注：
求随机概率的三种方法:
（-）枚举法
例1如图1所示，有一电路A3是由图示的开关控制，闭合a，b,c,
d,e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路.则使电路形成通
路的概率是.
分析：
要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意
两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：
闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab.ac、ad、ae、be.bd.be.cd、ce、de,
英中能形成通路的有6种，所以p（通路）=—=-
105
评注:
枚举法是求概率的一种重要方法，这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.
（-）树形图法
例2小刚和小明两位同学玩一种游戏•游戏规则为：
两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时0出一张牌龙胜负,
英中象胜虎.虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局.例如，小刚岀象牌，小明出虎牌，则小刚胜：
又
如,
两人同时出象牌，则两人平局.如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用B,、G分别表示小明
的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？
分析：
为了淸楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解：
画树状图如图树状图。
由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果岀现的可能性相同，苴中小刚胜小明的结果有3种.所以P（—次出牌小刚胜小明）二1
3
点评:
当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率
（三）列表法
例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌而上，从中随机摸岀两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形（状）图或列表的方法求：
（1）组成的两位数是偶数的概率；
（2）组成的两位数是6的倍数的槪率.
分析：
本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找岀组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数
是6的倍数的可能情况。
解：
列的表格如下：
根据表格可得两位数有:
23,24,32,34,42,43.所
21
以
（1）两位数是偶数的概率为土.
（2）两位数是6的倍数的概率为丄.
33
点评：
当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可
能的结果，通过画树形图的方法来计算概率
2•等可能事件的概率（古典概率）:
P（A）=-O
n
3、互斥事件：
（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。
计算公式:
P（A+B）=P（A）+P（B）o
2Q
3门
4^
2*
\
23a
24
3卒
32卩
\
3非
4^
42卩
43卩
、
4、对立事件：
（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。
计算公式是：
P（A）+P（B）=1:
P（A）二1-P⑷：
5、独立事件：
（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P（A・B）=P（A）・P（B）。
提醒：
（1）如果事件A、B独立，那么事件A与耳、瓦与3及事件瓦与耳也都是独立事件；
（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是l-P（A-B）=1一P（A）P（B）：
（3）如果事件A、B相互独立，那么
事件A、B至少有一个发生的概率是l-P（5）=l~P（A）P（5）o
6、独立事件重复试验：
事件A在n次独立重复试验中检妤孩吿了£次的概率代伙）=C：
”Q_旷（是二项展开式[（1-卩）+刃”的第k+1项），苴中p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
提醒：
（1）探求一个事件发生的槪率，关键是分淸事件的性质。
在求解过程中常应用等价转化思想和分解（分类或分步）转化思想处理,把所求的事件：
转化为等可能事件的概率（常常采用排列组合的知识）：
转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率：
利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率：
看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件：
（3）概率问题的解题规范：
①先设事件A二“…”，B二“…”；②列式计算；③作答。
二、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
1试验可以在相同的情形下重复进行：
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好岀现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯泄这次试验会出现哪一个结果。
它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量：
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若•是一个随机变量，a,b是常数.则i]=a^+b也是一个随机变量.一般地，若g是随机变量，/（对是连续函数或单调函数，则/（勺也是随机变量•也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量g可能取的值为：
心兀,…心，…
g取每一个值和心12…）的概率P（^=xi）=Pl,则表称为随机变量g的概率分布，简称g的分布列.
•••
•••
p
Pi
Pi
•••
Pi
•••
注意：
若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如:
弘［0.习即g可以取0
5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布：
如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的槪率是：
P（g=k）=Upkq"k［英中—0,1,…,心=1-卩］于是得到随机变虽g的概率分布如下：
我们称这样的随机变量g服从二项分布，记作§〜B（n・p）,其中n,p为参数，并记UpkqE=b（k:
np）.
⑵二项分布的判断与应用.
1二项分布.实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
2当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4.几何分布：
“g=k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为
事A不发生记为Ak，P（Aj=q,那么P（^=k）=P（A,A；-A^Ak）.根据相互独立事件的概率乘法分式：
P（c,=k）=P（A,）P（A2）P（Ak_!
）P（Ak）=广》（R=L2,3,…）于是得到随机变量g的概率分布列.
