直线的一般式方程与直线的垂直关系高中数学知识点讲解含答案.docx
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直线的一般式方程与直线的垂直关系高中数学知识点讲解含答案
直线的一般式方程与直线的垂直关系（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共6小题）
1．（2019秋•海淀区校级期末）若两条直线axy与x2y10垂直，则a的值为（ ）
210
A．1B．C．4D．
14
2．（2019•顺义区二模）已知集合Mx，y）|yf（x）}，若对于，yM，，yM，使得
{（（x
1）（x
2）12
x1x2y1y20M2
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：
1{（,）|1}；
Mxyyx
M2{（x,y）|ylnx}4{（,）|sin1}
；；．
Mxyyexe
3{（,）|}Mxyyx
其中是“互垂点集”的集合为（ ）
A．M，MB．M，MC．M，MD．M，
1223143
M
4
3．（2019春•朝阳区期末）已知直线l1:
ykx1，2:
（2），若，则实数的值是
lykxllk（）
12
A．0B．1C．1D．0或
1
4．（2019•西城区模拟）经过点（3,a），（2,0）的直线与直线x2y30垂直，则a（ ）
52
A．B．C．10D．
25
10
5．（2019•朝阳区一模）已知圆C:
（x2）y2，直线l:
ykx2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线
22
1llk（）
，l，使得，则实数的取值范围是 1212
A．，，B．
[023）（23）[23,23]
C．（,0）D．[0，）
6．（2017秋•昌平区期末）在ABC中，点A（1,2），B（2,1），点C与点A关于y轴对称，则AB边上的高所在的直
线方程为（ ）
A．x3y70B．xy20C．3xy10D．3xy10
二．填空题（共6小题）
7．（2019春•西城区期末）已知点M（1,0），N（1,0）．若直线l:
xym0上存在点P使得PMPN，则实数m
的取值范围是 ．
8．（2019春•丰台区期末）过点A（0,2），且与直线xy10垂直的直线方程为 ．
9．（2019春•平谷区期末）经过点（1,1）且与直线l:
3xy10垂直的直线方程为 ；
第1页（共9页）
10．（2019春•大兴区期末）已知点A（1,0）和点B（0,1），则线段AB的垂直平分线的方程为 ．
11．（2017秋•东城区期末）若直线l与直线2xy10垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：
．
12．（2018春•昌平区期末）已知直线lxaya，互相垂直，则的值为 ．
1:
0laxaya
2:
（23）10
三．解答题（共3小题）
13．（2015秋•石景山区期末）已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P．
（Ⅰ）若直线平行于直线lxy，求l的方程；
l1:
410
（Ⅱ）若直线垂直于直线lxy，求l的方程．
l1:
410
14．（2015秋•石景山区期末）已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P，直线l的方程为4xy10．
1
（Ⅰ）若直线l平行于直线l，求l的方程；
1
（Ⅱ）若直线l垂直于直线l，求l的方程．
1
15．（2016秋•西城区校级期中）已知：
已知：
正方形ABCD的中心M（1,2），其中一边AB所在直线方程为
x2y30
，求这个正方形其它三边所在直线的方程．
第2页（共9页）
直线的一般式方程与直线的垂直关系（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2019秋•海淀区校级期末）若两条直线210与垂直，则的值为
axyx2y10a（）
A．1B．C．4D．
14
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：
两条直线与垂直，
Qax2y10x2y10
a40
，
解得a4．
故选：
C．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2019•顺义区二模）已知集合，，若对于，，，2），使得
Mxy）|yf（x）}yMyM
{（（x
1）（x12
x1x2y1y20M1{（,）|21}
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合：
；
Mxyyx
M2{（x,y）|ylnx}3{（,）|}
；；M4{（x,y）|ysinx1}．
Mxyyee
x
其中是“互垂点集”的集合为（ ）
A．M，MB．M，MC．M，MD．M，
1223143
M
4
【分析】集合Mx，y）|yf（x）}，对于（x，yM，（x，yM，使得xxyy成立，称集合M
{（
1）2）1212012
是“互垂点集”．利用此定义即可判断出正误．
【解答】解：
对于M，取点（0,1），假设存在（x,y）M满足0y0，解得y0，而yx21…1，矛盾，因此不
11
满足条件．
对于M，取点（1,0），假设存在（x,y）M满足x00，解得x0，而函数ylnx的定义域为{x|x0}，矛盾，
22
因此不满足条件．
对于，假设取点A（x，，B（x，2）3，使得12120成立，即．结合图象即可
