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应用气体实验定律解决三类模型问题

专题强化十四　应用气体实验定律解决“三类模型问题”

专题解读

1.本专题是气体实验定律在玻璃管液封模型、汽缸活塞类模型、变质量气体模型中的应用，高考在选考模块中通常以计算题的形式命题.

2.学好本专题可以帮助同学们熟练的选取研究对象和状态变化过程，掌握处理三类模型问题的基本思路和方法.

3.本专题用到的相关知识和方法有：

受力分析、压强的求解方法、气体实验定律等.

命题点一　“玻璃管液封”模型

1.三大气体实验定律

（1）玻意耳定律（等温变化）：

p1V1＝p2V2或pV＝C（常数）.

（2）查理定律（等容变化）：

＝或＝C（常数）.

（3）盖—吕萨克定律（等压变化）：

＝或＝C（常数）.

2.利用气体实验定律及气态方程解决问题的基本思路

3.玻璃管液封模型

求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意：

（1）液体因重力产生的压强大小为p＝ρgh（其中h为至液面的竖直高度）；

（2）不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力；

（3）有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等；

（4）当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷.

类型1　单独气体问题

例1

　（2017·全国卷Ⅲ·33

（2））一种测量稀薄气体压强的仪器如图1（a）所示，玻璃泡M的上端和下端分别连通两竖直玻璃细管K1和K2.K1长为l，顶端封闭，K2上端与待测气体连通；M下端经橡皮软管与充有水银的容器R连通.开始测量时，M与K2相通；逐渐提升R，直到K2中水银面与K1顶端等高，此时水银已进入K1，且K1中水银面比顶端低h，如图（b）所示.设测量过程中温度、与K2相通的待测气体的压强均保持不变.已知K1和K2的内径均为d，M的容积为V0，水银的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：

图1

（1）待测气体的压强；

（2）该仪器能够测量的最大压强.

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）水银面上升至M的下端使玻璃泡中气体恰好被封住，设此时被封闭的气体的体积为V，压强等于待测气体的压强p.提升R，直到K2中水银面与K1顶端等高时，K1中水银面比顶端低h；设此时封闭气体的压强为p1，体积为V1，则

V＝V0＋πd2l①

V1＝πd2h②

由力学平衡条件得

p1＝p＋ρgh③

整个过程为等温过程，由玻意耳定律得

pV＝p1V1④

联立①②③④式得

p＝⑤

（2）由题意知

h≤l⑥

联立⑤⑥式有

p≤⑦

该仪器能够测量的最大压强为

pmax＝

变式1

　（2015·全国卷Ⅱ·33

（2））如图2，一粗细均匀的U形管竖直放置，A侧上端封闭，B侧上端与大气相通，下端开口处开关K关闭；A侧空气柱的长度为l＝10.0cm，B侧水银面比A侧的高h＝3.0cm.现将开关K打开，从U形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差为h1＝10.0cm时将开关K关闭.已知大气压强p0＝75.0cmHg.

图2

（1）求放出部分水银后A侧空气柱的长度；

（2）此后再向B侧注入水银，使A、B两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的长度.

答案　

（1）12.0cm　

（2）13.2cm

解析　

（1）以cmHg为压强单位.设A侧空气柱长度l＝10.0cm时的压强为p；当两侧水银面的高度差为h1＝10.0cm时，空气柱的长度为l1，压强为p1.

由玻意耳定律得pl＝p1l1①

由力学平衡条件得p＝p0＋h②

打开开关K放出水银的过程中，B侧水银面处的压强始终为p0，而A侧水银面处的压强随空气柱长度的增加逐渐减小，B、A两侧水银面的高度差也随之减小，直至B侧水银面低于A侧水银面h1为止.由力学平衡条件有

p1＝p0－h1③

联立①②③式，并代入题给数据得l1＝12.0cm④

（2）当A、B两侧的水银面达到同一高度时，设A侧空气柱的长度为l2，压强为p2.

由玻意耳定律得pl＝p2l2⑤

由力学平衡条件有p2＝p0⑥

联立②⑤⑥式，并代入题给数据得l2＝10.4cm⑦

设注入的水银在管内的长度为Δh，依题意得

Δh＝2（l1－l2）＋h1⑧

联立④⑦⑧式，并代入题给数据得Δh＝13.2cm.

