太阳能小屋的设计.docx
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太阳能小屋的设计
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2012年9月10日
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2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
太阳能小屋的设计
摘要
在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
本文利用Excel软件及几何画板，参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小。
1.利用Excel表格先计算出东西墙和顶面所需的同一型号光伏电池的块数，根据年发电量=当地年总辐射能
光伏方阵面积
电池组件转换效率
修正系数，可以计算出修正系数和各种型号的电池的转换率，得出这些电池1年及35年发电量。
根据当前民用电价为0.5元/kW.h，可计算出各种型号的电池1年及35年发电量所对应的费用，减去买电池所花的成本，得出1年及35年各种型号的电池经济效益数据表如下：
所选组件
块数
年总发电量
（kW.h）
年收益（元）
35年总发电量（kW.h）
35年收益（元）
东墙
A3
8
5623.60
2692.60
177143.41
84816.91
西墙
A3
16
18871.14
9197.17
531063.09
289710.89
顶部
A3
48
56613.43
27591.51
1312494.70
869132.68
选择A3型号的电池对东墙、西墙及顶面进行贴服铺设。
通过Excel表格得出应该选择SN11型号的逆变器14个，其单价为4500元，成本为63000元。
2.考虑房顶铺设的电池架空时、为使电池接收的光照量尽可能多时电池的倾斜角度。
建立一人字型太阳房屋顶的立体图的物理模型。
把正北面投影到正南面计算，根据房屋建筑的实际情况，把倾角定在0～90度之间。
然后将附件中典型的太阳辐射数据，可求出斜面上的月总辐射量。
得到当太阳能小屋顶铺设的电池的倾角
=
时，其对应的年均太阳辐射总量
为2601254.82
，这个数值比其它倾角对应的年均太阳辐射总量大，这说明太阳能小屋顶铺设的电池的最佳倾角在
左右。
3.根据问题1和问题2的比较，用架空方式设计小屋会更有效率，小屋的结构比例和安装方向选择了电池组件80和逆变器16。
关键词：
光伏电池；光伏电池组件；逆变器；辐射强度；Excel软件.
一问题重述
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
问题1：
请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：
电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：
根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
二符号说明
修正系数；
电池组35年发电总量；
电池组1年发电总量；
电池组35年发电总收益；
电池组1年发电总收益；
电池架空时，单位面积每月接收到的太阳总辐射量；
太阳在水平面上的月直射量；
太阳在水平面上的月散射量；
屋顶电池所接收的年总辐射量；
太阳在水平面上的总辐射量；
时角；
赤纬角；
太阳高度角；
电池倾斜角。
三模型的假设
1.假设太阳能小屋每个面只铺设同一型号的电池；
2.由于C型号电池的转化率太低，虽然便宜，但达不到铺设要求，所以假设在铺设电池是，只在A、B型号的电池里挑选；
3.根据附表中所给的数据可知，A、B型号的电池要达到发电要求，必须满足接收的光照强度大于等于80
，而南墙和北墙一年中接收的光照强度大多都小于80
，不满足发电条件，所以我们假设不对南墙和北墙铺设电池；
4.在对电池进行架空铺设时，假设只对太阳能小屋屋顶进行架空铺设；
5.在对电池架空铺设时，假设屋顶所有电池在一个平面上；
四问题分析
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。
不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。
因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
问题一：
在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。
在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。
应注意分组连接方式及逆变器的选配。
