考研管理类联考数学基础课程讲义二.docx

考研管理类联考数学基础课程讲义二.docx

《考研管理类联考数学基础课程讲义二.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研管理类联考数学基础课程讲义二.docx（32页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

考研管理类联考数学基础课程讲义二

2021考研管理类联考数学基础课程

第四章函数

第一节一次函数

一次函数：

一般地，形如y=kx+b（k≠0，k,b是常数），那么y叫做x的一次函数。

当b=0时，y=kx+b即y=kx，即正比例函数（并不是自变量与因变量成正比），其函数图像则为一条直线。

所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但不能说一次函数是正比例函数。

基本性质：

1．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为（0,b）。

2．当b=0时，一次函数变为正比例函数。

当然正比例函数为特殊的一次函数。

3．对于正比例函数，y除以x的商是一定数（x≠0）。

4．在两个一次函数表达式中：

①当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；②当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

③当两个一次函数表达式中的k不相同，b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；④当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；

⑤当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

k>0,b>0：

经过第一、二、三象限

k>0,b<0：

经过第一、三、四象限k>0,b=0：

经过第一、三象限（经过原点）

结论：

k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0,b>0：

经过第一、二、四象限k<0,b<0：

经过第二、三、四象限

k<0,b=0：

经过第二、四象限

结论：

k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

2021考研管理类联考数学基础课程

第二节反比例函数：

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例。

形如y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0）的函数就叫做反比例函数。

当k>0时，图像分别位于

第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

第三节二次函数的性质及其应用

y=ax2+bx+c（a≠0）

（1）一元二次函数的图像为一条抛物线

（2）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下

（3）a越大，开口越小

（4）对称轴方程

x

=

-

b

2a

（5）顶点坐标

⎛

çç

⎝

-

b

2a

4ac-

4a

b2

⎫

⎪⎪

⎭

（6）最值问题：

当

a

>

0

时，最小值为

4ac-

4a

b2

；当

a

<

0

时，最大值为

4ac-

4a

b2

（7）

b2

-

⎧>

⎪

4ac⎨=

⎪⎩<

0,与x轴有两个交点0,与x轴有一个交点0,与x轴没有交点

（8）当a>0时，对称轴左侧递减，对称轴右侧递增

当a<0时，对称轴左侧递增，对称轴右侧递减

【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如下页图所示，则a，b，c满足（）．

（A）a<0，b<0，c>0（B）a<0，b<0，c<0

（C）a<0，b>0，c>0（D）a>0，b<0，c>0

（E）a>0，b>0，c>0

2021考研管理类联考数学基础课程

【例2】已知函数y=x2-4ax，当1≤x≤3时，是单调递增的函数，则a的取值范围是（）．

（A）

⎛

ç

⎝

1

-∞,2

⎤

⎥

⎦

（B）（-∞,1]

（C）

⎛

ç

⎝

13

22

⎤

⎥

⎦

（D）⎛3,

ç

⎝2

+∞

⎫

⎪

⎭

（E）

⎛

ç

⎝

3

-∞,2

⎫

⎪

⎭

【例3】设-1≤x≤1，函数f（x）=x2+ax+3，当0

（A）f（x）最大值是4+a，最小值

3

-

a24

（B）f（x）最大值是4+a，最小值4-a

（C）f（x）最大值是4-a，最小值4+a

5

（D）f（x）最大值是4+a，最小值4a2

+3

5

（E）f（x）最大值是4a2+3，最小值4+a

第四节指数与对数

1．指数的有关概念：

①规定：

1）an=a⋅a⋅⋅a（n∈N*），2）a0=1（a≠0），

n个

3）

a

-

p

=

1

ap

（

p

∈Q，4）

a

m

n

=

nam

（a>

0,

m

、n∈N*

n

>

1）

②性质：

1）ar⋅as=ar+s（a>0,r、s∈Q），

2）（ar）s=ar⋅s（a>0,r、s∈Q），

3）（a⋅b）r=ar⋅br（a>0,b>0,r∈Q）

（注）上述性质对r、s∈R均适用.

2．对数的概念：

①定义：

如果a（a>0,且a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b称以a为底N

的对数，记作logaN=b,其中a称对数的底，N称真数.

3

2021考研管理类联考数学基础课程

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN，

2）以无理数

e（e

=

2.71828）

为底的对数称自然对数，

logN记作lnN

e

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数），2）

log1=

a

0

，

3）

loga=

a

1

，4）对数恒等式：

alogaN=

N

③运算性质：

如果a>0,a≠0,M>0,N>0,则

1）loga（MN）=logaM+logaN；

2）

log

a

M

N

=

log

a

M

-

log

a

N

；

3）logaMn=nlogaM（n∈R）.

