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答案高考资料高考复习资料中考资料
你永远是最棒的
南京市2019届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准
制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视
影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的
错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位
置上）
2
3
1．{－3，－2，2}2．53．1504．75．
2
6．[，2]7．①③
11
25
9
8．59．410．211．x＋2y－4＝012．－313．
14．[e2，4e]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
27
解：
（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，
7
27
所以cosα＝，………………………………2分
7
1
所以cos2α＝2cos2α－1＝．………………………………4分
7
3333
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．………………………………6分
1414
13
又因为β为锐角，所以cosβ＝．………………………………8分
14
27
因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝
7
21
7
，
43
因此sin2α＝2sinαcosα＝，……………………………10分
7
所以sin（2α－β）＝
43
×13－1×33＝3
．……………………………12分
7147142
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
π
又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
2
高三数学答案第1页共10页
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
πππ
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．…………………………………14分
223
16．（本小题满分14分）
（1）证明：
如图1，连结PE．
P因为△PBC的边长为2的正三角形，E为BC中点，
M
所以PE⊥BC，……………………2分
且PE＝3，同理AE＝3．
因为PA＝6，所以PE2＋AE2＝PA2，所以PE⊥AE．……4分
因为PE⊥BC，PE⊥AE，BC∩AE＝E，AE，BC平面ABC，
AC
O
DE
B所以PE⊥平面ABC．
（图1）因为PE平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ABC．……………………7分
（2）解法一
如图1，连接CD交AE于O，连接OM．
因为PD∥平面AEM，PD平面PDC，平面AEM∩平面PDC＝OM，
所以PD∥OM，……………………………………9分
PMDO
所以＝．……………………………………11分
PCDC
因为D，E分别为AB，BC的中点，CD∩AE＝O，
DO1
所以O为ABC重心，所以＝，
DC3
12
所以PM＝PC＝．…………………………………14分
33
解法二
P如图2，取BE的中点N，连接PN．
M
因为D，N分别为AB，BE的中点，
所以DN∥AE．
AC
又DN平面AEM，AE平面AEM，
所以DN∥平面AEM．
又因为PD∥平面AEM，DN平面PDN，PD平面PDN，DN∩PD＝D，
DE
N
B
所以平面PDN∥平面AEM．………………………………9分
（图2）
又因为平面AEM∩平面PBC＝ME，平面PDN∩平面PBC＝PN，
PMNE
所以ME∥PN，所以＝．………………………………11分
PCNC
因为E，N分别为BC，BE的中点，
NE112
所以＝，所以PM＝PC＝．………………………………14分
NC333
高三数学答案第2页共10页
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
17．（本小题满分14分）
解：
（1）连结DC．
π
在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为，
3
π
所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝23．………………………………2分
6
π
因为BC为直径，所以∠BDC＝，
2
所以BD＝BCcosθ＝23cosθ．………………………………4分
ππ
（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝23cosθ，
63
DFBF
BD
所以＝＝，
ππ
sin∠BFD
sin（θ＋）sin（－θ）
62
π
所以DF＝4cosθsin（＋θ），………………………………6分
6
且BF＝4cos2θ，所以DE＝AF=4－4cos2θ，………………………………8分
所以DE＋DF＝4－4cos2θ＋4cosθsin（π
＋θ）=3sin2θ－cos2θ＋3
6
π
＝2sin（2θ－）＋3．…………………………………12分
6
因为ππ，所以ππ＜5π
≤θ＜≤2θ－，
32266
π＝ππ
所以当2θ－，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．……………13分
623
答：
当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．…………………………………14分
18．（本小题满分16分）
解
（1）离心率e＝c＝3，所以c＝3a，b＝a2－c2＝1
a222
a，…………………………………2分
x2y2
所以椭圆C的方程为＋＝1．
4b2b2
83169
因为椭圆C经过点P（，），所以＋＝1，
5525b225b2
所以b2＝1，所以椭圆C的方程为x2
＋y2＝1．…………………………………4分4
（2）解法一
设N（n，0），
（2
）222
当l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－，
＝24
5
55
25
4
→→
2244
则NANB＝（－n）2－y2＝（＝n2－n－，…………………………………6分
－n）2－24
5555
25
高三数学答案第3页共10页
自信是迈向成功的第一步
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→→
当l经过左､右顶点时，NANB＝（－2－n）（2－n）＝n2－4．
44
令n2－n－＝n2－4，得n＝4．……………………………………8分
55
→→
下面证明当N为（4，0）时，对斜率为k的直线l：
y＝k（x－2
），恒有NANB＝12．5
