初中数学常见的概念定理公式.docx
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初中数学常见的概念定理公式
初中数学常见的概念定理公式
目录
第一部分数与代数2
一、数与式2
（一）实数2
（二）代数式3
（三）整式3
（四）分式4
二、方程与不等式4
（一）一元一次方程4
（二）二元一次方程（组）5
（三）分式方程5
（四）一元二次方程5
（五）一元一次不等式（组）6
（六）一元二次方程根的判别式6
三、函数6
（一）平面直角坐标系6
（二）一次函数7
（三）反比例函数7
（四）二次函数7
（五）二次函数的图象与一元二次方程的根的关系8
（六）二次函数的三类解析式8
第二部分空间与图形9
一、图形的认识9
（一）点、线、面、体9
（二）角9
（三）相交线与平行线9
（四）三角形9
（五）四边形10
（六）圆11
（七）尺规作图12
（八）视图与投影12
二、图形与变换12
（一）图形的轴对称12
（二）图形的平移12
（三）图形的旋转12
（四）图形的相似和位似13
第三部分概率与统计14
一、统计14
二、概率15
第一部分数与代数
一、数与式
（一）实数
1、实数的分类：
整数（包括：
正整数、0、负整数）和分数（包括：
有限小数和无限环循小数）都是有理数。
有理数如：
－8，0.3345，0.7373737……等；无限不环循小数叫做无理数。
无理数如：
π，
，0.1010010001，……（两个1之间依次多1个0）等。
有理数和无理数统称为实数。
2、数轴：
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
实数和数轴上的点一一对应。
3、绝对值：
在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作
。
公式：
＝
如：
＝π；
＝－（3.14－π）＝π－3.14；
＝π－3.14
4、相反数：
符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。
0的相反数是0。
a的相反数是－a。
若a与b互为相反数，则a＋b＝0。
5、若两个数的积是1，那么两个数是互为倒数。
若a与b互为倒数，则ab＝1。
a的倒数是
（a≠0）。
6、有效数字：
一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字。
如：
0.02006精确到0.0001得0.0201，结果有两个有效数字2，0，1；200的有效数字是2，0，0三个。
7、科学记数法：
把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是整数），这种记数法叫做科学记数法。
如：
407000＝4.07×105，0.000043＝4.3×10－5。
8、大小比较：
正数大于0，负数小于0，两个负数的绝对值大的反而小。
9、数的乘方：
求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。
如：
23＝8，2为底数，3为指数，8为幂。
10、平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。
注：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
11、开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
如：
12、算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。
如：
若x2＝4，则x＝±2。
13、立方根：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。
14、开立方：
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
15、二次根式：
形如
（a≥0）的代数式叫做二次根式。
（a≥0）是一个非负数。
①积与商的方根的运算性质：
（a≥0，b≥0）；
＝
（a≥0，b＞0）
②二次根式的性质：
＝
＝
16、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数的因式是整式或整数；
（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式。
17、同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
18、二次根式的乘除法运算法则：
＝
（a≥0，b≥0）；
＝
（a≥0，b＞0）
19、有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；
③绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
④一个数同0相加，仍得这个数。
20、有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
21、有理数乘法法则：
两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。
22、有理数除法法则：
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数。
23、有理数的混合运算法则：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
24、有理数的运算律：
加法交换律a＋b＝b＋a；加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；
乘法交换律ab＝ba；乘法结合律（ab）c＝a（bc）；乘法分配律m（a＋b）＝ma＋mb。
（二）代数式
1、用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
代数式包括单项式和多项式。
2、数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。
任何一个非零数的零次方等于1。
3、有限个单项式之和称为多元多项式，简称多项式。
不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。
不含字母的项叫做常数项。
如一式中：
最高项的次数为5，此式有3个单项式组成，则称其为：
五次三项式。
4、同类项：
所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。
5、合并同类项：
多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项
6、合并同类项的法则是：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变．
（三）整式
1、常见幂的运算：
①同底数幂相乘am·an＝am＋n（m、n为正整数）；
②同底数幂相除am÷an＝am-n（a≠0，m、n为正整数，m＞n）；
③积的乘方（ab）m=ambm，（m为正整数）
④幂的乘方（ab）n＝anbn（n为正整数）；
⑤负整数指数a－p＝
（a≠0，p为正整数）规定：
零指数：
a0＝1（a≠0）；
2、整式的乘除法
①几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除。
②单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项。
③多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项。
④多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式。
3、常见的乘法公式：
平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab＋b2
4、分解因式：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
5、常用的分解因式方法
⑴提公因式法：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
⑵运用公式法：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）；a2±2ab＋b2＝（a±b）2
6、分解因式的步骤：
分解因式时，首先考虑是否有公因式，然后再考虑是否能用公式法分解，最后是用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。
简称：
一“提”二“套”三“查”。