④换底公式：

loga

N

=

log

m

log

m

N

a

（a

>

0,

a

≠

0,

m

>

0,

m

≠

1,

N

>

0）,

1）

log

a

b

⋅

logb

a

=

1

，2）

log

am

b

n

=

n

m

log

a

b.

3指数函数

形如y=ax（a>0且a≠1）（x∈R）的函数叫做指数函数。

a>1时，则指数函数单调递

增；若0

函数总是通过（0，1）这点。

4.对数函数

函数y=logax（a>0且a≠1）（x∈R）叫做对数函数。

a>1时，则指数函数单调递增；若

0

函数总是通过（1，0）这点。

【例4】已知3x+3-x=4，则27x+27-x的值是（）．

（A）64（B）60（C）52（D）48（E）36

4

2021考研管理类联考数学基础课程

【例5】已知25x=2000，80y=2000，则1+1等于（

xy

）．

（A）2

（B）1

（C）1

2

（D）3

2

（E）3

【例6】已知lg（x+y）+lg（2x+3y）-lg3=lg4+lgx+lgy，则x:

y的值为（）．

（A）2或1

3

（B）1

2或3

（C）1

2

（D）3

2

（E）3

第五章代数方程

一、一元一次方程

1．定义：

任何一个含一个未知数且未知数最高次数为1的方程均可通过同解变换化为如下

形式：

ax+b=0（a≠0），称这种形式为一元一次方程。

2．解法：

将所给一元一次方程化简，得到

ax

=

-b（a≠

0）

型，进而得到方程的解

b

x=-。

a

【例1】关于x的方程a（2x+3）+b（3x-2）=12x+5有无穷多解，则a+b=（）

A.5B.-5C.3D.-3E.0

二、二元一次方程组和它的解

1．两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

2．使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解．

3．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：

把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数．

5

2021考研管理类联考数学基础课程

（2）加减消元法：

先利用等式的性质，用适当的数同乘以需要变形的方程的两边，使两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数

三、一元二次方程的解法

1.直接开平方法

形如（mx+n）2=r（r≥o）的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法

叫做直接开平方法．

2.把一元二次方程通过配方化成（mx+n）2=r（r≥o）的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法．

3.公式法

通过配方法可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：

x

=

-

b

±

b2-

2a

4ac

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

4.因式分解法

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于0，这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法．

四、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

的关系

△=b2–4ac

△>0

△=0

△<0

f（x）=ax2+bx+c（a>0）

x1x2

x1,2

f（x）=0根

x=-b±∆

1,22a

x=-b

1,22a

无实根

f（x）>0解集

xx2

x≠-b

2a

x∈R

f（x）<0解集

x1

x∈φ

x∈φ

6

2021考研管理类联考数学基础课程

五、根的判别式:

∆

=

⎧>

⎪

b2-4ac⎨=

⎪<

⎩

0，方程有两个不相等的0，方程有两个相等的实0，方程无实根

实根；根；

①给定一个方程可判断方程根的情况.

②利用题目给出的条件,求参数的取值范围.③证明方程根的情况.

【例2】关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（）

A．a≥1B．a>1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5E.不存在

【例3】若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则判别式∆=b2-4ac与平方式

M=（2ax0+b）2的大小关系是（）．

（A）∆>M（B）∆=M（C）∆

（D）不能确定（E）与b有关

六、一元二次方程的根与系数之间的关系：

（韦达定理）

设x1,x2

ax

2

+

bx

+

c

=

0

的两根,则

x

1

+

x2

=

-

b

a

x

1

⋅

x2

=

c

a

应用韦达定理时，要验证

根的判别式。

它的应用有:

①已知方程的一个根,求另一根及参数的值.②利用根与系数的关系求某些代数式的值.

x2

1

+

x22

=

（

x

1

+

x2

）2

-

2

xx2

1

1

x

1

+

1

x

2

=

x+x2

1

xx

12

x

2

x

1

+

x

1

x

2

=

x2+x2

12

xx

12

=

（x1

+

x2）2-

xx2

1

2x1

x2

x3

1

+

x23

=

（x1

+

x2

）（x12

-

x

1

x2

+

x22

）

=

（x1

+

x2

）[（x1

+

x2

）

2

-

3x1

x2

]

