圆锥曲线的经典中点弦问题.docx
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圆锥曲线的经典中点弦问题
中点弦问题专题练习
•选择题（共8小题）
22
已知椭圆
討牛1，以及椭圆内一点P（4,2）,则以P为中点的弦所在直线的斜率为（
已知A（1，2）为椭圆
22
K評内-点，则以
A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（
x+2y+4=0
B.x+2y-4=0
C•2x+y+4=0
D•2x+y-4=0
22
AB是椭圆号勺二［
（a>b>0）的任意一条与
x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率,
AB
的中点，贝UKab?
Kom
的值为（
B.1-e
C•e2-1
D.1-e2
4.椭圆4x2+9y2=144
内有一点P（3,2）过点
P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（
A•3x+2y-12=0
B.2x+3y-12=0
C•4x+9y-144=0
D•9x+4y-144=0
5•若椭圆
2
■仝二1的弦中点（4,2）,则此弦所在直线的斜率是（
369
6•已知椭圆
22
壬+丫7二1的一条弦所在直线方程是
a2b2
x-y+3=0,弦的中点坐标是（-2,1）,则椭圆的离心率是
B.
V2
2
Vs
直线y=x+1被椭圆
x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（
B.
-_H）
8•以椭圆
（1,1）为中点的弦所在的直线方程为（
A.4x-3y-3=0
B.x-4y+3=0
C.4x+y-5=0
D.x+4y-5=0
11•椭圆4x2+9y2=144
12.椭圆4x2+9y2=144内有一点
22
13•过椭圆.=1内一定点（
94
1,0）作弦，则弦中点的轨迹方程为
•填空题（共9小题）
22
9•过椭圆—■"点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是一=
22
10•已知点（1，1）是椭圆〒+今二1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：
___
内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为
直线方程为__
P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为
内的点M（1,1）为中点的弦所在直线方程为
14.设AB是椭圆--.■-'的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，0为坐标原点，则kAB?
kOM=
内以点P（-2,1）为中点的弦所在的直线方程为
17.直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是•
三.解答题（共13小题）
18•求以坐标轴为对称轴，一焦点为（乩§伍）且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为+的椭圆方程.
19.已知M（4,2）是直线I被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线I的方程.
20.已知一直线与椭圆
4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1,1）,求直线AB的方程.
22
21.已知椭圆丄二1，求以点P（2,-1）为中点的弦AB所在的直线方程.
164丄
22.已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点，且过（.二、'）
（1）求椭圆的标准方程.
（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.
23.直线I:
x-2y-4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2,-1）.
（1）求m的值;
（2）设椭圆的中心为0,求厶AOB的面积.
22
24.AB是椭圆'r-'：
中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，0是椭圆的中心，求证:
a2/
kAB?
kOM为定值.
25.已知椭圆C:
——+丄=1和点P（1,2）,直线I经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当I的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.
26.已知椭圆专+/二1.
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
（2）过A（2,1）的直线I与椭圆相交，求I被截得的弦的中点轨迹方程;
（3）过点P（老g）
且被P点平分的弦所在的直线方程.
27.已知椭圆—+y^-1.
（1）求过点二一•一且被点P平分的弦所在直线的方程;
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2,1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程.
28.已知某椭圆的焦点是
Fi（-4,0）、F2（4,0），过点
F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为
B，且
|FiB|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（xi,yi）、C
（X2,
y2）满足条件：
|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
（I）求该椭圆的方程;
（n）求弦ac中点的横坐标.
29.（2010?
永春县一模）过椭圆
内一点M
（1,1）的弦AB.
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程;
22
30.已知椭圆C方程为令+三-二1，直线1：
尸疳+肝与椭圆C交于A、B两点，点P（1,弓）
（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：
k1+k2为定值.
的高中数学组卷
2014年1月pa叩an781104
参考答案与试题解析
•选择题（共8小题）
22
1•已知椭圆：
以及椭圆内一点
P（4,2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（
B.