例如：
2x3－6x＝2x（x2－3）＝2x（x＋
）（x－
）
（四）分式
1、定义：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式。
注：
（1）若B≠0，则有意义；
（2）若B＝0，则无意义；（3）分式值为0的条件：
若A＝0且B≠0，则
＝0。
2、分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即
＝
；
＝
（其中m是不等于零的代数式）。
3、约分：
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
4、通分：
把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。
分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。
同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
5、分式的加减法法则：
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
±
＝
；
（2）异分母的分式相加减，先通分化为同分母的分式，后按同分母分式的加减法则计算
±
＝
。
6、分式的乘除法法则：
（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母
·
＝
；
（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
÷
＝
·
＝
（c≠0）．
（3）分式的乘方法则：
（
）n＝
（n为正整数）
7、分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。
注：
对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，后求值。
二、方程与不等式
（一）一元一次方程
1、方程：
含有未知数的等式叫方程。
2、一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。
一般形式：
ax＋b＝0（a≠0）
3、解一元一次方程的一般步骤、根据及注意事项
一般步骤
依据
注意事项
去分母
根据等式性质2
不要漏乘，当分子是多项式时，去分母后要补上括号
去括号
根据分配律或去括号法则
注意项的符号的变化
移项
根据等式性质1
注意项的符号的变化！
合并同类项
合并同类项法则
系数化为1
根据等式性质2
（二）二元一次方程（组）
1、二元一次方程：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组：
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
4、二元一次方程组的解法。
（1）代人消元法：
解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法。
（2）加减消元法：
通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
（三）分式方程
1、分式方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解分式方程的步骤：
①去分母，化为整式方程；②解整式方程；③验根；④下结论。
3、分式方程的增根问题：
⑴增根的产生：
分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；⑵验根：
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
（四）一元二次方程
1、一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）。
2、一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
（2）配方法：
配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：
ax2＋bx＋c＝0（k≠0）的一般步骤是：
①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为（x＋m）2＝n的形式；⑤如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解。
（3）公式法：
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，当b2－4ac≥0时，x＝
；当b2－4ac＜0时，无解。
（4）因式分解法：
用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。
它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0。
因式分解法的步骤是：
①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
3、注意事项
⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2＋2kx＋1＝0中，当k＝±1时就是一元一次方程了。
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：
①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代入求根公式，求出x1、x2；若b2－4ac＜0，则方程无解。
⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如－2（x＋4）2＝3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：
开平方法→因式分解法→公式法。
4、一元二次方程根与系数的关系
设x1、x2是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，那么x1＋x2＝－
，x1·x2＝
（五）一元一次不等式（组）
1、不等式：
用不等号（“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”）表示不等关系的式子。
2、不等式的基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3、不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4、不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
5、解不等式：
求不等式解集的过程叫做解不等式。
6、一元一次不等式：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式。
7、解一元一次不等式易错点：
（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；
（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8、解一元一次不等式的步骤：
①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1
9、求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解．
10、一元一次不等式组：
关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
11、一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
12、解不等式组：
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
13、不等式组的分类及解集（a＜b）
解集x＞b
解集a＜x＜b
无解
解集x＜a
14、解一元一次不等式组的步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
（六）一元二次方程根的判别式
△＝b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式。
①△＞0←→方程有两个不相等的实数根；
②△＝0←→方程有两个相等的实数根；
③△＜0←→方程没有实数根；
④△≥0←→方程有两个实数根。
三、函数
（一）平面直角坐标系
1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