故而此处我们假设在东面、西面以及顶部三面的光伏电池组件分别对应三种不同的或相同的型号，并且根据其面积的不同得到贴满不同的三面所需要的每种型号的光伏电池组件的数量，由收益最大得到其最佳的铺设方案，进而根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
小屋光伏电池的寿命为35年，所有光伏组件在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算，在其寿命期间的发电总量及其经济效益可得，根据所选择的电池组件确定其逆变器型号及个数，获得其35年的纯利润以及其投资的回收年限。
问题二：
选择架空方式安装光伏电池，电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，电池板的接受率不同，则其收益也不同，根据角度确定其接受的强度，得到其能够产生的电量，确定其逆变器的选择，获得其35年的纯利润以及其投资的回收年限。
问题三：
根据小屋建筑要求，重新设计一个小屋，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
五模型的建立和求解
问题1：
5.1.1筛选出对小屋各面铺设的电池
根据题目的要求和附表中所给出的数据，以及笔者给出的假设，我们可以利用Excel表格先计算出东西墙和顶面所需的同一型号光伏电池的块数，如下表5.11所示：
型号
东墙
西墙
顶面
A1
8
16
48
A2
3
9
30
A3
8
16
48
A4
6
12
36
A5
6
12
36
A6
3
9
30
B1
6
12
36
B2
3
9
30
B3
6
14
40
B4
6
12
36
B5
3
9
30
B6
3
9
30
B7
6
12
36
表5.11（各墙面需要的电池块数）
然后，根据题目的要求我们知道，太阳能光伏系统容量设计的主要目的就是要计算出系统在全年内能够可靠工作所需的太阳能电池组组件的数量，同时也要协调系统工作的最大可靠性和系统成本之间的关系，在满足系统工作的最大可靠基础上尽量地减少系统成本的投入。
建筑光伏一体化（BIPV）太阳能发电系统的光伏发电量，通常使用以下公式进行计算：
年发电量（
）=当地年总辐射能（
）
光伏方阵面积（
）
电池组件转换效率
修正系数，其中，K分别有
，
，
，
，
，
组成，
为太阳能电池长期运行性能衰降修正系数，常为0.8，
为灰尘遮挡太阳能电池板透明度修正系数，常为0.92，
为太阳能电池温升导致功率下降修正系数，常为0.92，
为导电损耗修正系数，常为0.95，
为逆变器效率，常为0.85，
为太阳能电池板朝向及倾斜角修正系数，常为0.93。
接下来，我们根据求出来的修正系数和各种型号的电池的转换率求出这些电池一年之中发的总电量，如下表5.12所示：
电池型号
东墙总电量
西墙总电量
顶部总电量
A1
5064.25
18268.68
54806.04
A2
703.70
15349.20
51164.01
A3
5623.60
18871.14
56613.43
A4
2791.13
16859.15
50577.44
A5
2534.00
13888.83
41666.50
A6
639.00
12651.31
42171.04
B1
2300.39
16256.11
48768.34
B2
581.48
14886.00
49620.00
B3
2267.75
14815.99
42331.40
B4
2100.30
13441.90
40325.71
B5
566.94
12699.42
42331.40
B6
539.27
12726.67
42422.23
B7
2127.26
14181.74
42545.22
表5.12（各种型号电池在各墙面的年发电总量）
最后，根据题目给出的当前民用电价为0.5元/kW.h，所以我们继续利用Excel表格，先计算出各种型号的电池发的一年电量所对应的总额，然后减去买电池所花的成本，最后得出一年各种型号的电池所收的经济效益，如下表5.13所示：
电池型号
东墙
西墙
顶部
电费
收益
电费
收益
电费
收益
A1
2532.12
2412.92
9134.34
8895.94
27403.02
26687.82
A2
351.85
307.15
7674.60
7540.50
25582.00
25135.00
A3
2811.80
2692.60
9435.57
9197.17
28306.71
27591.51
A4
1395.56
1306.16
8429.57
8250.77
25288.72
24752.32
A5
1267.00
1177.60
6944.42
6765.62
20833.25
20296.85
A6
319.50
274.80
6325.66
6191.56
21085.52
20638.52
B1
1150.20
1075.20
8128.06
7978.06