类型2　关联气体问题

例2

　（2016·全国卷Ⅲ·33

（2））一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞.初始时，管内汞柱及空气柱长度如图3所示.用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止.求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离.已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0cmHg.环境温度不变.（保留三位有效数字）

图3

答案　144cmHg　9.42cm

解析　设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为l2.活塞被下推h后，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；左管中空气柱的压强为p2′，长度为l2′.以cmHg为压强单位.由题给条件得

p1＝p0＋（20.0－5.00）cmHg＝90cmHg　l1＝20.0cm①

l1′＝（20.0－）cm＝12.5cm②

由玻意耳定律得p1l1S＝p1′l1′S③

联立①②③式和题给条件得

p1′＝144cmHg④

依题意p2′＝p1′⑤

l2′＝4.00cm＋cm－h＝11.5cm－h⑥

由玻意耳定律得p2l2S＝p2′l2′S⑦

联立④⑤⑥⑦式和题给条件得

h≈9.42cm.

变式2

　如图4所示，由U形管和细管连接的玻璃泡A、B和C浸泡在温度均为0℃的水槽中，B的容积是A的3倍.阀门S将A和B两部分隔开.A内为真空，B和C内都充有气体.U形管内左边水银柱比右边的低60mm.打开阀门S，整个系统稳定后，U形管内左右水银柱高度相等.假设U形管和细管中的气体体积远小于玻璃泡的容积.

图4

（1）求玻璃泡C中气体的压强（以mmHg为单位）；

（2）将右侧水槽中的水从0℃加热到一定温度时，U形管内左右水银柱高度差又为60mm，求加热后右侧水槽的水温.

答案　

（1）180mmHg　

（2）364K

解析　

（1）在打开阀门S前，两水槽水温均为T0＝273K.

设玻璃泡B中气体的压强为p1，体积为VB，玻璃泡C中气体的压强为pC，依题意有p1＝pC＋Δp①

式中Δp＝60mmHg.

打开阀门S后，两水槽水温仍为T0，

设玻璃泡B中气体的压强为pB，依题意，有pB＝pC②

玻璃泡A和B中气体的体积V2＝VA＋VB③

根据玻意耳定律得p1VB＝pBV2④

联立①②③④式，并代入已知数据得

pC＝Δp＝180mmHg⑤

（2）当右侧水槽的水温加热至T′时，U形管左右水银柱高度差为Δp，玻璃泡C中气体的压强pC′＝pB＋Δp⑥

玻璃泡C中的气体体积不变，根据查理定律得＝⑦

联立②⑤⑥⑦式，并代入题给数据得T′＝364K.

命题点二　“汽缸活塞类”模型

汽缸活塞类问题是热学部分典型的物理综合题，它需要考虑气体、汽缸或活塞等多个研究对象，涉及热学、力学等物理知识，需要灵活、综合地应用知识来解决问题.

1.一般思路

（1）确定研究对象，一般地说，研究对象分两类：

一类是热学研究对象（一定质量的理想气体）；另一类是力学研究对象（汽缸、活塞或某系统）.

（2）分析物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程.

（3）挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程.

（4）多个方程联立求解.对求解的结果注意检验它们的合理性.

2.常见类型

（1）气体系统处于平衡状态，需综合应用气体实验定律和物体的平衡条件解题.

（2）气体系统处于力学非平衡状态，需要综合应用气体实验定律和牛顿运动定律解题.

（3）两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解.

说明　当选择力学研究对象进行分析时，研究对象的选取并不唯一，可以灵活地选整体或部分为研究对象进行受力分析，列出平衡方程或动力学方程.

类型1　单独气体问题

例3

　（2015·全国卷Ⅰ·33

（2））如图5，一固定的竖直汽缸由一大一小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞.已知大活塞的质量为m1＝2.50kg，横截面积为S1＝80.0cm2；小活塞的质量为m2＝1.50kg，横截面积为S2＝40.0cm2；两活塞用刚性轻杆连接，间距保持为l＝40.0cm；汽缸外大气的压强为p＝1.00×105Pa，温度为T＝303K.初始时大活塞与大圆筒底部相距，两活塞间封闭气体的温度为T1＝495K.现汽缸内气体温度缓慢下降，活塞缓慢下移.忽略两活塞与汽缸壁之间的摩擦，重力加速度大小g取10m/s2.求：

图5

（1）在大活塞与大圆筒底部接触前的瞬间，汽缸内封闭气体的温度；

（2）缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡时，缸内封闭气体的压强.

