二次函数专题测试题及详细答案超经典.docx
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二次函数专题测试题及详细答案超经典
复习二次函数
一、选择题：
1.
抛物线y
（x
2）2
3的对称轴是（
）
A.直线x
3
B.直线x
3
C.直线x
2
D.直线x2
2.
二次函数y
ax2
bxc的图象如右图，则点
y
M（b,c）在（
）
a
A.
第一象限
B.第二象限
O
x
C.第三象限
D.第四象限
3.
已知二次函数y
ax2
bx
c，且a
0
，ab
c
0，则一定有（
）
A.
b2
4ac
0
B.b2
4ac
0
C.
b2
4ac
0
D.b2
4ac≤0
4.
把抛物线y
x2
bx
c向右平移
3个单位，再向下平移
2个单位，所得图象的解析式
是y
x2
3x
5，则有（
）
A.
b3，c7
B.
b
9，c
15
C.
b3，c3
D.
b
9，c21
5.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数
yax2
（ac）xc与一次函数
yaxc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（
）
y
y
y
y
O
O
O
x
O
x
x
x
A
B
C
D
6.
抛物线yx2
2x3的对称轴是直线（
）
A.
x2
B.x
2
C.x
1
D.x
1
1
7.
二次函数y
（x
1）2
2的最小值是（
）
A.
2
B.2
C.
1
D.1
8.
二次函数yax
2
bxc的图象如图所示，若
y
M
4a
2b
cNa
bc，P4a
b，则（
）
-1O12x
A.
M
0
，N
0
，P
0
B.
M
0
，N
0，P
0
C.
M
0
，N
0
，P
0
D.
M
0
，N
0
，P
0
二、填空题：
9.将二次函数yx22x3配方成y（xh）2k的形式，则y=______________________.
10.
已知抛物线y
ax2
bx
c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2
bx
c
0的根
的情况是______________________.
11.
已知抛物线y
ax2
x
c与x轴交点的横坐标为
1，则a
c=_________.
12.
请你写出函数y
（x
1）
2与yx2
1具有的一个共同性质：
_______________.
13.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：
_____________________.
14.如图，抛物线的对称轴是
x1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是（3,0），则A
y
1
A
B
O
1
x
点的坐标是________________.
16
题图
三、解答题：
1.已知函数yx2bx1的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当x0时，求使y≥2的x的取值范围.
2
2、如右图，抛物线yx2
5x
n经过点A（1,0），与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△
PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点
P的坐标.
y
OA
1x
-1
B
3．如图，抛物线y1=﹣x
2
+2向右平移
1个单位得到抛物线
y2，回答下列问题：
（1）抛物线y2的顶点坐标
；
（2）阴影部分的面积S=
；
（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
4．（1999?
烟台）如图，已知抛物线
2
交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，
y=ax+bx+
且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线
BC的解析式．
2
5．如图，抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
3
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使
S△APC：
S△ACD=5：
4的点P的坐标．
6．如图，抛物线y=a（x+1）
2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点
B，且OB=OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求
S△ABC的值．
7．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：
y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD
的形状．
8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过
程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售
时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
4
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题：
1.y（x1）2
2
2.有两个不相等的实数根
3.1
4.
（1）图象都是抛物线；
（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）
5.
y
1x2
8x3或y
1x28x
3或y
1x2
8x1或y
1x2
8x1
5
5
5
5
7
7
7
7
6.
y
x2
2x1等（只须a
0，c
0）
7.
（2
3,0）
8.
x3，1
x5，1，4
三、解答题：
1.解：
（1）∵函数yx2
bx
1的图象经过点（
3，2），∴9
3b12.解得b2.
∴函数解析式为
y
x2
2x1.
（2）当x3时，y
2
.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当x
0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.解：
（1）由题意得
15n0.∴n4.∴抛物线的解析式为yx2
5x4.
（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0,4）.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，ABOA2OB217，且点P在y轴正半轴上.
5
①当PB=PA时，PB
17.∴
OP
PB
OB
174
.
此时点P的坐标为（0,
17
4）.
②当PA=AB时，OP=OB=4
此时点P的坐标为（0，4）.
3.解：
（1）设s与t的函数关系式为
s
at2
bt
c，
a
1
ab
c
1.5,
a
bc
1.5,
2
1
t2
由题意得4a
2b
c
2,或
4a
2b
c2,
解得
b
2,∴s
2t.
25
a
5
c
2.5；
c
0.
c
0.
2
b
（2）把s=30代入s
1t2
2t，得30
1
t2
2t.解得t1
10，t2
6（舍去）
2
2
答：
截止到10
月末公司累积利润可达到
30万元.
（3）把t
7
代入，得s
1
72
2
7
10.5.
2
把t
8
代入，得s
1
82
2
8
16.
2
16
10.5
5.5.
答：
第8
个月获利润
5.5万元.
4.解：
（1）由于顶点在
y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为
y
ax2
因为点A（
5
0）或B（
5
0）
在抛物线上，所以0
a·（
5
）2
9
，得a
2
2
2
10
因此所求函数解析式为
y
18
x2
9
（
5≤x≤5）.