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x2
＋y2＝1，
4
2＋1）x2－16k2x＋16
y＝k（x－2
525
5
），消去y，得（4kk2－4＝0，
1616
k2k2－4
所以x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………10分
525
4k2＋14k2＋1
→→
所以NANB＝（x1－4）（x2－4）＋y1y2
＝（x1－4）（x2－4）＋k2（x1－2）（x2－2
）55
＝（k2＋1）x1x2－（4＋2k2）（x1＋x2）＋16＋4
k2…………………………………12分525
1616
k2－4k2
＝（k2＋1）k2）k2
－（4＋2＋16＋4
255
525
4k2＋14k2＋1
（k2＋1）（16k2－4）－16k2（4＋2k2）＋4
k2（4k2＋1）
＝＋16
255525
4k2＋1
＝－16k2－4
4k2＋1
＋16＝12．
→→
所以在x轴上存在定点N（4，0），使得NANB为定值．…………………………………16分
解法二
设N（n，0），当直线l斜率存在时，设l：
y＝k（x－2
），5
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x2
＋y2＝1，
4
2＋1）x2－16k2x＋16k2－4＝0，
k2－4＝0，
y＝k（x－2
525
5
），消去y，得（4k
1616
k2k2－4
所以x1＋x2＝，x1x2＝，…………………………………6分
525
4k2＋14k2＋1
→→
所以NANB）
＝（x1－n）（x2－n）＋y1y2＝（x1－n）（x2－n）＋k2（x1－2）（x2－2
55
＝（k2＋1）x1x2－（n＋2k2）（x1＋x2）＋n2＋4
k2525
高三数学答案第4页共10页
自信是迈向成功的第一步
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1616
k2－4k2
＝（k2＋1）k2）k2……………………………………8分
－（n＋2＋n2＋4
255
525
4k2＋14k2＋1
（k2＋1）（16k2－4）－16k2（n＋2k2）＋4
k2（4k2＋1）
＝＋n2
255525
4k2＋1
（－16n－16
）k2－4
＝＋n2．……………………………………12分
55
4k2＋1
→→
（－16n－16（－16n－16
）k2－4）k2－4
若NANB为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数，
5555
4k2＋14k2＋1
则（－16n－16
）k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，55
所以
－16n－16
55
＝4λ，
所以n＝4，λ＝－4，
－4＝λ，
→→
此时NANB＝12．……………………………………14分
（2
）222
当直线l斜率不存在时，A（，y），B（，－y），则y2＝1－，
＝24
5
55
25
4
→→
22
所以NANB＝（－4）2－y2＝（＝12，
－4）2－24
55
25
→→
所以在x轴上存在定点N（4，0），使得NANB为定值．………………………………16分
19．（本小题满分16分）
解：
（1）因为f（x）＝2x3－3ax2＋3a－2（a＞0），
所以f'（x）＝6x2－6ax＝6x（x－a）．
令f'（x）＝0，得x＝0或a．………………………………2分
当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
2
故f（x）极大值＝f（0）＝3a－2＝0，解得a＝．………………………………4分
3
（2）g（x）＝f（x）＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2（a＞0），
则g′（x）＝6x2－6ax＋6＝6（x2－ax＋1），x∈[0，1]．
①当0＜a≤2时，△＝36（a2－4）≤0，
所以g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，1]上单调递增，
则g（x）取得最大值时x的值为1．……………………………6分
a
②当a＞2时，g′（x）的对称轴x＝＞1，且△＝36（a2－4）＞0，g′
（1）＝6（2－a）＜0，g′（0）＝6＞0，
2
高三数学答案第5页共10页
自信是迈向成功的第一步
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a－a2－4
所以g′（x）在（0，1）上存在唯一零点x0＝．
2
当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
a－a2－4
则g（x）取得最大值时x的值为x0＝．………………………………8分
2
综上，当0＜a≤2时，g（x）取得最大值时x的值为1；
a－a2－4
当a＞2时，g（x）取得最大值时x的值为．……………………………9分
2
（3）设h（x）＝f（x）－f′（x）＝2x3－3（a＋2）x2＋6ax＋3a－2，
a＋2
则h（x）≥0在[a
，]有解．………………………………10分
2
2
a＋2a2＋4
h′（x）＝6[x2－（a＋2）x＋a]＝6[（x－）2－]，
24
aa＋2a3
因为h′（x）在（，）上单调递减，所以h′（x）＜h′（）＝－a2＜0，
2222
aa＋2
所以h（x）在（，）上单调递减，
22
a
所以h（）≥0，即a3－3a2－6a＋4≤0．…………………………………12分
2
设t（a）＝a3－3a2－6a＋4（a＞0），则t′（a）＝3a2－6a－6，
当a∈（0，1＋2）时，t′（a）＜0，t（a）单调递减；
当a∈（1＋2，＋∞）时，t′（a）＞0，t（a）单调递增．
因为t（0）＝4＞0，t
（1）＝－4＜0，所以t（a）存在一个零点m∈（0，1），…………………14分
因为t（4）＝－4＜0，t（5）＝24＞0，所以t（a）存在一个零点n∈（4，5），
所以t（a）≤0的解集为[m，n]，
故满足条件的正整数a的集合为{1，2，3，4}．…………………………………16分
20．（本小题满分16分）
解：
（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2（n－1）2＝4n－2，
又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2．…………………………………2分
所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4（n＋1）－2为数列{an}的第n＋1项，
因此数列{an}为“T数列”．…………………………………4分
（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，
所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋（n－1）d＋|d|．
因为数列{an}为“T数列”，
