（1）外球壳内、外表面的电荷为
（2）把外球壳接地后再重新绝缘，则其内、外表面的电荷为
电势为；
；外球的电势改变量（3）然后把内球接地，则内球的电荷为
答案：
（1）-q，+q，
（2）-q，0，0；
（3）内球电荷和，和，电势为；q4πε0r2；
r−rr1q，外球电势改变12
2q.4πε0r2r2
q
4πε0r2；解：
（1）外球内表面电荷为-q，外表面为+q，电势为U2=
（2）外球接地后，其内表面电荷为-q，外表面电荷为0，电势为0；
（3）内球接地后，内球电势为0，设其上电荷变为e，则外球内表面电荷为-e.设外表面为e׳，则-e+e׳=-q.所以e׳=e-q.
此时，由内球电势U=所以，内球的电荷e=
外球电势U外=
4e4πε0r1+−e4πε0r2+eqe−q==0，得4πε0r14πε0r24πε0r2r1qr2r−rr−re−qe−q=122q=122q；外球电势改变ΔU外=U外−U内=4πε0r24πε0r24πε0r24πε0r2
练习二：
第5页共6页练习二静电场中的导体和电介质详解
4．在一半径为R、电量为q1的均匀带电圆环L1的几何轴上放一长为2L、电量为q2的均匀带电直线L2。
细圆环中心O与直线近端的距离为
a，则此系统的静电能
L
q1q2答案：
W=.
8πε0L解：
带电圆环在几何轴线上的电位分布为
U1=
在带电直线上选坐标为z处的电荷元dq2=λ2dl2，则带电细圆环L
1与带电直线L2组成的带电系统的静电相互作用能为
W=∫dW=∫U1dq2=
L2L2∫
而dq2=λ2dl2=
q2dl2,2Lz=a+l2,dz=dl2，所以
q1q2a+2LW=8πε0L∫a
三、计算题
1．一半径为a的接地导体球外有一点电荷，它与球心的距离为b，试求导体球上的感应电荷q
׳.
解：
点电荷q在球心处产生的电位为U01=q
4πε0b球面上感应电荷元dq′=σ′dS在球心处产生的电位为
dU02=σ′dS，则感应电荷q′在球心处的电位4πε0asU02=∫dU02=∫
足：
U01+U02=σ′dS1q′′.整个球的电位为0，所以球心处电位满dSσ==∫4πε0a4πε0a4πεa0sq
4πε0b+q′
4πε0a=0.
从而求得球面上得感应电荷q′=−qa
b
2．点电荷q=4.0×10-10C处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1=2.0cm，R2=3.0cm，求：
练习二：
第6页共6页练习二静电场中的导体和电介质详解
（1）导体球的电势；
（2）离球心r=1.0cm处的电势；（3）把点电荷移开球心1.0cm，再求导体球壳的电势。
解：
（1）导体球壳的电势
U=∫∞
R2∞E⋅r=∫9×109×4×10−10===120V
−2R24πεr24πεR23.0×10qq
（2）离球心r处的电势
∞R1R2∞qqq111U=∫E⋅r=∫dr0dr（+⋅+=−+∫R1∫R24πεr24πεrR1R2=300Vrr4πεr2
（3）把点电荷移离球心1.0cm，此时并不影响导体壳外表面的电荷分布及球外电场分布。
导体外表面电荷仍为均匀分布，且导体内场强为0，球壳是等势体，故此时球壳的电势与
（1）相同，等于120V.
3．两个同轴圆柱面，长度均为l，半径分别为a和b，两圆柱面之间充有介电常数为ε的均匀介质，当这两个圆柱面带有等量异号电荷+Q和-Q时，求：
（1）在半径为r（a该薄壳中的能量是多少？
（2）电介质中的总能量（由积分式算出），并由此总能量推算圆柱形电容器的电容。
解：
（1）当圆柱面上带有等量异号电荷+Q，-Q时，圆柱体内的电场能量密度为：
121λ21Q/l2Q2
=ε（=222w=εE=ε（222πεr22πεr8πεrl
该薄壳中的能量
Q2Q2drdw=wdV=2222πrldr=8πεrl4πεlr
（2）电介质中总能量：
Q2bdrQ2bW=∫dw==ln∫ar4πεla4πεl
1Q21Q2Q2b2πεl又由W=ln。
由此得出电容C=，所以：
=b2C2C4πεlalna
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