答案　

（1）330K　

（2）1.01×105Pa

解析　

（1）大小活塞在缓慢下移过程中，受力情况不变，汽缸内气体压强不变，由盖—吕萨克定律得＝

初状态V1＝（S1＋S2），T1＝495K

末状态V2＝lS2

代入可得T2＝T1＝330K

（2）对大、小活塞受力分析则有

m1g＋m2g＋pS1＋p1S2＝p1S1＋pS2

可得p1＝1.1×105Pa

缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡过程中，气体体积不变，由查理定律得＝

T3＝T＝303K，解得p2＝1.01×105Pa.

变式3

　如图6所示，两端开口的汽缸水平固定，A、B是两个厚度不计的活塞，可在汽缸内无摩擦滑动，面积分别为S1＝20cm2，S2＝10cm2，它们之间用一根水平细杆连接，B通过水平细绳绕过光滑的轻质定滑轮与质量为M＝2kg的重物C连接，静止时汽缸中的气体温度T1＝600K，汽缸两部分的气柱长均为L，已知大气压强p0＝1×105Pa，取g＝10m/s2，缸内气体可看做理想气体.

图6

（1）活塞静止时，求汽缸内气体的压强；

（2）若降低汽缸内气体的温度，当活塞A缓慢向右移动时，求汽缸内气体的温度.

答案　

（1）1.2×105Pa　

（2）500K

解析　

（1）设静止时汽缸内气体压强为p1，活塞受力平衡p1S1＋p0S2＝p0S1＋p1S2＋Mg

代入数据解得p1＝1.2×105Pa

（2）由活塞受力平衡可知缸内气体压强没有变化，设开始温度为T1，变化后温度为T2，由盖—吕萨克定律得

＝

代入数据解得T2＝500K.

类型2　关联气体问题

例4

　（2017·全国卷Ⅰ·33

（2））如图7，容积均为V的汽缸A、B下端有细管（容积可忽略）连通，阀门K2位于细管的中部，A、B的顶部各有一阀门K1、K3；B中有一可自由滑动的活塞（质量、体积均可忽略）.初始时，三个阀门均打开，活塞在B的底部；关闭K2、K3，通过K1给汽缸充气，使A中气体的压强达到大气压p0的3倍后关闭K1.已知室温为27℃，汽缸导热.

图7

（1）打开K2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强；

（2）接着打开K3，求稳定时活塞的位置；

（3）再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高20℃，求此时活塞下方气体的压强.

答案　

（1）　2p0　

（2）B的顶部

（3）1.6p0

解析　

（1）设打开K2后，稳定时活塞上方气体的压强为p1，体积为V1.依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程.由玻意耳定律得

p0V＝p1V1①

（3p0）V＝p1（2V－V1）②

联立①②式得

V1＝③

p1＝2p0④

（2）打开K3后，由④式知，活塞必定上升.设在活塞下方气体与A中气体的体积之和为V2（V2≤2V）时，活塞下气体压强为p2，由玻意耳定律得

（3p0）V＝p2V2⑤

由⑤式得

p2＝p0⑥

由⑥式知，打开K3后活塞上升直到B的顶部为止；

此时p2为p2′＝p0

（3）设加热后活塞下方气体的压强为p3，气体温度从T1＝300K升高到T2＝320K的等容过程中，由查理定律得＝⑦

将有关数据代入⑦式得

p3＝1.6p0

变式4

　（2014·新课标全国Ⅱ·33

（2））如图8所示，两汽缸A、B粗细均匀，等高且内壁光滑，其下部由体积可忽略的细管连通；A的直径是B的2倍，A上端封闭，B上端与大气连通；两汽缸除A顶部导热外，其余部分均绝热，两汽缸中各有一厚度可忽略的绝热轻活塞a、b，活塞下方充有氮气，活塞a上方充有氧气.当大气压为p0、外界和汽缸内气体温度均为7℃且平衡时，活塞a离汽缸顶的距离是汽缸高度的，活塞b在汽缸正中间.

图8

（1）现通过电阻丝缓慢加热氮气，当活塞b恰好升至顶部时，求氮气的温度；

（2）继续缓慢加热，使活塞a上升，当活塞a上升的距离是汽缸高度的时，求氧气的压强.