这个平面叫做坐标平面。
2、象限角，又称象限（英文Quadrant意思是一圆之四分一等份），平面直角坐标系里的横轴和纵轴所划分的四个区域，分为四个象限。
象限以原点为中心，x，y轴为分界线。
右上的称为第一象限，左上的称为第二象限，左下的称为第三象限，右下的称为第四象限。
在坐标轴上的点特别是原点不属于任何象限。
对于任意一点的坐标（x，y）；x＞0，y＞0时在第一象限；x＜0,y＞0时在第二象限；x＜0，y＜0时在第三象限；x＞0，y＜0时在第四象限。
（二）一次函数
1、一次函数：
若两个变量x、y间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量，y是因变量〕特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图象：
一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，b），（－
，0）的一条直线；
（1）正比例函数y＝kx的图象原点（0，0）的一条直线。
（2）函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象是过点（0，b）且与直线y＝kx平行的一条直线；
3、一次函数的图象和性质：
y＝kx＋b（k、b为常数k≠0）的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标）。
当k＞0时，y随x的增大而增大（直线从左向右上升）；当k＜0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降）。
特别：
当b＝0时，y＝kx_又叫做正比例函数（y与x成正比例），图象必过原点；一次函数y＝kx＋b的图象是由正比例函数y＝kx的图象沿y轴向上（b＞0）或向下（b＜0）平移的到一条直线。
正比例函数的图象：
函数y＝kx的图象是过原点和点（1，k）的一条直线。
（三）反比例函数
1、反比例函数：
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝
（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y＝
是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y＝
有时也被写成xy＝k或y＝kx－1。
2、图象和性质：
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数
y＝
具有如下的性质：
①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大。
（四）二次函数
1、定义：
形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。
化为顶点式：
y＝a（x＋
）2＋
2、图象和性质：
二次函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线。
①开口方向：
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
②对称轴：
过点（－
0）且平行于y轴的直线；x＝－
。
③顶点坐标：
（－
）
④增减性：
当a＞0时，如果x＜－
，则y随x的增大而减小，如果x＞－
，则y随x的增大而增大；
当a＜0时，如果x＜－
，则y随x的增大而增大，如果x＞－
，则y随x的增大而减小。
⑤最大值或最小值：
当a＞0时，二次函数图象有一个最低点。
且x＝－
时，y最小值＝
。
当a＜0时，二次函数图象有一个最高点。
且x＝－
时，y最大值＝
。
3、图象的平移：
将二次函数y＝ax2（a≠0）的图象进行平移，可得到y＝ax2＋c，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k的图象。
⑴将y＝ax2的图象向上（c＞0）或向下（c＜0）平移
个单位，即可得到y＝ax2＋c的图象。
其顶点是（0，c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y＝ax2相同。
⑵将y＝ax2的图象向左（h＜0）或向右（h＞0）平移
个单位，即可得到y＝a（x－h）2的图象．其顶点是（h，0），对称轴是直线x＝h，形状、开口方向与抛物线y＝ax2相同。
⑶将y＝ax2的图象向左（h＜0）或向右（h＞0）平移
个单位，再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移
个单位，即可得到y＝a（x－h）2＋k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x＝h，形状、开口方向与抛物线y＝ax2相同。
（五）二次函数的图象与一元二次方程的根的关系
（1）一元二次方程就是二次函数当函数y＝0时的情况。
（2）y＝ax2＋bx＋c中，△＝b2－4ac；
△＞0←→二次函数的图象与x轴有两个交点；
△＝0←→二次函数的图象与x轴有一个交点；
△＜0←→二次函数的图象与x轴没有交点。
（六）二次函数的三类解析式
（1）一般式：
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
（2）顶点式：
y＝a（x－h）2＋k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（h，k）,对称轴是x＝h。
（3）交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中x1、x1是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线x＝
例1已知一个二次函数图象经过（－1，10）、（2，7）和（1，4）三点，试求这个函数的解析式。
例2已知抛物线的顶点是A（－1，4）且经过点
（1，2），求其解析式。
例3已知抛物线的顶点为A，若二次函数的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
第二部分空间与图形
一、图形的认识
（一）点、线、面、体
1、认识点、线、面、体
体——长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等几何体。
面——包围着体的是面；面有两种：
曲面和平面。
线——面与面相交的地方是线，线有直线、曲线两种。
点——线与线相交的地方是点。
2、点、线、面、体之间的关系
静态关系：
包围体的是面，面与面相交的地方是线，线与线相交的地方是点。
动态关系：
点动成线、线动成面、面动成体。
（二）角
1、角的度量和比较：
把一个周角360等分，每1份的角记作1度，1度=60分，1分=60秒。
2、角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
（三）相交线与平行线
1、余角、补角、对顶角（相交）的性质：
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等。
2、垂直
（1）垂线的性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
（2）线段垂直平分线定义：
过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；
（3）线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；
3、平行
（1）平行线的定义：
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
（2）平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
（3）平行线的判定：
①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
（4）平行公理：
经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
（5）平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（四）三角形
1、三角形重要线段为：
角平分线：
三角形角平分线是指三角形一个内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫三角形的角平分线，共三条，且交于一点；三角形的中线：
三角形的顶点与对边中点的连线段，共三条中线，也交于一点；三角形的高：
由三角形的一个顶点向对边作垂线
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