极限运算法则两个重要极限.docx
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极限运算法则两个重要极限
复习旧课：
1・无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的尖系
导吞：
刖面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2・3极限的运算法则
2-3-1极限的性质
定理1：
（唯一性）如果极限limf（x）存在，则它只有一个极
限。
即若limf（x）A‘limf（x）B‘则AB
定理2:
（有界性）若极限limf（x）存在，则函数f（x）在xo的某一空心邻
XXO°
域内有界
定理3：
（局部保号性）如果limf（x）A，并且A0（或A0），则
XXo
xo的某一空心邻域内，有f（x）0（或f（x）0）。
推论若在xo的某一空心邻域内有f（x）0（或f（x）0），且limf（x）A，则A0（或A0）。
Xxo
2-3-2极限的运算法则
定理1:
设limf（x）A,limg（x）B，则
（1）lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）AB
（2）lim[f（x）g（x）]limf（x）limg（x）AB
若g（x）C.（常数），则lim[Cf（x）]Climf（x）CA
f（x）limf（x）A
（3）lim（B0）
g（x）limg（x）B
证明因为limf（x）A,limg（x）B，利用2。
2定理，它们可以分别写为：
f（x）=A（x）,g（x）B（x）
其中（x）,（x）均为无穷小量，则有：
讲述我们先介绍
极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对XX0
的情况加以叙述，其它
的形式也有类似的结
果。
⑴f（x）+g（x）=A+B+[（X）（x）]
由2•2定理知（x）（x）仍为无穷小量，所以f（x）+g（x）以A+B为极限•即lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）AB.
容易证明：
limP（x）P（xo）
Xxo
ImP（X）P（XO）
xx0Q（x）Q（xo）
2
例1求lim（3x2x5）
x2
解lim（3x2x5）=15
x2
x22x3
例2求lim3
x1xx5
2
x2x36
解lim3=
x1x3x55
x1
例3求lim
x1x1
x1
解因为lim=0根据无穷大于无穷小的尖系
x1x1
x1
所以有lim=
x1x1注意：
求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
&
例4求lim
x1x1
2
X1（x1）（x1）
解lim=lim=lim（x1）2
x1x1x1x1x1
x29
例5lim2
Y3."少-7."AC
设P（x）为多项式
当XXo时，
Q（xo）0
因为f（x）为多项
式，所以极限值等于在xo处的函数值因为f（X）为两个多项式商的极限，且在X-1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在X-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“。
”型，先设法
0
约去非零因子。
吉林工业职业技术学院教师教案用纸
序号3
lim
xi1
“”型，用无穷小
量分出法，即分子、分母同时除以X的最高次幕O
解吨裁x零勰股娜;4
3X3x例6求lim3XX31
x3
X
12
例7求lim
（2）2
1x2^1解lim
（2）=lim2=
x1x1x21x1x212小结：
1•极限运算法则
2•求极限方法
1）设P（x）为多项式‘则limP（x）P（xo）
XX
0
2）P（x）、Q（x）均为多项式，且Q（xo）0，则
P（x）P（xo）limxx0Q（x）Q（xo）
3）若f（x）0,g（x）A0，则lirngwf（x）
4）若曲就为“型时,用因式分解找出“零因子”。
f（x）0
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序号5
a°^mn,boO,axmaxm1ab0
5）结论：
limaOxna1xn1am0,当mn,
xboxnbixn1bn
，当mn.
6）若（x）0,f（x）有界，则lim（x）f（x）0
7）若hm[f（x）g（x）]为“”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2・4两个重要极限
2-4-1判别极限存在的两个准则
准则1（夹逼定理）设函数f（x）,g（x）,h（x）在xo的某一邻域U（xo,）内满足g（x）f（x）
h（x）
且有极限limg（x）limh（x）A，则有limf（x）A
XXOXXOXxo
准则2如果数列Xn单调有界，则limXn—定存在。
X
2-4-2两个重要极限
sinx
1-极限lim1
xO
X
tanx
例8计算lim
x0
X
tanxsinx1sinx1
解lim=lim•二limlim=1
x0XX0xCOSXx0xxoCOSX
1COSX
例9计算lim2
xOx2
c…2Xx2sinsin
1cosx212
解lim2=lim2=lim
x02x02x0
Xx2x
2
一般
sinU
li刘
证明略
例8、例9结果可作为公式使用。
2Xcosx12sin
2
2X
2cos12
可证得此结论。
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序号7
n2
SI
X
和差化积公
式练
习COSXC0S3X
limxo
m
•^il»
解
5
5
Xx.&x心3V^Osmo50hX
檎.SI3X
、ITo
结论:
fl（lxlTI）0创啣）x）
例11计算li訂n3xsinx
XO
2limcos2x：
axx°
X
sin3x津c晞xsinx
xOxO
X
rIJSinx
12求哦tanx
因为当
lim血
i）x2=[lim（1
解lim（1xx
X
例15计算lim（1
xO
2x）x
1
2xF|jm（1
xO
2x）
1
22x
例16计算
lim（1
X
5x
护
X
胖=iim（i
X
lim[1
X
X,
X5（5）
Him（1
X
5X）
X
2例171+M
lim（x3
2xx）=
x^Xx3lim（1
ln（10ox
lim（1
X
lim（1
X
3）3
lim
（1
X
\x33
X3丿
例18、例19视情况选
讲
例18if
算
解hmln（1x）
xO
X）
X）
lximoln（1
1
X）x
inlim（1
X
1
x）xIn
例19
lim型
X0v
ex1则x|n（i
X
e1
=lim
°ln（1+u）sinx
小结：
1.lim1
°x
nmsinf（x"
f（x）of（x）i
解令
所以
lim
xO
ianx
xOx
limA
1X1x
2.lim
（1）xe;lim（1x）xe
xx0
X
In（1x）ex1
lim=1;lim=1
x0x0
XX
作业P27——1（3）（6），P31——1
（1）（6）（9）——2
（1）（3）
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