125
10
2
2
9
.
10
18
.
125
（2）因为点D、E的纵坐标为9
，所以9
18
9
，得x
20
20
125
10
所以点D的坐标为（
5
9
5
2,
9
2,
），点E的坐标为
（
20
4
20
4
所以DE
5
5
5
.
2（
2）
2
4
4
2
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
5
1100
0.01
275
2
2
2
5
2.
4
）.
385（米）.
5.解：
（1）∵AB=3，x1x2，∴x2x13.由根与系数的关系有x1x21.
6
∴x1
1，x2
2.
∴OA=1，OB=2，
·
m
2.
x1x
2
a
∵tan
BAC
tan
ABC
1，∴OC
OC
1.
OA
OB
∴OC=2.∴m
2
a
1.
∴此二次函数的解析式为yx2x2.
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：
过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.
∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6.
y
N
由
（1）有OA=1，OC=2.
∴1AM21CN16.∴AM=6，CN=12.P
22
∴M（5，0），N（0，10）.
AO
BMx
∴直线MN的解析式为y
2x
10.
C
y
2x10,
x1
3
x2
4,
由
得
4；y2
（舍去）
yx2
x2,
y1
18
∴在第一象限，抛物线上存在点
P（3,4），使S△PAC=6.
解法二：
设AP与y轴交于点D（0,m）（m>0）
∴直线AP的解析式为y
mx
m.
y
x2
x2,
y
mx
m.
∴x2
（m
1）xm20.
7
∴xA
xPm1，∴xP
m2.
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=1CD·AO
1CD·xP=1CD（AOxP）.
2
2
2
∴1（m2）（1m2）6，m2
5m60
2
∴m
6（舍去）或m1.
∴在第一象限，抛物线上存在点
P（3,4），使S△PAC=6.
提高题
1.解：
（1）∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，
∴方程x2
bx
c
0有两个相等的实数根，即b2
4c0.①
又点A的坐标为（
2，0），∴4
2b
c
0.
②
由①②得b
4，a
4.
（2）由
（1）得抛物线的解析式为
y
x2
4x
4.
当x0时，y
4.∴点B的坐标为（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得AB
OA2
OB2
2
5.
∴△OAB的周长为1
4
25
6
2
5
.
2.解：
（1）S10（
x2
7
7
（4
3）
x
x
2
6x
7.
10
10
x
）
10
当x
6
3时，S最大
4
（
1）
7
62
16.
（1）
4
（
1）
2
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是
16万元.
（2）用于投资的资金是16313
万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，
一种是取A、B、E各一股，投入资金为526
13（万
元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；
另一种是取B、D、E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8
（万元）>1.6（万元）.
3.解：
（1）设抛物线的解析式为
y
ax2
，桥拱最高点到水面
CD的距离为h米，则D（5,
h），B（10,
h3）.
8
25a
h,
a
1
∴
h3.
解得
25
100a
h
1.
∴抛物线的解析式为
y
1
x2.
25
（2）水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时，
当4x
40
1
280时，x60
.
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过
60千米/时.
4.解：
（1）未出租的设备为
x
270套，所有未出租设备的支出为
（2x540）元.
10
（2）y（40
x
270
）x
（2x540）
1
x265x
540.
10
10
∴y
1
x2
65x
540.（说明：
此处不要写出x的取值范围）
10
（3）当月租金为
300元时，租赁公司的月收益为
11040元，此时出租的设备为
37套；当月租金为
350元时，租赁公司的月收益为
11040元，此时出租的设备为32套.
因为出租
37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租
32套；
如果考虑市场占有率，应选择出租
37套.
（4）y
1
x2
65x
540
1（x
325）211102.5.
10
10
∴当x
325时，y有最大值11102.5.
但是，当月租金为325元时，租出设备套数为
34.5，而
34.5不是整数，故租出设备应为
34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租
金为320元（租出
35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为
11100元.
16．如图，抛物线
2
1个单位得到抛物线
y2，回答下列问题：
y1=﹣x+2向右平移
（1）抛物线y2的顶点坐标
（1，2）
；
（2）阴影部分的面积
S=
2
；
（3）若再将抛物线
y2绕原点
O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
9
考点：
二次函数图象与几何变换．
分析：
直接应用二次函数的知识解决问题．
解答：
解：
（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线
y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）
（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积
=1×2=2；
（6分）
（3）由题意可得：
抛物线
y3的顶点与抛物线
y2的顶点关于原点O成中心对称．
所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：
y=a（x+1）
2﹣2．由对称性得a=1，
所以y3=（x+1）2﹣2．（10
分）
2
交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，
20．（1999?
烟台）如图，已知抛物线y=ax+bx+
且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线
BC的解析式．
考点：
待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．
分析：
根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC和Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式．
解答：
解：
由题意得C（0，）
在Rt△COB中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC?
cot60°=1
10
∴B点的坐标是（1，0）；（1分）在Rt△COA中，∵∠CAO=45°，
∴OA=OC=
∴A点坐标（
，0）
由抛物线
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