考点：
椭圆的简单性质.
分析：
利用中点坐标公式、斜率计算公式、
“点差法”即可得出.
解答：
解：
设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点
则
，两式相减得
（葢］+兀2）（11
-叱）
（¥]+辽）、
36
9
A（X1,y1）,B（X2,y2）,斜率为k.
又X1+x2=8,y1+y2=4,
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
代入得寻碍二Q，解得k=故选A.
点评：
熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、
“点差法”是解题的关键.
22
2•已知A（1,2）为椭圆壬+―二1内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）
416
A.x+2y+4=0B.x+2y-4=0C.2x+y+4=0D.2x+y-4=0
考点：
直线的一般式方程.
专题：
计算题.
分析：
首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案.
解答：
解：
设直线的方程为y-2=k（x-1）,
联立直线与椭圆的方程代入可得：
（4+k2）x2+2k（2-k）x+k2-4k-12=0
因为A为椭圆的弦的中点，
「2k（k-2）”H
所以.':
:
解得k=-2,
所以直线的方程为2x+y-4=0.
故选D.
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题.
22
AB是椭圆
二利
ab
3.
（a>b>0）的任意一条与
x轴不垂直的弦,
O是椭圆的中心,
e为椭圆的离心率,
AB的中点，贝UKab?
Kom的值为（）
B.1-e
C.e2-1
D.1-e2
考点：
椭圆的简单性质.
专题：
综合题.
分析：
设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y,根据韦达定理求得X1+X2，的表达式，根据直线方程
求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率,
进而代入kAB?
kOM中求得结果.
解答：
解：
设直线为：
y=kx+c
联立椭圆和直线脊消去y得
二十利
匕b
b2x2+a2（kx+c）2-a2b2=0，即（b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2-b2）=0
所以:
X1+X2=
所以，M点的横坐标为:
Mx~（X1+X2）=-
2
又:
yi=kx1+c
y2=kx2+c
所以yi+y2=k
（xi+x2）
+2c=
所以:
所以:
kAB?
kOM=kX（-
-1
点评：
本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾u用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题,
利用差分法较为简便.
4.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）
A.3x+2y-12=0B.2x+3y-12=0C.4x+9y-144=0D.9x+4y-144=0
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
利用平方差法：
设弦的端点为A（X1,y1）,B（X2,y2）,代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程.
解答：
解：
设弦的端点为A（X1,y1）,B（X2,y2）,
贝Uxi+x2=6,yi+y2=4,
把A、B坐标代入椭圆方程得，心］》+9yJ二144，二144，
巧'-
Q（雄1+盘丿
9（¥严丿
）+9（
-y2*2）=0,
4X&
9X4
三即
kAB=
（X1+X2）（X1-X2）+9
（yi+y2）（yi-y2）=0,
所以这弦所在直线方程为：
y-2=-Z（X-3）,即2x+3y-i2=0.
点评：
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.
5.若椭圆
的弦中点（4,2）,则此弦所在直线的斜率是（
B.-2
1
C."
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设此弦所在直线与椭圆相交于点A（X1,yi）,B（X2,y2）.利用中点坐标公式和"点差法”即可得出.
解答：
解：
设此弦所在直线与椭圆相交于点A（Xi,yi）,B（X2,y2）.
~l■->~l
则示+寸1，云二1，两式相减得——!
-———H!
J!
———=0.
解得
kAB=
36勺369369
的一条弦所在直线方程是
x-y+3=0，弦的中点坐标是（-2,1）,则椭圆的离心率是
1
B.返
C並
D.遞
2
2
2
5
A.
考点：
椭圆的简单性质.
专题：
计算题.
分析：
设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与
解答:
的关系式,
从而求得椭圆的离心率.
M（-2,1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（xi,yi）,B（x2,y2）,
解：
显然
七I"）（玄尹工］）
7z~
=0,
:
则椭圆的离心率是e=
故选B.