§
1
2
3
•••
k
•••
P
q
QP
q2p
•••
qip
•••
我们称g服从几何分布,并记如）才1，其中q=\~p."1,2,3…
5.⑴超几何分布：
一批产品共有N件，其中有M（MCn
N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规左川Vr时C„；=0,则k的范围可以写为20,1,…，n.）
⑵超几何分布的另一种形式：
一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（lWnWa+b）,则次品数E的分布列为P（g=k）=「k=O・l,…,n.・
C“b
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，苴中次品数E服从超几何分布.若放回式抽取，则英中次品数〃的分布列可如下求得：
把a+b个产品编号，则抽取n次共有（“+〃）"个可能结果，等可能：
（n=k）含C［；akbn-k个结果，故p（n=k）=5"：
=C：
（亠）打1严.k=0.1.2,….n，即〃〜B（忙一^一）.［我们先为k个次
（a+b）"a+ba+ba+b
品选左位宜，共C点种选法：
然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法］可以证明：
当产品总数很大而抽取个数不多时，P（E=k）aPOi=k）,因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
三、数学期望与方差.
1.期望的含义：
一般地，若离散型随机变量■的概率分布为
X2
•••
•••
p
Pl
Pl
•••
p{
•••
则称砖=・,几+心几+.・・+□几+…为g的数学期望或平均数、均值•数学期望又简称期望•数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量〃=必+方的数学期望：
Eq=Eg+b）=aEg+b
1当a=0时，E（b）=!
八即常数的数学期望就是这个常数本身.
2当4=1时，E（§+b）=Eg+b，即随机变量1与常数之和的期望等于g的期望与这个常数的和.
3当〃=（）时，E（砖）=0砖，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
g
0
1
P
q
p
⑵单点分布:
E^=cxl=c其分布列为:
P（g=1）=e.
⑶两点分布：
Eg=Oxq+\xp=p,其分布列为：
（p+q=1）
⑷二项分布：
Eg=》k・一-一宀宀“其分布列为《〜
B（n.p）・（P为发生§的概率）⑸几何分布：
砖=*其分布列为g〜q伙."）•（P为发生g的槪率）
3•方差.标准差的定义：
当已知随机变量g的分布列为佗=2=仇伙=12…）时，则称
。
加叶硝）讷皿£）伉+…七厂砖也+…为g的方差•显然D^>0，故號=亦・g为g的根方差或标准差•随机变量§的方差与标准差都反映了随机变量g取值的稳左与波动，集中与离散的程度.心趙q、,.橹疋魅超眉,.逆动越小・
••••
4•方差的性质.
⑴随机变量"=心匕的方差DB）=D凤+b）=QDS（a.b均为常数）
g
0
1
P
q
p
⑵单点分布：
砒=0英分布列为P忆=1）=卩
⑶两点分布：
Dg=pq其分布列为：
（p+q二1）⑷二项分布:
Dg=npq
⑸几何分布：
Dg=Z
5.期望与方差的关系.
⑴如果Eg和都存在，则E（g土小=Eg土E”⑵设g和“是互相独立的两个随机变量，则E（切）=E?
E”.D（g+尬=Dg+Dq
⑶期望与方差的转化：
D*民jEgF⑷殆-砖）=£（§）-£（砖）（因为Eg为一常数）=Eg-Eg=0・
4.正态分布.（基本不列入考试范用）
1•密度曲线与密度函数：
对于连续型随机变位于X轴上方,直线A=U与直线X=b所用成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫g的密度曲线，以其作为
图像的函数/（X）叫做'的密度函数，由于“灼（to，T
是必然事件，故密度曲线与X轴所夹部分而积等于1.
2.⑴正态分布与正态曲线:
如果随机变量£>的概率密度为：
fix）=
称g服从参数为“。
的正态分布，用？
〜N（“q‘）表示./（Q的表达式可简记为N（“q2）,它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：
若歹〜N（“q,则1的期望与方差分别为：
Eg=p、Dg=/・
⑶正态曲线的性质.
1曲线在X轴上方，与X轴不相交.
2曲线关于直线x=“对称.
3当x=〃时曲线处于最高点，当X向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间髙、两边低”的钟形曲线.
4当xV“时，曲线上升：
当x>“时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
5当“一左时，曲线的形状由<7确泄，<7越大，曲线越“矮胖”•表示总体的分布越分散；O■越小，曲线越“瘦髙”，表示总体的分布越集中.
标准正态分布曲线
S期二0.5Sa二0.5+S
g~N（O,l）有）=（p（h）-（p（a）・注意：
当标准正态分布的①（x）的X取0时，有4>（x）=0.5当0（兀）的X取大于0的数时,有e（x）A0.5・比如①（2^二£）=O・O793yO・5则兰二出必然小于0,如图.
a（J
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：
若g〜N（“q'）则g的分布函数通
常用F（x）表示,且有Pgo
4.
（1）M3a”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：
①提出统计假设，统汁假设里的变量服从正态分布N（“"）.②确泄一次试验中的取值“是否落入范囤（“_36“+3如果g（〃-3c“+36,接受统计假设.如果3<7,"+36,由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
（2）“3o•”原则的应用：
若随机变量g服从正态分布则§落在（“-3<7,“+36内的概率为99.7%亦即落在（“-36“+3cr）之外的概率为0.3%,此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即g不
服从正态分布）.
