圆锥曲线的经典中点弦问题.docx

1、圆锥曲线的经典中点弦问题中点弦问题专题练习选择题（共8小题）2 2已知椭圆討牛1，以及椭圆内一点P （4 , 2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（已知A（ 1，2）为椭圆2 2K評内-点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（x+2y+4=0B. x+2y - 4=0C 2x+y+4=0D 2x+y - 4=02 2AB是椭圆号勺二（a b 0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率,AB的中点，贝U Kab?Kom的值为（B. 1 - eC e2 - 1D . 1 - e24 .椭圆 4x2+9y 2=144内有一点P （3 , 2）过点P的弦恰好以P为中点，那么

2、这弦所在直线的方程为（A 3x+2y - 12=0B. 2x+3y - 12=0C 4x+9y - 144=0D 9x+4y - 144=05 若椭圆2仝二1的弦中点（4, 2）,则此弦所在直线的斜率是（36 96已知椭圆2 2壬+丫7二1的一条弦所在直线方程是a2 b2x - y+3=0 ,弦的中点坐标是（-2 , 1）,则椭圆的离心率是B.V22Vs直线y=x+1被椭圆x2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（B.-_H)8 以椭圆（1 , 1 ）为中点的弦所在的直线方程为（A. 4x - 3y - 3=0B. x- 4y+3=0C. 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=011

3、椭圆 4x2+9y 2=14412 .椭圆4x2+9y 2=144内有一点2 213 过椭圆. =1内一定点(9 41 , 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为填空题(共9小题)2 29 过椭圆点M(2，0)引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是一=2 210 已知点(1，1)是椭圆 +今二1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _ _内有一点P( 3,2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为直线方程为 _ _P (3,2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为内的点M (1 , 1)为中点的弦所在直线方程为14 .设AB是椭圆 -.- 的不垂直于对称轴的弦， M

4、为AB的中点，0为坐标原点，则kAB?kOM =内以点P (- 2 , 1 )为中点的弦所在的直线方程为17.直线y=x+2被椭圆x2+2y 2 =4截得的线段的中点坐标是 三.解答题(共13小题)18求以坐标轴为对称轴，一焦点为 (乩伍)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 +的椭圆方程.19.已知M (4 , 2)是直线I被椭圆x2+4y 2=36所截的弦AB的中点，其直线I的方程.20 .已知一直线与椭圆4x2+9y 2 =36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为 M (1 , 1),求直线AB的方程.2 221.已知椭圆丄二1，求以点P (2 , - 1)为中点的弦 AB所在

5、的直线方程.16 4丄22.已知椭圆与双曲线 2x2- 2y2=1共焦点，且过(.二、)(1)求椭圆的标准方程.(2 )求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.23.直线I : x-2y - 4=0与椭圆x2+my 2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P (2, - 1). (1 )求m的值;(2)设椭圆的中心为 0,求厶AOB的面积.2 224. AB是椭圆r - ：中不平行于对称轴的一条弦， M是AB的中点，0是椭圆的中心，求证:a2 /kAB?kOM为定值.25.已知椭圆C:+丄=1和点P (1 , 2 ),直线I经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当I的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方

6、程.26.已知椭圆 专+/二1 .(1 )求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A (2, 1)的直线I与椭圆相交，求I被截得的弦的中点轨迹方程;(3)过点P (老g)且被P点平分的弦所在的直线方程.27.已知椭圆 +y-1.(1)求过点二一一 且被点P平分的弦所在直线的方程;(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过点A (2 , 1)引直线与椭圆交于 B、C两点，求截得的弦 BC中点的轨迹方程.28 .已知某椭圆的焦点是Fi (- 4 , 0 )、F2 (4 , 0 )，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|FiB|+|F 2B|=10，椭圆上不同的两点 A (xi

