极限运算法则两个重要极限.docx
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极限运算法则两个重要极限
复习旧课：
1•无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：
前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2.3极限的运算法则
2.3.1极限的性质
定理1：
（唯一性）如果极限limf（x）存在，则它只有一个极限。
即若
limf（x）A,limf（x）B，则AB
定理2:
（有界性）若极限limf（x）存在，则函数f（x）在x0的某一空心邻
X
域内有界
定理3:
（局部保号性）如果limf（x）A，并且A0（或A0），则
Xx0
在x0的某一空心邻域内，有f（x）0（或f（x）0）。
推论若在x0的某一空心邻域内有f（x）0（或f（x）0），且
limf（x）A，则A0（或A0）。
xxq
2.3.2极限的运算法则
定理1:
设limf（x）A,limg（x）B,则
（1）lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）AB
（2）lim[f（x）g（x）]limf（x）limg（x）AB
若g（x）C.（常数），则lim[Cf（x）]Climf（x）CA
f（x）limf（x）A“°、
（3）lim（B0）
g（x）limg（x）B
证明因为limf（x）A,limg（x）B，利用2。
2定理，它们可以分别写为：
f（x）=A（x）,g（x）B（x）
其中（x）,（x）均为无穷小量，则有：
讲述
我们先介绍极限的运算
法则
证明从略。
以上性质只对xx0
的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
⑴f（x）+g（x）=A+B+[（x）（x）]
由2.2定理知（x）（x）仍为无穷小量所以f（x）+g（x）以A+B为极限.
即lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）AB.
容易证明：
limP（x）P（x0）
Xx
limP（x）卩区）
xxoQ（x）Q（x0）
2
例1求lim（3xx5）
x2
解lim（3x2x5）=15
x2
Zl…x22x3
例2求lim3
x1xx5
2
_.x2x36
解lim3=
x1xx55
x1
例3求lim
x1x1
x1
解因为lim—1=0根据无穷大于无穷小的关系
x1x1
x1
所以有lim—
x1x1
注意：
求极限时，必须注意每一步的根据，否则会岀现错误。
八+「x21
例4求lim
x1x1
2
„..x1..（x1）（x1）八c
解lim—lim—lim（x1）2
x1x1x1x1x1
..x29
例5lim2
x3x27x12
设P（x）为多项式
当xX0时，
Q（X0）0
因为f（x）为多项
式，所以极限值等于在
x0处的函数值
因为f（x）为两个多项
式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“-”型，先设法
0
约去非零因子。
解lim亠—二讪&3）（x3）二怙—6
x3x7x12x3（x3）（x4）x3x4
..3x3x
例6求lim―3
xx31
33312
解lim3x-limx3
xx31x11
13
x
虫,当mn,b00,
mm1b0
结论：
limnn10,当mn,
xb°xnb“xn1bn出
当mn.
12
例7求lim
（2）
x1x1x1
&,12...x121
解lim
（2）-lim2-
x1x1x1x1x12
小结：
1•极限运算法则
2•求极限方法
1）设P（x）为多项式，则limP（x）P（x0）。
Xx0
2）P（x）、Q（x）均为多项式，且Q（Xo）0，则
P（x）P（Xo）
lim
xx0Q（x）Q（x°）
3）若f（x）0,g（x）A0，则limg（）
f（x）
4）若lim为“0”型时，用因式分解找出“零因子”。
f（x）0
”型，用无穷小
量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
色,当mn,b00,
mm1b°
5）结论：
lim—axn1am0，当mn,
xboxbixbn出
当mn.
6）若（x）0,f（x）有界，则lim（x）f（x）0
7）若lim[f（x）g（x）]为“”型时，一般是通分或有理化后再处
理。
2.4两个重要极限
2.4.1判别极限存在的两个准则
准则1（夹逼定理）设函数f（x）,g（x）,h（x）在x0的某一邻域U（x0,）内满足
g（x）f（x）h（x）
且有极限limg（x）limh（x）A，则有limf（x）A
Xxx,Xx0
准则2如果数列Xn单调有界，则limxn一定存在。
x
2.4.2两个重要极限
sinx_
1•极限lim1
X0X
tanx
例8计算lim
x0X
”..tanx..sinx1..sinx..1
解lim—lim•=limTim=1
x0Xx0XCOSXx0Xx0COSX
心、心1COSX
例9计算lim2
x0X2
2
o.2X.X
.2sin—.sin—
铲「1COSX「2..12
解lim2—lim—lim
x0x2x0x2x02x
2
一般
sinUlim1
U0U
证明略
例&例9结果可作
为公式使用。
彳o■2X
cosx12sin—
2
c2X,
2cos一1
2
可证得此结论。
1lim
2xo
2
.x
sin
2
例10计算limsin5x
x03x
sin5xsin5x55
解lim=lim
x03xx05x33
结论：
』趴晋1
例11计算limsin3xsinx
x0
x
加sin3xsinx2cos2xsinx
解lim=lim
x0x0
x
sinx
例12求lim一
x0tanx
2limcos2x
x
limsinx
x0x
和差化积公式
练习:
cosxcos3xlim
x0
因为当
时,
解limsinx=lim（s叫x0tanxx0x
产）
tanx
lim（si
x0'
1）tanx
limsin
x
例13求lim
x
sinx
解错误做法:
tanx
sinxlim
x
一般
正确做法:
lim
x
2•极限lim（1
x
例14计算
lim（1
x
解lim（1
x
lim（空^
tanxxx
sinxFim
t
tanx
sin（
0tan（
tan
sint
t）lim
t）t0tant
Uim（1
lim（1
U0
1
U）U
1）x
x
1x
1）2
x
1）2二［lim（1
xx
1丄门2x
1
e2
lim（1
x
例15计算
lim（1
x0
1
2x）x
解啊（1
1
2x）x
lim（1
x0
2x）
例16计算
lim（1
x
5x
）xx
解=lim（1
x
5）x
x
lim[1
x
（5）]
x
x
5（
5）
[lim（1
x
5）
x
x
5]5
例18,例19视情况选讲
2
例17计算lim（一
x3
2x、x
一）=
x
七广
x3
..ln（100
解lim（
x
lim（1
x
例18计算
解limln（1x）
x0
xm0ln（1
1
x）x
例19
lim
x
所以lim
x0
x）x
x
lim（1
x
lim（1
x
lim（1
x
x3）x
3）3
x）
ln（1
x）
lnlim（1
x-
1
x）xln
ex1则x
ln（1
u）,当x
0时,
x
e1..
lim
0ln（1+u）
sinx,
小结：
i.lim1
0x
lim
f（x）
sinf（x）1.
0f（x）'
tanx“lim1；
x0x
1cosxlim2
x0x2
1X-
2.lim（1-）xe；iim（1x）Xe
xxx0
rln（1x）ex1
lim=1;lim=1
x0xx0x
作业P27——1（3）（6）,P31——1
（1）（6）（9）——2
（1）（3）
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