点评：
本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题•本题解
题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法,
研究弦中点问题时经常采用此方法
7.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）
A.
B.
（
（寺-寺
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论.
解答：
解：
将直线y=x+1代入椭圆
•••3x2+4x-2=0
弦的中点横坐标是乂=丄X
2
代入直线方程中，得y=」
3
•弦的中点是（-上，二）
33
故选B.
x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4
点评：
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.
L2
2
8.以椭圆'
--—'内一点M（1,1）为中点的弦所在的直线方程为（
）
4
A.4x-3y-3=0
B.x-4y+3=0
C.4x+y-5=0
D.x+4y-5=0
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
计算题.
分析:
设直线方程为y-仁k
（x-1），代入椭圆
22
--•化简，根据
xi+x2=
=2,
求出
斜率k的值，即得所求的直线方程.
解答:
解：
由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为
y-1=k（x-1）,
16
代入椭圆
（4k2+1）x2+8（k-k2）x+4k2-8k-12.
•••由题意可得
X1+X2=
故直线方程为
=2,「.k=-
y-1=-丄（
x-1）,即x+4y-5=0,
点评：
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率,是解题的关键.
二.填空题（共9小题）
22
9.过椭圆丨‘一一亠内一点
M（2,0）引椭圆的动弦AB,则弦AB的中点N的轨迹方程是
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.
专题：
综合题.
分析：
设出N,A,B的坐标，将A,B的坐标代入椭圆方程，结合N为AB的中点，求出AB的斜率，再利用动弦AB过点M（2,0），弦AB的中点N，求出AB的斜率，从而可得方程，化简即可.
解答：
解：
设N（x,y）,A（xi,yi）,B（X2,y2）,贝U
①-②，可得:
yl_y2_b
•••动弦AB过点M（2,0），弦AB的中点N,当M、N不重合时，有心二一^
X£
•--
x-29y
.•£'二-K（丈-2）
4
•••&一1）丄甘/二1,（m工2）
当M、N重合时，即M是A、B中点，M（2,0）适合方程
（x-L）
则N的轨迹方程为
故答案为:
10.已知点（1,1）是椭圆
则此弦所在的直线方程为:
点评：
本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.
x+2y—3=0
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
X1+X2=2,
分析：
设以A（1,1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（xi,yi）,F（X2,y2）,A（1,1）为EF中点,
yi+y2=2，利用点差法能够求出以A（1,1）为中点椭圆的弦所在的直线方程.
解答：
解：
设以A（1,1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（X1,y1）,F（X2,y2）,
•••A（1,1）为EF中点，
•••X1+X2=2,y1+y2=2,
22
把E（X1,y1）,F（X2,y2）分别代入椭圆号+牙二1，
可得'"4:
-■，
两式相减，可得（X1+X2）（X1-X2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0,
•••2（X1-X2）+4（y1-y2）=0,
（X-1）,
•••以A（1,1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为:
整理，得X+2y-3=0.
故答案为：
X+2y-3=0.
点评：
本题考查以A（1,1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问
题的能力，属于中档题.
11.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为
直线方程为2x+3y-12=0
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
平方差法：
设弦端点为A（X1,y1）,B（X2,y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可
得斜率；根据点斜式可得直线方程.
解答：
解：
设弦端点为A（x1,y1）,B（x2,y2）,
贝UX1+x2=6,y1+y2=4,
4y12+9y12=l^①，壮2~沖『=144②，
①—②得，4（打‘一工2）+9（歹［，一A?
"）=0,即4（X1+X2）（x1-X2）+9（y1+y2）（y1-y2）=0,
所以
旳一牝=（芷1+七）=4心二.2即=_2「石_9（衍+匕）=_9"・亏，-3
2
所以弦所在直线方程为：
y-2=-£（x-3）,即2x+3y-12=0
•J
2
故答案为：
--；2x+3y-12=0.
点评：
本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.
12.椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3,2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y
-12=0.
考点：
直线与圆锥曲线的关系.