7、, yi)、C(X2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(I)求该椭圆的方程;(n)求弦ac中点的横坐标.29 . (2010 ?永春县一模)过椭圆内一点M(1 , 1 )的弦 AB .(1 )若点M恰为弦AB的中点，求直线 AB的方程;2 230 .已知椭圆C方程为令+三-二1，直线1：尸疳+肝与椭圆C交于A、B两点，点P (1,弓)(1 )求弦AB中点M的轨迹方程；(2)设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值.的高中数学组卷2014 年 1 月 pa叩an781104参考答案与试题解析选择题（共8小题）2 21 已知椭圆：,以及椭圆内一点P

8、 （4 , 2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（B.考点：椭圆的简单性质.分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出.解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点则，两式相减得(葢+ 兀2) (11-叱）（ + 辽）、369A (X1, y1), B (X2, y2),斜率为 k.又 X1+x 2=8 , y1 +y 2=4 ,专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.代入得 寻碍二Q，解得k= 故选A.点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键.222 已知A （1 , 2）为椭圆 壬+二1内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（ ）4 16A.

9、 x+2y+4=0 B. x+2y - 4=0 C. 2x+y+4=0 D . 2x+y - 4=0考点：直线的一般式方程.专题：计算题.分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案.解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k 2) x2+2k (2 - k) x+k 2 - 4k - 12=0因为A为椭圆的弦的中点， 2k (k- 2) ” H所以 .:,解得k= - 2,所以直线的方程为 2x+y - 4=0 .故选D .点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以

10、及掌握弦中点与中点弦问题.2 2AB是椭圆二利a b3.(a b 0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O是椭圆的中心,e为椭圆的离心率,AB的中点，贝U Kab?Kom的值为( )B. 1 - eC. e2 - 1D . 1 - e2考点：椭圆的简单性质.专题：综合题.分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y,根据韦达定理求得 X1+X2，的表达式，根据直线方程求得y1+y 2的表达式，进而根据点 M为AB的中点，表示出 M的横坐标和纵坐标，求得直线 OM的斜率,进而代入kAB?kOM中求得结果.解答： 解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线 脊消去y得二十利匕bb 2x2+a 2

11、 (kx+c ) 2 - a2b 2=0，即 (b2+k2a2) x2+2a 2kcx+a 2 (c2 - b2) =0所以:X1 +X 2 =所以，M点的横坐标为:M x ( X1+X2 )=-2又: yi =kx 1+cy2=kx 2+c所以 yi+y 2=k(xi+x 2)+2c=所以:所以:kAB?kOM =k X(-1点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，禾u用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题,利用差分法较为简便.4 .椭圆4x2+9y 2=144内有一点P (3 , 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( )A. 3x+2y - 12=0 B

12、. 2x+3y - 12=0 C. 4x+9y - 144=0 D . 9x+4y - 144=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：利用平方差法：设弦的端点为 A (X1, y1), B (X2, y2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及 斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程.解答：解：设弦的端点为 A (X1, y1), B (X2, y2),贝U xi+x 2=6 , yi+y 2=4 ,把A、B坐标代入椭圆方程得， 心+9y J二144，二144，巧-Q (雄1 +盘丿9(严丿)+9 (-y2* 2) =0 ,4

13、X&9X4三即kAB=(X1+X 2) ( X1 - X2) +9(yi+y 2)(yi - y2)=0 ,所以这弦所在直线方程为：y - 2= -Z (X- 3),即 2x+3y - i2=0 .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.5 .若椭圆的弦中点(4, 2),则此弦所在直线的斜率是(B. - 21C .考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (X1, yi) , B (X2, y2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答：解：设此弦所在直线与椭圆相

14、交于点 A (Xi, y i), B (X2, y2).l - l则 示+寸1，云二1，两式相减得 !-H !J!=0 .解得kAB=36 勺 36 9 36 9的一条弦所在直线方程是x - y+3=0 ，弦的中点坐标是(-2 , 1),则椭圆的离心率是1B.返C並D .遞2225A.考点：椭圆的简单性质.专题：计算题.分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与解答:的关系式,从而求得椭圆的离心率.M (- 2 , 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点 A ( xi , yi), B (x2, y2),解：显然七I)(玄尹工)7z=0 ,:,则椭

