k

所以没在区间（_1,）和（0,•：

：

）上，f'（x）0;在区间（，0）上，

kk

f'（x）:

:

:

0

1_k1_k

故f（x）得单调递增区间是（一1,）和（0,•：

：

），单调递减区间是（，0）

kk

（19）（共14分）

（I）解：

因为点B与A（_1,1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1,-1）.

设点P的坐标为（x,y）

由题意得

y-[y11

x1x-13

化简得

22

x3y=4（x=二1）.

故动点P的轨迹方程为x23y2二4（x二1）

（II）解法一：

设点P的坐标为（x0,y。

），点M,N得坐标分别为（3$皿），（3必）.

则直线AP的方程为y-1•1），直线BP的方程为y1二也」（x—1）

X。

+1X。

—1

x°-1

令x=3得yr4^3，y^2y-X°3

x°+1

于是LPMN得面积

|X°2-1|

SpmWsyN（30xJX0y0|（3x02）

又直线AB的方程为x・y=0,|ABF2i2，

点P到直线AB的距离d=1X0」1V2

于是Lpab的面积

1

SPAB=2丨ABLdXy0I

又|X0y°F0,

225

所以（3-Xo）=|Xo-1|，解得|Xo：

3

因为X,曲=4，所以y°一罟故存在点P使得LPAB与LPMN的面积相等，此时点P的坐标为（？

土匹）.

3’9

解法二：

若存在点P使得LPAB与LPMN的面积相等，设点P的坐标为（X0,y0）

1则

2

因为

|PAMPBIsin.APB=11PM匕PN|sin.MPN.sin.APB二sin.MPN,

所以

IXo1|_|3-XoI|3-xo「|x-1|

即（3-x0）2=|x/-1|，解得X

22J33

因为X02-3y。

2=4，所以y:

9

（20）（共13分）

点PS使得LPAB与LPMN的面积相等，此时点P的坐标为

证明：

⑴设A二佝总,…©），B=（b,t>2,...,bn），C=（^①…心）S

因为q，be{0,1}，所以q—b€{0,1},（i=1,2,…，n）

从而A-B=（|耳-b|,|鬼-鸟务-bI）&

n

又d（A-C,B-C）"||ai-c|-|b-C||

i#

由题意知ai，bi，g9,1（i-1,2,...,n）.

当G=0时，Ila』|-lb-cIFIIa-biI；

当C=1时，I|a』|-|b-q|F|（1-ai）-（1-bi）F|ai-bi|

所以d（A-C,B-C）='旧-b|=d（A,B）

i4

（II）设人二佝盘,…,a.）,B二⑴血,…,bn）,C=（gg,…,Cn）Sd（代B>kd（A,C）=l,d（B,C）=h.

记O=（0,0,...,0）•Sn，由（I）可知

d（A,B）=d（A-A,B-A）=d（O,B-A）=k

d（A,C）=d（A_A,C_A）=d（O,C_A）=1

d（B,C）=d（B_A,C_A）=h

所以|bjp|（i=1,2,...,n）中1的个数为k,-ai|（i=1,2,…,n）的1的

个数为I。

设t是使|b—ai|=|g—a|=1成立的i的个数，则h=l+k—2t

由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，即d（代B）,d（A,C）,d（B,C）三个数中至少有一个是偶数。

1

（III）d（P）d（A,B）,其中vd（A,B）表示P中所有两个元素间距离的总和,

CmA,B®A,B中

设P种所有元素的第i个位置的数字中共有ti个1，m-tj个0

n

则'd（A,B）=、tj（m-tj

A,BWPiA

2

由于tj（m—tj_m（i=1,2，…，n）

4

所以'd（A,B）<

A,B-P

2nm

1nm

C2J一d（A,B）—

CmA,BP4Cm