北师大版八年级下册《三角形的证明》单元检测卷含答案.docx

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北师大版八年级下册《三角形的证明》单元检测卷含答案

八年级（下）第1章《三角形的证明》单元检测卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC（　　）的交点．

A．三条高B．三条角平分线

C．三边的垂直平分线D．三条中线

2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（　　）

A．67°B．67.5°

C．22.5°D．67.5°或22.5°

3．若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）

A．14B．16C．13D．14或16

4．如图，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．3个

5．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝6，则EC的长为（　　）

A．3B．4.5C．1.5D．7.5

6．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝（　　）

A．36°B．54°C．18°D．64°

8．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　）

A．

B．2C．3D．2

9．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（　　）

A．72°B．108°C．126°D．144°

10．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（　　）

A．45°B．60°C．67.5°D．75°

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝128°．则∠B＝度．

12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝度．

13．已知等腰三角形两边长为5，11，则此等腰三角形周长是．

14．如图，在△ABC中，∠A＝70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC＝°．

15．在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，AB＝6cm，则BC＝cm．

16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于．

17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC＝6，则DE的长为．

18．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共个．

三．解答题（共6小题，满分46分）

19．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接DE，求证：

BD＝DE．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．

21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交相交于点P，求点P到AB的距离．

22．已知：

如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．

（1）求证：

AE＝EC；

（2）若DE＝2，求BC的长．

23．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．

（1）如图1，求证：

CD⊥AB；

（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．

①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；

②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：

（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；

（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？

（3）当t为何值时PQ∥BC？

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：

∵点P到A、B两点的距离相等，

∴点P在线段AB的垂直平分线上，

同理，点P在线段AC、BC的垂直平分线上，

则点P是△ABC三边的垂直平分线的交点，

故选：

C．

2．解：

有两种情况；

（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，

则∠ADB＝90°，

已知∠ABD＝45°，

∴∠A＝90°﹣45°＝45°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝

×（180°﹣45°）＝67.5°；

（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，

则∠FHE＝90°，

已知∠HFE＝45°，

∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，

∵EF＝EG，

∴∠EFG＝∠G＝

×（180°﹣135°）＝22.5°，

综合

（1）

（2）得：

等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．

故选：

D．

3．解：

∵（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，

∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，

∴a＝4，b＝6，

①当腰是4，底边是3时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，

即等腰三角形的周长是4+4+6＝14；

②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，

即等腰三角形的周长是6+6+4＝16．

故选：

D．

4．解：

∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，

∴∠ABC＝72°，

①∴∠ABC＝∠C，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

②∵AB＝AC，DE∥BC，

∴AD＝AE，

∴△ADE是等腰三角形；

③∵BE为∠ABC的平分线，

∴∠ABE＝

∠ABC＝36°，

∴∠A＝∠ABE＝36°，

∴AE＝BE，

∴△ABE为等腰三角形；

④∵∠ABC＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，

∠EBC＝∠EBD＝∠DEB＝36°，

∴DB＝DE，

∴△DBE是等腰三角形；

⑤∵∠C＝72°，∠EBC＝36°，

∴∠CEB＝72°，

∴∠C＝∠CEB，

∴BC＝BE，

∴△BCE为等腰三角形．

综上所述，图中的等腰三角形有5个；

故选：

B．

5．解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝6，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴CD＝

AC＝3，

∵DE⊥BC，

∴∠CDE＝30°，

∵EC＝

CD＝1.5．

故选：

C．

6．解：

由题意可得：

MN是AC的垂直平分线，

则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，

∵∠C＝30°，

∴∠DAC＝30°，

∵∠B＝55°，

∴∠BAC＝95°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，

故选：

A．

7．解：

∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

∴∠A＝36°，

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°﹣36°＝54°．

故选：

B．

8．解：

过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，

∴PB＝PA＝3，

∴PQ的最小值为3．

故选：

C．

9．解：

∵∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，

∴∠ACB＝

（180°﹣36°）＝72°，即∠1+∠3＝72°．

∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠3＝72°，

在△BPC中，∠BPC＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣72°＝108°．

故选：

B．

10．解：

由翻折可知：

△BED≌△BCD，

∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°

∵△EDF是等腰三角形，

∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，

∴∠CBF＝45°，

∴∠CBD＝

∠CBE＝22.5°，

∴∠BDC＝67.5°，

故选：

C．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．解：

∵AB＝AC，若∠A＝128°，

∴∠B＝∠C＝

（180°﹣∠A）＝26°，

故答案为：

26．

12．解：

∵AC＝AD＝DB，

∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，

设∠ADC＝α，

∴∠B＝∠BAD＝

，

∵∠BAC＝102°，

∴∠DAC＝102°﹣

，

在△ADC中，

∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，

∴2α+102°﹣

＝180°，

解得：

α＝52°．

故答案为：

52．

13．解：

当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，11，5+5＜11，三边关系不成立，

当等腰三角形的腰为11时，三边为5，11，11，三边关系成立，周长为5+11+11＝27．

故答案为：

27．

14．解：

∵点O到AB、BC、AC的距离相等，

∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC＝

ABC，∠OCB＝

∠ACB，

∵∠A＝70°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，

∴∠OBC+∠OCB＝

110°＝55°，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．

故答案为：

125．

15．解：

∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，

∴∠A＝30°，∠C＝90°，

∵AB＝6cm，

∴BC＝

AB＝3cm，

故答案为：

3．

16．解：

∵BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，

∴CD＝BD，

∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AD+BD+AC＝AC+AB，

而AB＝5，AC＝3，

∴△ADC的周长＝8．

故填空答案：

8．

17．解：

∵DE垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠DAB，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠DAB，

∵∠C＝90°，

∴3∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝30°，

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，

∴CD＝DE＝

BD，

∵BC＝6，

∴CD＝DE＝2，

故答案为：

2．

18．解：

根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．

故答案为：

8．

三．解答题（共6小题，满分46分）

19．证明：

∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝

∠ABC，

∵CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

∵∠ACB＝∠E+∠CDE，

∴∠E＝

∠ACB，

∴∠E＝∠DBE，

∴BD＝DE．

20．解：

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝50°，

∴∠DAC＝25°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，

21．解：

过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，

PF⊥AC于F，

∵点P是△ABC三条角平分线的交点，

∴PD＝PE＝PF

∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC

＝

PD•AB+

PE•BC+

PF•AC

＝

PD•（AB+BC+AC）＝

PD•（7+25+24）

＝28PD

又∵∠ABC＝90°，

∴S△ABC＝

AB•BC＝

×7×24＝7×12

∴7×12＝28PD，

∴PD＝3

答：

点P到AB的距离为3．

22．

（1）证明：

∵AB＝AC，∠C＝30°，

∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，

∵AB⊥AD，

∴∠DAC＝30°，

∴∠DAC＝∠C，

∴DA＝DC，

∵DE⊥AC，

∴AE＝EC；

（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，

∴DC＝2DE＝4，

∵AB⊥AD，∠B＝30°，

∴BD＝2DC＝8，

∴BC＝12．

23．解：

（1）∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠BDC＝90°，

∴CD⊥AB；

（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD＝34°，

由

（1）知，∠BCD+∠B＝90°，

∴∠BCD＝56°，

由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，

∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；

②当∠B＝n°时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，

∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．

24．解：

（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．

又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t．

（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，

∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，

解得t＝4，即当t＝4秒时△APQ是等腰三角形．

（3）∵当AQ：

AC＝AP：

AB时，有PQ∥BC，

∴t：

6＝（12﹣2t）：

12，解得t＝3．

即当t＝3秒时，PQ∥BC．