15、圆的离心率是 e=故选B.点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法,研究弦中点问题时经常采用此方法7 .直线y=x+1被椭圆x2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是( )A.B.(寺-寺考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y 2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论.解答： 解：将直线y=x+1代入椭圆3x2+4x - 2=0弦的中点横坐标是乂=丄X2代入直线方程中，

16、得 y=3弦的中点是(-上，二)33故选B.x2+2y 2=4 中，得 x2+2 (x+1 ) 2=4点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.L228.以椭圆-内一点M (1 , 1 )为中点的弦所在的直线方程为()4A. 4x - 3y - 3=0B. x- 4y+3=0C. 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题.分析:设直线方程为 y-仁k(x - 1)，代入椭圆2 2-化简，根据xi+x 2=2 ,求出斜率k的值，即得所求的直线方程.解答:解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y - 1=k ( x -

17、 1),16代入椭圆(4k2+1 ) x2+8 (k - k2 ) x+4k 2 - 8k - 12 .由题意可得X1+X 2=故直线方程为=2 ,.k=-y - 1=-丄(x - 1),即 x+4y - 5=0 ,点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率, 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29 .过椭圆丨 一一亠内一点M(2 ,0)引椭圆的动弦 AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B的坐标，将A , B的坐标代入椭圆方程，结合 N为AB的中点，求出

18、 AB的斜率，再利用动 弦AB过点M ( 2, 0)，弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可.解答： 解：设 N (x, y), A (xi, yi), B (X2, y2),贝U-，可得:yl_y2_ b动弦AB过点M (2 , 0)，弦AB的中点N , 当M、N不重合时，有心二一X -x-2 9y.二-K (丈 - 2)4 &一 1)丄甘/二 1, ( m 工2)当M、N重合时，即M是A、B中点，M (2 , 0)适合方程(x-L)则N的轨迹方程为故答案为:10 .已知点(1 , 1 )是椭圆则此弦所在的直线方程为:点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决

19、弦中点问题，常用的一种方法.x+2y 3=0考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.X1+X 2=2 ,分析：设以A (1 , 1)为中点椭圆的弦与椭圆交于 E (xi, yi), F (X2, y2), A (1 , 1 )为EF中点,yi+y 2=2，利用点差法能够求出以 A (1 , 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A (1 , 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于 E (X1 , y1) , F ( X2, y2),A (1 , 1 )为 EF 中点，X1+X2=2 , y1+y 2=2 ,2 2把E (X1, y1), F (X2, y2)分别代入椭圆

20、 号+牙二1，可得 4 : -，两式相减，可得(X1+X2) (X1 - X2) +2 (y 1+y 2) (y 1 - y2) =0 ,2 (X1 - X2)+4 (y1 - y2) =0 ,(X - 1),以A ( 1 , 1 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为:整理，得 X+2y - 3=0 .故答案为：X+2y - 3=0 .点评：本题考查以A (1 , 1 )为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.11.椭圆4x2+9y 2=144内有一点P (3 , 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为直线方程为 2x+3y -

21、 12=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X1, y1), B (X2, y2)，代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答：解：设弦端点为 A (x1, y1), B ( x2, y2),贝U X1+x 2=6 , y1 +y 2=4 ,4y12+9y12=l，壮2沖=144 ，得，4 (打 一工 2 ) +9 (歹，一 A?)=0 ,即 4 (X1+X 2)(x1 - X2)+9 (y1+y 2) (y1 - y2) =0 ,所以旳一牝=(芷1 +七)=4心二