答案　

（1）320K　

（2）p0

解析　

（1）活塞b升至顶部的过程中，活塞a不动，活塞a、b下方的氮气经历等压变化，设汽缸A的容积为V0，氮气初态的体积为V1，温度为T1，末态体积为V2，温度为T2，按题意，汽缸B的容积为，则

V1＝V0＋×＝V0①

V2＝V0＋＝V0②

由盖—吕萨克定律有：

＝③

由①②③式及所给的数据可得：

T2＝320K④

（2）活塞b升至顶部后，由于继续缓慢加热，活塞a开始向上移动，直至活塞上升的距离是汽缸高度的时，活塞a上方的氧气经历等温变化，设氧气初态的体积为V1′，压强为p1′，末态体积为V2′，压强为p2′，由所给数据及玻意耳定律可得

V1′＝V0，p1′＝p0，V2′＝V0⑤

p1′V1′＝p2′V2′⑥

由⑤⑥式可得：

p2′＝p0.

命题点三　“变质量气体”模型

分析变质量气体问题时，要通过巧妙地选择研究对象，使变质量气体问题转化为定质量气体问题，用气体实验定律求解.

（1）打气问题：

选择原有气体和即将充入的气体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体的状态变化问题.

（2）抽气问题：

将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，质量不变，故抽气过程可以看成是等温膨胀过程.

（3）灌气问题：

把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题.

（4）漏气问题：

选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使问题变成一定质量气体的状态变化，可用理想气体的状态方程求解.

例5

　如图9所示，一太阳能空气集热器，底面及侧面为隔热材料，顶面为透明玻璃板，集热器容积为V0.开始时内部封闭气体的压强为p0，经过太阳暴晒，气体温度由T0＝300K升至T1＝350K.

图9

（1）求此时气体的压强；

（2）保持T1＝350K不变，缓慢抽出部分气体，使气体压强再变回到p0.求集热器内剩余气体的质量与原来总质量的比值.

答案　

（1）p0　

（2）

解析　

（1）由题意知气体发生等容变化，由查理定律得＝，解得p1＝p0＝p0＝p0.

（2）抽气过程可等效为等温膨胀过程，设膨胀后气体的总体积为V2，由玻意耳定律可得p1V0＝p0V2

则V2＝＝V0

所以，集热器内剩余气体的质量与原来总质量的比值为＝.

变式5

　某自行车轮胎的容积为V，里面已有压强为p0的空气，现在要使轮胎内的气压增大到p，设充气过程为等温过程，空气可看做理想气体，轮胎容积保持不变，则还要向轮胎充入温度相同、压强也是p0、体积为________的空气.

A.VB.V

C.（－1）VD.（＋1）V

答案　C

解析　设充入的气体体积为V0，根据玻意耳定律可得p0（V＋V0）＝pV，解得V0＝（－1）V，C项正确.

1.如图1所示，在长为l＝57cm的一端封闭、另一端开口向上的竖直玻璃管内，用4cm高的水银柱封闭着51cm长的理想气体，管内外气体的温度均为33℃.现将水银徐徐注入管中，直到水银面与管口相平，此时管中气体的压强为多少？

接着缓慢对玻璃管加热升温至多少时，管中刚好只剩下4cm高的水银柱？

（大气压强为p0＝76cmHg）

图1

答案　85cmHg　318K

解析　设玻璃管的横截面积为S，初态时，管内气体的温度为T1＝306K，体积为V1＝51S，压强为p1＝80cmHg.

当水银面与管口相平时，水银柱高为H，则管内气体的体积为V2＝（57－H）S，压强为p2＝（76＋H）cmHg.

由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，代入数据，得

H2＋19H－252＝0，解得H＝9cm或H＝－28cm（舍去）

所以p2＝85cmHg

设温度升至T时，水银柱高为4cm，管内气体的体积为V3＝53S，压强为p3＝80cmHg.由盖—吕萨克定律得＝，代入数据，解得T＝318K.

2.（2017·河南六市一联）如图2所示，在两端封闭的均匀半圆管道内封闭有理想气体，管内有不计质量可自由移动的活塞P，将管内气体分成两部分，其中OP与管道水平直径的夹角θ＝45°.两部分气体的温度均为T0＝300K，压强均为p0＝1.0×105Pa.现对管道左侧气体缓慢加热，管道右侧气体温度保持不变，当可动活塞缓慢移到管道最低点时（不计摩擦）.求：

图2

（1）管道右侧气体的压强；

（2）管道左侧气体的温度.