24384.17
23934.17
B2
290.74
253.24
7443.00
7330.50
24810.00
24435.00
B3
1133.88
1058.88
7408.00
7233.00
21165.70
20665.70
B4
1050.15
975.15
6720.95
6570.95
20162.86
19712.86
B5
283.47
245.97
6349.71
6237.21
21165.70
20790.70
B6
269.63
232.13
6363.33
6250.83
21211.11
20836.11
B7
1063.63
988.63
7090.87
6940.87
21272.61
20822.61
表5.13（各种型号电池在各墙面一年所发电的收益）
最后，根据表5.12和表5.13我们可以得出：
无论是年总发电量，还是年收益，都是A3型号的电池最高，所以根据题目的要求，使发电量最大，收益最大（即成本相对低），我们选择A3型号的电池对东墙、西墙及顶面进行贴附铺设。
铺设方案如下表5.14所示：
所选组件
块数
收益
东墙
A3
8
2692.60
西墙
A3
16
9197.17
顶部
A3
48
27591.51
表5.14（铺设方案）
5.1.2逆变器型号的选择
由以上电池的选择我们可以知道，当电池选定的时候，其电压和电流的值就是一定的了，所以在选择逆变器的时候，我们根据电流和电压来进行选择，最后，通过Excel表格运算我们得出应该选择SN11型号的逆变器14个，其单价为4500元，所以购买逆变器需要花的成本为63000元。
5.1.3计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益
由所有光伏组件在0～10年效率按100%，10～25年按照90%折算，25年后按80%折算，可知在光伏电池组件的35年的寿命内，
总发电量为：
M=w*10*100%+w*90%*15+w*80%*10，其中w为年均总发电量。
其总收益为：
W=Get*10*100%+Get*90%*15+Get*80%*10，其中Get为年总收益。
总发电量和总收益如下表5.15所示：
所选组件
总发电量
（kw.h）
35年收益
（元）
东墙
A3
177143.41
84816.91
西墙
A3
531063.09
289710.89
顶部
A3
1312494.70
869132.68
表5.15（35年总发电量和总收益）
最后，用35年总收益减去买逆变器花的成本，得出纯收益为1180660.4元。
根据所选电池型号，最后铺设情况如下图5.11、图5.12、图5.13：
图5.11（东面）
图5.12（西面）
图5.13（顶面）
问题2：
由假设知，由于在铺设光伏电池是，在墙上本就不好铺设，所以在问题二中，对墙上铺设的电池就不就行架空铺设了，即再考虑架空铺设时，只对房顶铺设的电池就行架空铺设，其余东、西两墙铺设的电池依然利用贴附铺设的方式。
5.2.1电池倾斜角的确定
首先，我们先考虑房顶铺设的电池架空时、为使电池接收的光照量尽可能多时电池的倾斜角度。
以下便是笔者建立的模型。
5.2.1.1物理模型
图1为一人字型太阳房屋顶的立体图，其中S为房屋建筑面积，S1、S2分别为建筑屋顶正南面和正北面的面积。
为便于分析研究，现将物理模型（图1）绘制为平面图，如图2所示。
S1（S11）、S2（S22）分别代表不同的倾角
所对应的建筑屋顶正南面和正北面的面积，S3为正北面屋顶在正南面上的投影面积。
由太阳房人字形屋顶的物理模型可知，屋顶面积S1（S11）与S2（S22）随倾角
的变化而变化，但S1+S2=S11+S22=定值。
对于建筑屋顶面积固定的太阳房屋顶，可将正北面屋顶投影到正南面对其接收到的太阳辐射量进行计算，根据模型和相关数学知识得到太阳房正北面屋顶在正南面上的投影面积和正南面的面积之和S1+S3=Scos
，S为恒量，则S与S1+S3成线性关系。
本文对S1和S1+S3进行讨论是为了计算出屋顶在一年各月中吸收的太阳能总量。
当倾角为
时，面积S1+S3与倾斜面单位面积上月均接收到的太阳辐射量日Ht也成线性关系。
因此，Ht与
之关系就和倾角为
时倾斜面每月所接收的辐射量与
的对应关系一致。
故只需算出单位面积上倾角为
时每月所接收的总辐射量日，然后绘制出随变化的关系曲线便可找出屋顶各月最大能量收益对应的最佳倾角。
即：
使倾斜面单位面积上每月所得的太阳辐射总量最大的那个倾角就是最佳倾角。
图5.14（太阳房人字形屋顶物理模型立体图）
θ
图5.15（太阳房人字形屋顶物理模型平面图）
5.2.1.2数学模型的建立与求解
倾斜面上单位面积每月所接收到的太阳总辐射量为：
（1）
（2）
因本文把正北面投影到正南面计算，所以方位角为
，则有
（3）
其中
（4）
式中n为一年中某一天的日序，各月代表日的日序由表1给出：
（5）
（6）
月份
1
2