MyMxxyykgk1
y1）M3
312OAOB
得出，正确．
对于M，画出图象，同理可得：
正确．
4
只有M，M正确．
34
第3页（共9页）
故选：
D．
【点评】本题考查了新定义、数形结合方法、举例法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2019春•朝阳区期末）已知直线，l2:
y（k2）x，若ll，则实数k的值是（ ）
l1:
ykx1
12
A．0B．1C．1D．0或1
【分析】根据两直线垂直时，斜率之积为1，列方程求出k的值．
【解答】解：
直线，l2:
y（k2）x，
l1:
ykx1
若，则，
llk（k2）1
12
即k22k10，
解得k1．
故选：
B．
【点评】本题考查了直线的方程与垂直关系的应用问题，是基础题．
4．（2019•西城区模拟）经过点（3,a），（2,0）的直线与直线x2y30垂直，则a（ ）
52
A．B．C．10D．
25
10
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：
经过点，的直线与直线垂直，
Q（3,a）（2,0）x2y30
a1
322
1，
解得a10．
故选：
D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2019•朝阳区一模）已知圆:
（2）2，直线．若直线上存在点，过点引圆的两条切线
Cx2y2l:
ykx2lPP
1，l，使得ll，则实数k的取值范围是（ ）
1212
A．，，B．
[023）（23）[23,23]
第4页（共9页）
C．（,0）D．[0，）
【分析】如图所示，直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得ll，可得CPA45，可得
lPP1l
1212
|CP|2P（x,y）P（x2）2y24ykx2…0k
．设，则点满足：
，与联立化简，利用△，即可得出的取值范
围．
【解答】解：
如图所示，
直线上存在点，过点引圆的两条切线1，，使得ll，
lPPl
1212
则CPA45，．
|CP|222
设（,），则点满足：
，与联立化为：
PxyP（x2）2y24ykx2
（1k2）x2（4k4）x40
，
（4k4）244（1k2）…0
△，
解得．
k…0
k[0）
实数的取值范围是，．
故选：
D．
【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程、一元二次方程有解与判别式的关系，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
6．（2017秋•昌平区期末）在ABC中，点A（1,2），B（2,1），点C与点A关于y轴对称，则AB边上的高所在的直
线方程为（ ）
A．x3y70B．xy20C．3xy10D．3xy10
121
【分析】求出点C（1,2），k，由此能求出AB边上的高所在的直线方程．
AB
213
【解答】解：
Q在ABC中，点A（1,2），B（2,1），点C与点A关于y轴对称，
C（1,2）
，
第5页（共9页）
121
k
AB
213
，
ABy23（x1）3xy10
边上的高所在的直线方程为，即．
故选：
C．
【点评】本题考查AB边上的高所在的直线方程的求法，考查直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
二．填空题（共6小题）
7．（2019春•西城区期末）已知点M（1,0），N（1,0）．若直线l:
xym0上存在点P使得PMPN，则实数m
的取值范围是 ．
[2,2]
【分析】由题意可得，直线l与以MN为直径的圆有交点，圆心到直线l得距离小于或等于半径，再利用点到直线的
距离公式，求得实数m的取值范围．
【解答】解：
点，，以为直径的圆的方程为：
．
QM（1,0）N（1,0）MNx2y21
Ql:
xym0PPMPN
若直线上存在点使得，
直线l与圆有交点，故圆心C（0,0）到直线l的距离小于或等于半径，
|00m|
即，求得，
„12„m„22
故答案为：
．
[2,2]
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2019春•丰台区期末）过点A（0,2），且与直线xy10垂直的直线方程为 xy20 ．
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质可设要求的直线方程为xyk0，把A点坐标代入，求得k的值，可得
结论．
【解答】解：
设与直线xy10垂直的直线方程为xyk0，再把点A（0,2）代入可得2k0，
k，故要求的直线为xy20，
2
故答案为：
xy20．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
9．（2019春•平谷区期末）经过点（1,1）且与直线l:
3xy10垂直的直线方程为 x3y20 ；
【分析】两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程
【解答】解：
直线的斜率为，
Ql:
3xy103
第6页（共9页）
（1,1）l:
3xy101
经过点且与直线垂直的直线的斜率为，
3
1
故要求直线的方程为1
（1），即，
yxx3y20
3
故答案为：
．
x3y20
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