1

x2

1

+

1

x2

2

=

x2+x2

12

x2x2

12

=

（x1

+

x）2-2x

21

（xx）2

12

x

2

7

2021考研管理类联考数学基础课程

|

x

1

-

x2

|=

（x1

-

x2

）2

=

（x1

+

x2

）2

-

4x1

x2

x4

1

+

x2

4

=

（x12

+

x2

2

）

2

-

2（x1

x2

）

2

【例4】已知方程

3x2

+5x+1=0的两个根为α，β，则

βα

+

αβ

=（

）．

（A）

-

53

3

（B）53

3

（C）

3

5

（D）

-

3

5

（E）23

5

【例5】x1，x2是方程

x2-（k-

2

xk23k50

12

）．

（A）16

（B）19

（C）14

3

（D）18

（E）2

【例6】方程

x2=3x-1的两根为

x,x,则x3

121

+

8x+10

2

=

第六章不等式

1.不等式的基本性质

（1）a>b⇔b

（2）a>b,b>c⇒a>c（传递性）

（3）a>b⇔a+c>b+c（加法性质）

推论：

（1）a>b,c>d⇒a+c>b+d（同项不等式相加）

（2）a>b,c>0⇒ac>bc

a>b,c<0⇒ac

推论：

（1）a>b>0,c>d>0⇒ac>bd

（2）a>b>0⇒an>bn（n∈N*）（乘方）

（3）a>b>0⇒na>nb（n∈N*）（开方）

2.一元一次不等式（组）及解法

1．定义：

含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的不等式称为一元一次不等式。

8

2021考研管理类联考数学基础课程

标准形式为ax>b（a≠0）或ax

2．解法：

将所给一元一次不等式为标准型后，不等式两边同除以未知数x的系数a。

注意：

当a>0时，不等号不变向；当a<0时，不等号变向。

3．一元一次不等式组的解法：

分别求出不等式组的每一个一元一次不等式的解集后，求这

些解集的交集。

注意：

求交集时，可在数轴上画出范围

例，

⎧3x

⎨

⎩2x

+

-

5

1

>

<

0

3

，得

-

5

3

<

x

<

2

5

-3

0

2

再如，

⎧5x

⎨

⎩3x

>

<

7

1

，得

7

x>且

5

1

x<，不等式组无解。

3

【例1】不等式组

⎧1

⎪1-x≥0

⎨2的解集是

⎪⎩3x+2>-1

A.-1

D.-2≤x<-1E.全体实数

3.一元二次不等式及其解法

（1）．一元二次不等式定义

一元二次不等式：

含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的不等式。

一元二次不等式的一般形式为：

ax2+bx+c＞（<）0（a>0）或（a<0）

（2）．解法：

利用二次函数图象求解二次不等式；

9

2021考研管理类联考数学基础课程

∆=b2-4ac

∆.>0

∆=0

∆<0

一元二次方程

ax2+bx+c=0（a>0）

的根

x1,2=

有两相异实根

-b±

有两相等实根

x1=x2=-

b

无实根

b2-4ac

2a

2a

ax2+bx+c>0（a>0）

xx2

x≠-b

2a

x∈R

ax2+bx+c<0（a>0）

x1

x∈Φ

x∈Φ

二次函数

y=ax2+bx+c（a>0）

的图像

x1x2

x1,2

注意：

若不等式二次项系数a＜0,可化为正值再求解集。

【例2】不等式ax2+bx+2＞0的解集是

（-

1

2

1）3

，则a+b的值是

（

）

A．10B．–10C．14D．–14

【例3】若不等于ax2+bx+c<0的解集为-2

（）．

（A）

x<-1或

x>

1

3

（B）

1

x<-或x>1

2

（C）

x<-1或x>1

（D）x<-

1

2

或

x>

1

3

（E）1

3

10

2021考研管理类联考数学基础课程

4.一元二次不等式全体实数（空集）

不等式

全集

空集

ax2+bx+c>0

⎧∆<0

⎨a>0

⎩

⎧∆≤0

⎨a<0

⎩

ax2+bx+c≤0

⎧∆≤0

⎨a<0

⎩

⎧∆<0

⎨a>0

⎩

ax2+bx+c<0

⎧∆<0

⎨a<0

⎩

⎧∆≤0

⎨a>0

⎩

ax2+bx+c≥0

⎧∆≤0

⎨a>0

⎩

⎧∆<0

⎨a<0

⎩

【例4】已知不等式ax2+4ax+3≥0的解集为R，则a的取值范围是（）．

（A）

⎡

⎢-

⎣

33

44

⎤

⎥

⎦

（B）

⎡3⎤

⎢⎣0,4⎥⎦

（C）

⎛3⎤

ç⎝0,4⎥⎦

（D）

⎡3⎫

⎢⎣0,4⎭⎪

（E）

⎛3⎫

ç⎝0,4⎪⎭

5.绝对值不等式

（1）x

（2）x>a⇔x>a,x<-a

【例5】不等式x2-x-5>2x-1的解集中包含（）个10以内的质数．

（A）0（B）1（C）2

（D）3（E）无数

6.分式不等式

（1）移向通分

（2）化分式不等式为整式不等式

（3）注意验证端点值是否为增根

【例6】分式方程

2x2-26x-6

+

x-1x2-1

=

7

的实根个数是（

）．

（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4

11