答案　

（1）1.5×105Pa　

（2）900K

解析　

（1）对于管道右侧气体，由于气体做等温变化，有：

p0V1＝p2V2

V2＝V1

解得p2＝1.5×105Pa

（2）对于管道左侧气体，根据理想气体状态方程，有

＝

V2′＝2V1′

当活塞P移动到最低点时，对活塞P受力分析可得出两部分气体对活塞的压强相等，则有

p2′＝p2

解得T＝900K

3.（2017·安徽江南十校联考）如图3所示，一圆柱形汽缸沿水平方向固定在桌面上，一定量的理想气体被活塞封闭其中，已知汽缸壁导热良好，活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动.开始时气体压强为p，活塞内表面相对汽缸底部的距离为L，外界温度为T0，现用一质量为m的重锤通过不可伸长的轻质细绳跨过光滑轻质滑轮水平连接活塞，重新平衡后，重锤下降h.求：

（已知外界大气的压强始终保持不变，重力加速度大小为g）

图3

（1）活塞的横截面积S.

（2）若此后外界的温度变为T，则重新达到平衡后汽缸内气柱的长度为多少？

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）由玻意耳定律可知

pLS＝p1（L＋h）S

活塞受力平衡，有p1S＝pS－mg

联立方程可得

S＝

（2）由盖—吕萨克定律有

＝

解得：

L0＝.

4.如图4甲所示，左端封闭、内径相同的U形细玻璃管竖直放置，左管中封闭有长为L＝20cm的空气柱，两管水银面相平，水银柱足够长.已知大气压强为p0＝75cmHg.

图4

（1）若将装置缓慢翻转180°，使U形细玻璃管竖直倒置（水银未溢出），如图乙所示.当管中水银静止时，求左管中空气柱的长度；

（2）若将图甲中的阀门S打开，缓慢流出部分水银，然后关闭阀门S，右管水银面下降了H＝35cm，求左管水银面下降的高度.

答案　

（1）20cm或37.5cm　

（2）10cm

解析　

（1）将装置缓慢翻转180°，设左管中空气柱的长度增加量为h，

由玻意耳定律得p0L＝（p0－2h）（L＋h）

解得h＝0或h＝17.5cm

则左管中空气柱的长度为20cm或37.5cm

（2）若将题图甲中阀门S打开，缓慢流出部分水银，然后关闭阀门S，右管水银面下降了H＝35cm，设左管水银面下降的高度为l，由玻意耳定律得

p0L＝[p0－（H－l）]（L＋l）

解得l＝10cm或l＝－70cm（舍去）

即左管水银面下降的高度为10cm.

5.（2017·湖南六校联考）如图5所示，除右侧壁导热良好外，其余部分均绝热的汽缸水平放置，MN为汽缸右侧壁.汽缸的总长度为L＝80m，一厚度不计的绝热活塞将一定质量的氮气和氧气分别封闭在左右两侧（活塞不漏气）.在汽缸内距左侧壁d＝30cm处设有卡环A、B（卡环体积忽略不计），使活塞只能向右滑动，开始时活塞在AB右侧紧挨AB，缸内左侧氮气的压强p1＝0.8×105Pa，右侧氧气的压强p2＝1.0×105Pa，两边气体和环境的温度均为t1＝27℃，现通过左侧汽缸内的电热丝缓慢加热，使氮气温度缓慢升高.设外界环境温度不变.

图5

（1）求活塞恰好要离开卡环时氮气的温度；

（2）继续缓慢加热汽缸内左侧氮气，使氮气温度升高至227℃，求活塞移动的距离.

答案　

（1）375K　

（2）5.6cm

解析　

（1）活塞“恰好要离开卡环”即汽缸内氮气压强与氧气压强相等，取封闭的氮气为研究对象：

初状态：

p1＝0.8×105Pa　T1＝300K　V1＝dS

末状态：

p1′＝p2＝1.0×105Pa　T1′　V1′＝V1

由查理定律，有＝

代入数据解得：

T1′＝375K

（2）继续缓慢加热汽缸内气体，使氮气温度升高至T3＝（227＋273）K＝500K，设活塞移动的距离为x

取氮气为研究对象：

初状态：

p1＝0.8×105Pa　T1＝300K　V1＝dS

末状态：

p3　T3＝500K　V3＝dS＋xS

由理想气体状态方程，有＝

取氧气为研究对象：

初状态：

p2＝1.0×105Pa　T1＝300K　V2＝（L－d）S

末状态：

p2′＝p3　T2′＝300K　V2′＝LS－V3

由玻意耳定律：

p2V2＝p2′V2′

代入数据解得：

向右移动的距离x≈5.6cm