10．（2019春•大兴区期末）已知点A和点B（0,1），则线段AB的垂直平分线的方程为 xy0 ．
（1,0）
【分析】由已知点的坐标求得A，B的中点坐标及AB所在直线当斜率，进一步求出线段AB的垂直平分线的斜率，
再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：
QA（1,0），B（0,1），
（11）
AB的中点坐标为，，k1，
10220
（1）
AB
则线段的垂直平分线的斜率为．
AB1
11
AByxxy0
线段的垂直平分线的方程为1（），即．
22
故答案为：
xy0．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
11．（2017秋•东城区期末）若直线l与直线2xy10垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程：
x2y20
．
【分析】根据垂直关系可设直线的方程为，由直线不过第一象限知，由此写出直线的方
lx2ym0lm0l
程．
【解答】解：
直线与直线垂直，可设直线的方程为，
l2xy10lx2ym0
又直线l不过第一象限，则m0；
不妨令2，则直线的方程为．
mlx2y20
故答案为：
．
x2y20
【点评】本题考查了垂直关系与直线方程的应用问题，是基础题．
12．（2018春•昌平区期末）已知直线1:
0，互相垂直，则的值为 或
lxaya2:
（23）10
laxayaa0
a2 ．
【分析】由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程，解此方程即可得出的值．
1aa[（2a3）]0a
【解答】解：
直线与直线互相垂直
Qxaya0ax（2a3）y10
第7页（共9页）
1aa[（2a3）]0a0a2
，解得或
故答案为或
a0a2
【点评】本题考查两条直线垂直关系与两直线系数之间的关系，解题的关键是正确利用此垂直关系建立方程，本题
考查了方程的思想
三．解答题（共3小题）
13．（2015秋•石景山区期末）已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P．
（Ⅰ）若直线l平行于直线l1:
4xy10，求l的方程；
（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1:
4xy10，求l的方程．
2xy50
【分析】联立，解得交点P．
x2y0
（Ⅰ）设直线l:
4xym0，把（2,1）代入可得m，即可得出；
（Ⅱ）设直线的方程为：
，把点代入上述方程，即可得出．
lx4yn0P（2,1）n
2xy50
【解答】解：
联立，解得P（2,1）．
x2y0
（Ⅰ）设直线:
40，把代入可得：
，．
lxym（2,1）421m0m7
4xy70
l的方程为：
；
（Ⅱ）设直线的方程为：
，
lx4yn0
把点P（2,1）代入上述方程可得：
24n0，解得n6．
x4y60
．
【点评】本题考查了相互垂直的直线、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
14．（2015秋•石景山区期末）已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P，直线l的方程为4xy10．
1
（Ⅰ）若直线l平行于直线l，求l的方程；
1
（Ⅱ）若直线l垂直于直线l，求l的方程．
1
2xy50
【分析】（I）联立，解得交点P，设直线l的方程为：
4xym0，把点P代入解得m．
x2y0
（II）直线l垂直于直线l，设直线l的方程为：
x4yn0，把点P的坐标代入解得n即可得出．
1
第8页（共9页）
2xy50
【解答】解：
联立，解得交点P（2,1），
（I）
x2y0
设直线的方程为：
，
l4xym0
把点P代入可得：
421m0，解得m7．
l4xy70
直线的方程为：
．
（II）Qll
直线垂直于直线，
1
设直线的方程为：
，
lx4yn0
把点P的坐标代入可得：
24n0，解得n6．
lx4y60
直线的方程为：
．
【点评】本题考查了相互平行与相互垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（2016秋•西城区校级期中）已知：
已知：
正方形ABCD的中心M（1,2），其中一边AB所在直线方程为
x2y30
，求这个正方形其它三边所在直线的方程．
【分析】利用两条直线平行、垂直的性质，设出直线的方程，利用中心M（1,2）到4个边的距离相等，求出待定系数，
可得这个正方形其它三边所在直线的方程．
【解答】解：
正方形的中心，其中一边所在直线方程为，
QABCDM（1,2）ABx2y30
设与所在直线平行的边所在直线方程为，
ABx2y30x2ya0
与所在直线垂直的边所在直线方程为．
ABx2y302xyb0
|143|85
QM（1,2）ABx2y30
中心到所在直线的距离为，
55
|14a|85
M（1,2）x2ya0a3a13
中心到直线的距离为，（舍去）或．
55
|22|85
bb8中心到直线的距离为，．
M（1,2）2xyb0
55
故这个正方形其它三边所在直线的方程分别为x2y130，2xy80，2xy80．
【点评】本题主要考查用待定系数法求直线方程，两条直线平行、垂直的性质，点到直线的距离公式的应用，属于
中档题．
第9页（共9页）
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