利用空间曲线的一般方程计算其曲率和挠率Word文件下载.doc

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wecalculatetheformulasofthecurvatureandtorsion.

Keywords:

curvature;

torsion;

thegeneralequationofaspacecurve

曲线的曲率描述的是曲线的切向量对于弧长的旋转速度,即曲线的弯曲程度;

曲线的挠率其绝对值描述的是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度,即曲线的扭曲程度.计算曲线的曲率和挠率一般是利用曲线的自然（弧长）参数方程进行推导的,所以曲线的方程由一般方程给出时,首先要改写成参数方程,然后再计算曲线的曲率和挠率.但是有些方程不容易改写成自然参数方程,本文就从曲线的一般方程出发直接推导计算曲线的曲率和挠率的公式.

下面,设曲线是两光滑曲面的交线,且

是满秩的.

一、计算曲线的曲率

设所求曲线为,其中为弧长.则

.

（1）

将方程

（1）式中的两式对求导,有

（2）

记向量

　　　　　（3）

则曲线的单位切向量的方向平行于的方向.在局部,选择弧长的增加方向,使得单位切向量的方向就是的方向,那么,有

　　　　　　（4）

又由（3）式知

.　　　　（5）

=.（6）

且由（4）式和（5）式可知

=.

=.（7）

将（4）式两端对弧长求导,由Frenet公式,有

+

（8）

这里,是单位主法向量.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

将（4）式与（8）式两端分别作外积

（9）

这里,是单位副法向量.　　　　　

因为=－

　　=－　　　　　　　　　（10）

　　　=

　　　　　　=.　　　　　　　（11）

将（10）式和（11）式代入（9）式,有

=－　.　（12）

由（3）式知

=

　　.　　　　　　　　　　　（13）

　　.　　　　　　　　　　　　　（14）

则由（5）式和（14）式,有

　=

＋

＋　（15）

=＋

.　

由（5）式和（13）式,有

＋　　　　　　　（16）

又由（3）式和（12）式,有

　（17）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由（15）式和（16）式,有

＋＋

　　.　　　　　　　　　　（18）

令　（19）

将（7）式、（19）式代入（18）式,有

　（20）　

同理,有

　（21）　　

　（22）　　

将（20）式、（21）式和（22）式代入（17）式,有

　（23）　

由（3）式,（23）式可变为

=+2+2

++2+.

=

－.（24）

令=.（25）

=.（26）

则=（27）

两端取向量长度,得曲线的曲率为

.（28）

二、计算曲线的挠率

将（27）式两端关于弧长求导,有

=.（29）

将（27）式和（29）式两端作外积,得

=.（30）

对（30）式两端向量取长度,有

=.（31）

则曲线的挠率为

.（32）

这里,分别由（3）,（13）,（14）,（25）,（26）式计算.,计算式分别为下

面（33）,（34）式:

（33）

其中,

（34）.

其中,

..

三、举例

例设曲线是二次曲面,的交线,求曲线的曲率和挠率.

解记①

则,②

由①式,有

,,,,,

,,,,.③

由（9）式,得

,.④

由③式和④式,及（25）式、（26）式,可以得到

⑥

.⑤

.

由①式,⑤式和⑥式,有

.⑦

由②式和（5）式,有

.⑧

将⑦式和⑧式代入公式（27）,有曲率

.

下面,求这条曲线的挠率.

由公式（30）,有

=.⑨

利用⑧式和⑨式,有

.⑩

由⑧式和⑩式,得挠率为

参考文献

[1]黄宣国.空间解析几何,上海：

复旦大学出版社,2003.

[2]梅向明,黄敬之.微分几何（第三版）,北京：

高等教育出版社,1988.

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