22、.2即 =_ 2 石 _9 (衍+匕)=_9 亏，- 32所以弦所在直线方程为： y - 2= -( x - 3 ),即2x+3y - 12=0J2故答案为：-；2x+3y -12=0 .点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12.椭圆4x2+9y 2=144内有一点P (3 , 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 2x+3y-12=0 .考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 设以P（ 3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E（ xi，yi），F（ X2, y2），P（ 3，2 ）

23、为EF中点，xi+X2=6，y i +y 2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答：解：设以P （3 , 2）为中点椭圆的弦与椭圆交于 E （ xi , yi）, F （X2, y2）,P （3 , 2 ）为 EF 中点，xi+x 2=6 , yi+y 2=4 , 把 E ( xi , yi) , F (X2 , y2)分别代入椭圆 4x2+9y 2=i44 ,2+9y?=L442 2 ，x2 +9y2 =1G44 (xi+x2)(xi - X2)+9 (yi+y 2) (yi - y2)=0 , 24 (xi - X2) +36 (yi - y2) =0 ,泛 2 一x 2 3/k

24、=y - 2=以P （ 3, 2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为:整理，得 2x+3y - i2=0 .故答案为：2x+3y - i2=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用.2 2i3 .过椭圆=i内一定点（i , 0）作弦，则弦中点的轨迹方程为 4x 2+9y 2 - 4x=09 4考点：椭圆的应用；轨迹方程.专题：计算题.分析：设弦两端点坐标为（xi, yi）, （X2. y2）,诸弦中点坐标为（x, y）.弦所在直线斜率为 k,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解

25、：设弦两端点坐标为(xi, yi), (X2 . y2),诸弦中点坐标为(x, y).弦所在直线斜率为 k2 2两式相减得； 二(X1+X2)(xi - X2)+ (yi+y 2)(yi - y2) =0g 4又 k= ，代入上式得2x/9+2yA2/4(x- 1 ) =02x _ 2y29 4 (k-1)整理得诸弦中点的轨迹方程： 4x2+9y 2 - 4x=0故答案为4x 2+9y 2 - 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.14 .设AB是椭圆+ y2=l的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点，O为坐标原点，贝U kAB?koM =

26、考点：椭圆的应用.专题：计算题.分析： 设M (a ,b), A (xi, yi), B (X2, y2)，易知koM= ，再由点差法可知 kAB=-，由此可求出kAB?koM = a 2b亍解答:解：设 M (a , b ), A ( xi, yi) , B (X2, y2), -/M 为 AB 的中点，二 xi+x 2=2a , yi+y 2=2b ,把A、 B代入椭圆i - .得“件2卩/二2X?2+2y22=2 -得(xi+x 2) (xi - X2) +2 (yi+y 2) (yi - y2) =0 ,2a (xi - X2) +4b (yi - yi) =0 ,萨号，二 kAB?k

27、M= - 寺点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 215x+4y - 5=0以椭圆話+会1内的点M(1，1)为中点的弦所在直线方程为考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设点M (1 , 1 )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X1, y 1), B (X2, y2).利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出.解答:解：设点M ( 1, 1 )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (xi , yi) , B (X2, y2).相减得i+rP Cxi - yp * （芷尹比）16=0,故所求的直线方程

28、为/ :,化为 x+4y - 5=0 .故答案为x+4y - 5=0 .点评:本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.2 216.在椭圆,- + =1内以点P (- 2 , 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x - 2y+4=016 4考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：计算题.分析:设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆- 2工+乙=1 交于 A (X1, y1), B (X2, y2),由点 P (16 416解答:2，1 )是线段AB的中点，知差法得到，由此能求出以点P(- 2，解：设以点P (- 2 , 1 )点P (- 2 , 1 )是线段AB的中点,，把A (xi，yi)，B(X2, y2)代入椭圆 x2+4y 2=16，由点1 )为中点的弦所在的直线方程.22+ -T161 4为中点的弦所在的直线与椭圆=1 交于 A (X1, y1), B (X2, y2),耳+疋p二_ y1+y2=2把 A (X1,