所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋（n－1）d＋|d|＝am，即有（m－n）d＝|d|．…………6分
①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得（m－n）d＝|d|，
②若d＜0，则m＝n－1．
高三数学答案第6页共10页
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意．
综上，d≥0．……………………………………8分
（3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．
又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－（an＋1－an）＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，
所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．…………………………………10分
设数列{an}的公差为t（t＞0），则有an＝1＋（n－1）t，
22
由an＜an＋1－an＜an＋1，得1＋（n－1）t＜t[2＋（2n－1）t]＜1＋nt，………………………………12分
整理得n（2t2－t）＞t2－3t＋1，①
n（t－2t2）＞2t－t2－1．②
t2－3t＋1
若2t2－t＜0，取正整数N0＞，
2t2－t
则当n＞N0时，n（2t2－t）＜（2t2－t）N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，
因此2t2－t≥0．
同样根据②式可得t－2t2≥0，
1
所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．
2
1
经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，
2
1n＋1
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋（n－1）＝．………………………………16分
22
高三数学答案第7页共10页
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准2018.05
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准
制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视
影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错
误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．卡．指．定．区．域．
内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
证明：
连结MN，则∠BMN＝∠BCA，………………………………2分
又∠MBN＝∠CBA，因此△MBN∽△CBA．………………………………4分
所以AB＝BN
ACMN
．………………………………6分
1BN
又因为AC＝AB，所以＝2，即BN＝2MN．………………………………8分
2MN
又因为BN＝2AM，所以AM＝MN，
所以CM是∠ACB的平分线．………………………………10分
B．选修4—2：
矩阵与变换
解：
因为A＝
12
01
，B＝
20
01
，所以AB＝
22
01
．………………………………4分
设点P0（x0，y0）是l上任意一点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P（x，y）．
因为P0（x0，y0）在直线l:
x－y＋2＝0上，所以x0－y0＋2＝0．①
由AB
x0
y0
＝
x
y
，即
22
01
x0
y0
＝
x
y
，
得
2x0＋2y0＝x，
y0＝y，
………………………………6分
即
1
x0＝x－y，
2
②
y0＝y．
将②代入①得x－4y＋4＝0，
所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0．………………………………10分
高三数学答案第8页共10页
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
解：
解法一
π
在直线sin（θ－）＝－3中，令θ＝0，得＝2.
3
所以圆C的圆心坐标为C（2，0）．………………………………4分
π
因为圆C经过点P（2，），
3
π
所以圆C的半径PC＝22+22－2×2×2×cos＝2，……………………………6分
3
所以圆C的极坐标方程＝4cosθ．……………………………10分
解法二
以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，
则直线方程为y＝3x－23，P的直角坐标为（1，3），
令y＝0，得x＝2，所以C（2，0），………………………………4分
所以圆C的半径PC＝（2－1）2+（0－3）2=2，………………………………6分
所以圆C的方程为（x－2）2＋（y－0）2＝4，即x2＋y2－4x＝0，………………………………8分
所以圆C的极坐标方程＝4cosθ.……………………………10分
D．选修4—5：
不等式选讲
解：
因为（12＋12＋12）[（2a＋b）2＋（2b＋c）2＋（2c＋a）2]≥（1·2a＋b＋1·2b＋c＋1·2c＋a）2，
即（2a＋b＋2b＋c＋2c＋a）2≤9（a＋b＋c）．……………………………4分
因为a＋b＋c＝1，所以（2a＋b＋2b＋c＋2c＋a）2≤9，……………………………6分
所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≤3，
当且仅当2a＋b＝2b＋c＝2c＋a，即a＝b＝c＝1
时等号成立．3
所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a的最大值为3.……………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．（本小题满分10分）
解：
（1）因为点A（1，a）（a＞0）是抛物线C上一点，且AF=2，
p
所以＋1＝2，所以p＝2.……………………………3分
2
（2）解法一
由
（1）得抛物线方程为y2＝4x．
因为点A（1，a）（a＞0）是抛物线C上一点，所以a＝2．……………………………4分
设直线AM方程为x－1＝m（y－2）（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由
x－1＝m（y－2），
y2＝4x，
消去x，得y2－4my＋8m－4＝0，
即（y－2）（y－4m＋2）＝0，所以y1＝4m－2．……………………………6分
1
因为AM⊥AN，所以－
m
4
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