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月的日序
12
15
17
13
18
16
13
10
14
15
11
12
年的日序
18
45
76
101
120
158
182
223
245
266
293
385
表5.21（各月代表日的日序）
本文根据房屋建筑的实际情况，把倾角定在0～90度之间。
然后将附件中典型的太阳辐射数据（水平面上直射、散射辐射数据）代入式
（1）～（6），即可求出斜面上的月总辐射量。
太阳能小屋所处的地区水平面上月均直射辐射量
和散射辐射量
如表5.22所示：
月份
1
2
3
4
5
6
71313.87
86272.2
131683.35
145922.19
169261.12
173925.1
21299.63
30387.6
41504.08
54955.71
60672.82
55600.74
月份
7
8
9
10
11
12
168516.66
153436.99
128272.27
106847.26
68036.09
57175.2
69698.43
59108.11
44822.58
34544.16
23510.29
22032.18
表5.22（水平面上月均辐射总量）
经计算可知，一年中各月的最佳倾角相差很大，尤其是冬半年和夏半年的差异相对较大，冬半年各月的最佳倾角比夏半年各月的最佳倾角大得多，冬半年各月的最佳倾角约在（
）范围之间，而夏半年各月的最佳倾角比较接近
。
夏半年太阳辐射月总量在71313.87~173925.1
之间变化，冬半年太阳辐射月总量在57175.2～168516.66
之间变化，夏半年太阳辐射月总量变化范围较冬半年太阳辐射月总量变化范围小，致使冬半年各月的曲线显得比较平滑。
太阳辐射月总量的最大值出现在夏季（6月份），其值为173925.1
，而不是在夏季，与其他学者所做研究得到的结论吻合，这是云南太阳能源分布中的一个反常现象，同时说明气候特征对太阳辐射有影响。
当倾角增大时，夏半年各月的曲线呈下降趋势，而冬半年各月的曲线均呈先上升后下降的趋势。
总体而言，所有曲线都是抛物线，各曲线拐点对应的坐标就是最佳倾角和月均太阳辐射总量的最大值。
5.2.1.3最佳倾角的确定
首先，我们根据公式和题中给的数据，得出了以下的表格5.23：
月份123456
5445932029.5
31251.1436384.6147364.1261254.3261478.1359562.72
月份789101112
1800362460
74253.159108.1144822.5837702.1224475.8730012.58
表5.23（电池架空最佳倾角与其屋顶各月接收的太阳总辐射量）
上表已给出电池架空时，各月对应的最佳倾斜角度以及接收的太阳总辐射量。
下面我们根据公式
，计算小屋屋顶年均太阳辐射总量
（倾角相同时，把各月月均太阳辐射量逐月相加所得）。
各倾角
与其对应的年均太阳辐射总量
列表5.24如下：
091829.532
14615861253150.221472644.152601254.821204781.75
3645546090
1447201.722314251.011136384.621547264.47955541.25
表5.24（屋顶铺设的电池的最佳倾角与其年均接收的太阳辐射总量）
前面的计算已得到了太阳能小屋一年各月的最佳倾角及与之相对应的倾斜面单位面积上最大太阳能辐射月总量的关系。
根据建筑设计的需要，我们只能在0～
之间选择一个角作为这个太阳房屋顶的最佳倾角，以保证屋顶能吸收最多的太阳能，达到充分利用太阳能的目的。
由表5.24可知，当太阳能小屋顶铺设的电池的倾角
=
时，其对应的年均太阳辐射总量
为2601254.82
，这个数值比其它倾角对应的年均太阳辐射总量大，这说明太阳能小屋顶铺设的电池的最佳倾角在
左右。
5.2.1.4电池朝向的确定
为了让电池进了能接收尽可能多的光照，最理想化的状态时安装的光伏电池随太阳转动而转动，但是由于技术条件和设备的限制，电池只能是固定的，但是要让电池时刻都接收相对多的光照，所以我们算出了最佳倾斜角度为
，那么现在我们对电池的朝向就行确定，根据实际情况我们知道，太阳是东升西落的，所以光伏电池的朝向应该朝正东方向，即与正西方向成
。
最后，为了算出新的铺设方式的35年的总发电量和总效益，我们得出以下的表5.25：
所选组件
总发电量
35年收益
东墙
A3
177143.41
84816.91
西墙
A3
531063.09
289710.89
顶部
A3
2624989.4
1311779.5
表5.25（电池在倾斜度为29.5时35年的发电总量和总效益）
最后，同样用35年收益减去购买逆变器的成本得出纯效益1623307.2元。
问题3：
根据题目的要求，我们最终设计出了太阳能小屋，并同样根据
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