时间：
90分钟满分:
100分
姓名：
学号：
高二（）班
一、选择题：
（每小题2分，共36分）
1、从12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，任意抽出3个的必然事件是（D）。
A、3件都是正品B、至少有1件是次品
C.3件都是次品D、至少有1件是正品
2、从标有1、2、3、…、9的9张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率是（C）
3、
有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20零件中任取3个，那么至少有1个是
4、
假设在200件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的概率是（A）
5、
某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%,现把这种小零件每6件装成1盒,
7、打靶时，A每打10次可中靶8次，B每打10次可中靶7次，若2人同时射击一个目标，则它
们都中靶的概率是（A）o
9、
A、B、C3人射击命中目标的概率分别是昇，存现在3人同时射击-个目标，目标被击中
12、
A、对立事件B、不可能事件C、互斥但不对立事件D、以上不对
袋中有6个白球，4个红球，从中任取2球，抽到口球.红球各1个的概率为（C）。
13、
把12个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，其中A被选定为正组长的概率是（
A、A
C、
17、有一批蚕豆种子，如果每一粒发育的概率是0.9,播下15粒种子，那么恰有14粒种子发芽的
概率是（D）o
A、1-0.914B、0.914C、C^0.9（l-0.9）14D、C,^0.9,4（l-0.9）
18、盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是坏的.从中任意抽取10个，其中没有一个坏铁钉的概率是（D）
1c10
A、0.9B、一C、0.1D、V
9%
二、填空题：
（每空2分，共44分）
1、从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个数字，
（1）2个数字都是奇数的概率是5/18；
（2）2个数字之和为偶数的概率是4/9
2、袋中有3个5分的硬币，3个2分的硬币和4个1分的硬币，从中任取3个，总数超过8分
的概率是31/120o
3、从编号为1〜100的100张卡中，所得编号是4的倍数的概率是1/4°
4、从编号分别为0〜99的100张卡片中，
（1）不放回地取2张，则其中恰好有1个编号是0
的概率为1/50；
（2）有放回地取出2张，其中恰好有1个编号是0的概率为C］丄•丝。
-100100
5、从数字1、2、3、4、5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，贝ij：
（1）这个三位数是5
的倍数的概率是—1/5:
（2）这个三位数大于400的概率是2/5
6、在100件产品有5件次品，现从中任取3件：
（1）都是正品的概率是隼；
Goo
（2）至少有1件是次品的概率是1-牟：
（3）恰好有1件是次品的概率是導
血Goq
7、1种新型药品，给1个病人服用后治愈的概率是95%,则服用这种新型药品的4位病人中，
至少有3人被治愈的概率是0.99。
8、某仪表内装有m个同样的电子元件，其中任意:
一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作的,
如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率是P，则这个仪表不能工作的概率是1-（1一P）
9、200名青年工人，250名大学生，300名青年农民在一起联欢，如果任意找其中一名青年谈话,
这个青年是大学生的概率是1/3o
10、A、B、C等10位同学排成1排，则A、B正好排在两头的概率是
11、5个同学站成1排，则：
（1）A恰好站在正中间的概率是1/5；
（2）A、B恰好站
在两端的概率是o
12、某射手射击1次，击中忖标的概率是0.9,他连续射击4次，且各次射击是否击中相互之间
没有影响，那么他第2次未击中，其它3次击中的概率是0.0729。
13、将1个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率为1/32。
14、2个篮球运动员在罚球时投球的命中率分别是0.7和0.6,每人投篮3次，两人都恰好进2
球的概率是0.19°
15、同时抛掷2个均匀的正方体玩具（各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6）贝9：
（1）朝上的
一面数相同的概率是;
（2）朝上的一面数之积为偶数的概率是
3/4o
三、解答题：
每题5分，共20分）
1、A、B二人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别是丄和丄.求
（1）两人都译出密
34
码的概率。
（1/12）
（2）两人都译不出密码的概率。
（1/2）
（3）恰好有一人译出密码的概率。
（5/12）
（4）至多一个人译出密码的概率。
（11/12）
2、A,B2人各进行1次射击，如果2人击中H标的概率都是0.6,求
（1）2人都击中目标的概率。
（0.36）
（2）其中恰好有1人击中H标的概率。
（0.48）
（3）到少有一人击中L1标的概率。
（0.84）
3、从1,2,3,4,5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率:
（1）三个数字完全不同；（12/25）
（2）三个数字中不含1和5；（27/125）
（3）三个数字中5恰好出现两次.（12/125）
4、从6双规格相同颜色不同的手套中任取4只，其中恰有两只成双的概率是多少？
（16/33）
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