专题：
计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设以P（3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（xi，yi），F（X2,y2），P（3，2）为EF中点，xi+X2=6，
yi+y2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.
解答：
解：
设以P（3,2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（xi,yi）,F（X2,y2）,
•••P（3,2）为EF中点，
•••xi+x2=6,yi+y2=4,把E（xi,yi）,F（X2,y2）分别代入椭圆4x2+9y2=i44,
2+9y?
=L44
22，
^x2+9y2=1G4
•4（xi+x2）（xi-X2）+9（yi+y2）（yi-y2）=0,•24（xi-X2）+36（yi-y2）=0,
泛2
□一
x23
/•k=
y-2=
•••以P（3,2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为:
整理，得2x+3y-i2=0.
故答案为：
2x+3y-i2=0.
点评：
本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理
运用.
22
i3.过椭圆=i内一定点（i,0）作弦，则弦中点的轨迹方程为4x2+9y2-4x=0
94
考点：
椭圆的应用；轨迹方程.
专题：
计算题.
分析：
设弦两端点坐标为（xi,yi）,（X2.y2）,诸弦中点坐标为（x,y）.弦所在直线斜率为k,把两端点坐标代
入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.
解答：
解：
设弦两端点坐标为（xi,yi）,（X2.y2）,诸弦中点坐标为（x,y）.弦所在直线斜率为k
22
两式相减得；二（X1+X2）（xi-X2）+—（yi+y2）（yi-y2）=0
g4
又•••k=，代入上式得
2x/9+2yA2/4
（x-1）=0
2x_2y2
94（k-1）
整理得诸弦中点的轨迹方程：
4x2+9y2-4x=0
故答案为4x2+9y2-4x=0
点评：
本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.
14.设AB是椭圆
+y2=l
的不垂直于对称轴的弦,
M为AB的中点，O为坐标原点，贝UkAB?
koM=
考点：
椭圆的应用.
专题：
计算题.
分析：
设M（a,b）,A（xi,yi）,B（X2,y2），易知koM=—，再由点差法可知kAB=--，由此可求出kAB?
koM=a2b
—亍
解答:
解：
设M（a,b）,A（xi,yi）,B（X2,y2）,-/M为AB的中点，二xi+x2=2a,yi+y2=2b,
把A、B代入椭圆
i•-.得
“件2卩/二2①
X?
2+2y22=2②
①-②得（xi+x2）（xi-X2）+2（yi+y2）（yi-y2）=0,
•••2a（xi-X2）+4b（yi-yi）=0,
萨号，二kAB?
k°M=-寺
点评：
本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.
22
15
x+4y-5=0
•以椭圆話+会1内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为
考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：
设点M（1,1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（X1,y1）,B（X2,y2）.利用“点差法”即可得出
直线的斜率，再利用点斜式即可得出.
解答:
解：
设点M（1,1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（xi,yi）,B（X2,y2）.
相减得
i+rPCxi-yp*（芷尹比）
16
=0,
故所求的直线方程为
/—:
化为x+4y-5=0.
故答案为x+4y-5=0.
点评:
本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.
22
16.在椭圆,-+—=1内以点P（-2,1）为中点的弦所在的直线方程为x-2y+4=0
164
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题.
专题：
计算题.
分析:
设以点P（-2,1）为中点的弦所在的直线与椭圆
-2
工+乙=1交于A（X1,y1）,B（X2,y2）,由点P（
164
16
解答:
2，1）是线段AB的中点，知
差法得到
「，由此能求出以点P（-2，
解：
设以点P（-2,1）
•••点P（-2,1）是线段
AB的中点,
，把
A（xi，yi），B（X2,y2）代入椭圆x2+4y2=16，由点
1）为中点的弦所在的直线方程.
2
2
+-T
16
14
为中点的弦所在的直线与椭圆
=1交于A（X1,y1）,B（X2,y2）,
耳］+疋p二_°y1+y2=2
把A（X1,
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