机械能.docx

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机械能

一.功功率

力对物体所做的功，等于力的大小、位移大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。

功跟完成这些功所用的时间的比值叫做功率。

1.功

（1）对功的计算式W=Fscosθ的认识：

计算式中的F必须是恒力，即F的大小和方向都不能变化，否则F、cosθ都不是定值，利用W=Fscosθ就不能计算功了。

一个力F做功的多少与其他力及物体的运动状态无关。

比如，外力F作用在水平面上一物体，物体前进的位移是s，那么F所做的功等于F·s。

水平面光滑与否不影响功的大小。

如图所示，在其他条件相同的情况下，如果μ≠0，则v1′＞v2′。

在有些情况下，将s看作力F作用点移动的位移，可以使问题变得简单。

如图所示，一根十分细软的质量不能忽略的弹簧平放在粗糙的水平面上，一恒定外力F作用其一端，并使得弹簧在平移中有形变。

如果用力F和力的作用点移动的位移s，求F所做的功，显然是比较简单的。

（2）怎样计算物体在力作用下沿圆周运动的功：

如图所示，质点在大小不变，方向始终沿圆周的切线方向的外力F作用下，沿半径为R的圆周运动一周，那么外力F做的功等于多少呢?

能否以为质点运动一周的位移为零，F所做的功也等于零呢?

如果不等于零，如何计算呢?

由于F是变力，是大小不变，而方向始终变化着的力，所以不能直接应用公式W=F·scosθ求解，而应该将圆周分割成无穷多等份，每一等份大小等于Δs，方向为圆周的切线方向，和此时的外力F方向相同。

力F在这段位移内所做的功为W1=F·Δs1，同样，在其他“位置”，F做的功为W2=F·Δs2，W3=F·Δs3……，Wn=F·Δsn，力F在质点运动一周后，外力F累积做的功为：

W=W1+W2+…+Wn=F（Δs1+Δs2+…Δsn）=F·n·

=2πFR。

（3）对形变物体做功的讨论：

划船、引船靠岸、登山、爬楼梯等都属于形变物体自身的不同部分交替做功的实例，如图甲所示，某人划小船前行，当人奋力向前推桨柄时，桨叶向后拨水，假设水并没有移动，但水给了桨一个反作用力，方向向前推动船前行。

那么，对船（包括人）做功的力是水的推力吗？

不是。

因为水的推力作用点并没有随桨一起向前移动，根据W=F·s可知，当s等于零时，F做功为零。

实际上，在人向前推桨柄时，作为船体一部分的桨叶推动船向前运动，桨叶对船做功，水只不过给了桨叶一个支撑点，水并没有对桨做功，当桨叶出水并在空中向前换位时，实际上作为船的一部分的人向后拉桨柄，通过船体带动桨叶换位成功，也是船体的一部分对另外一部分做功的结果。

当然，归根到底还是人做功的结果。

同样，读者可以试着解释图乙中引船靠岸和丙中爬楼梯过程中的做功问题。

2.功率

（1）功率是描述力做功快慢的物理量，其定义式为P=

，所求出的功率是时间t内的平均功率。

（2）功率也可以用力和速度来表示，其数学表达式为P=F·vcosθ，式中θ是力与速度的夹角。

此公式有两种使用方法：

一种是求某时刻的瞬时功率。

这时速度v取瞬时值；

另一种是求某段时间内的平均功率。

这时的速度v取平均速度，并且外力F必须是恒力。

常常利用P=F·v讨论功率、牵引力、速度的关系。

如在机械功率一定时，速度小，牵引力大，速度大，牵引力小。

【难点突破】

利用功率和牛顿第二定律讨论汽车加速问题。

汽车加速有两种形式：

以恒定功率加速和以恒定牵引力加速。

以恒定功率加速。

由公式P=Fv和F-f=ma可知a=

，随着v的不断增大，F必将减小，最后导致a减小，汽车做加速度不断减小的变加速运动，直到F=f，a=0，这时速度达到最大值，vm=

。

以恒定牵引力加速。

由公式P=Fv和F-f=ma可知P=（f+ma）v，因为F恒定，所以a恒定，速度v均匀增大，功率P也均匀增大，直到P增大到额定功率Pm，这时匀加速运动结束，匀加速运动的最大速度vm′=

。

如果汽车继续加速，只能做功率恒定的变加速运动了。

直到a=0，即F=f，汽车达到了和第一种情况一样的全程最大速度，vm=

。

【例题】物体由静止在光滑水平面上，先对物体施以水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经过t时间后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做功W1、W2的关系是（上海）：

A.W1=W2　　　B.W2=2W1　　　C.W2=3W1　　　D.W2=5W1

【分析】

【题解】

【答案】C

【例题】人的心脏每跳一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人的血压（可看做心脏输送血液的压强）的平均值约为1.5×104Pa，心脏每分钟跳70次，据此估计心脏工作的平均功率为_____W。

【分析】

【题解】

【答案】1.4

【例题】质量为m的物块放在光滑的水平面上，绳经滑轮与水平方向成θ角，用大小为F的力拉物块，如图所示。

将物块由A点拉至B点，物块前进了s位移。

求外力F对物块m所做的功有多大？

【分析】

【题解】

【答案】

二.动能动能定理

1.物体由于运动而具有的能量叫做动能。

物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半。

2.动能定理

（1）动能定理的不同表达

一种是：

合外力做的功等于物体动能的变化。

这里的合外力是指物体受到的所有外力的合力，包括重力、弹力、摩擦力等。

另一种是：

外力对物体做功的总和等于物体动能的变化。

利用这一种表述解决问题往往比较方便，不必求合力，特别是在全过程的不同阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功按代数和加起来，就能得到总功。

动能定理的数学表达式是：

W=ΔEk

和动量定理一样，动能定理描述的也是过程量（功）和状态量（动能）之间的联系。

这样求合外力的功还是求物体的动能变化，有了两种不同的选择。

（2）应用动能定理解题的步骤：

①明确研究对象和研究过程。

②对研究对象进行受力分析。

③写出在全过程中合外力所做的功或各个外力做功的代数和。

④写出物体的初、末动能量。

⑤根据动能定理列方程求解。

【难点突破】

动能与动量的区别

动能和动量都是状态量，即都是描述物体运动状态的物理量。

动能只有大小，没有方向，是标量，动量是矢量。

动能和动量的大小关系是Ek=

或P=

。

因此对于某一个物体，其动能发生变化时，动量必然发生变化，而其动量发生变化，动能不一定发生变化。

动能的变化就是物体初末状态动能直接相减，而动量变化应是物体初末状态动量的矢量差，很有可能等于初末状态动量大小之和。

【例题】有一炮竖直向上发射炮弹。

炮弹质量为M=6.0kg（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度v0=60m/s。

当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m=4.0kg。

现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以R=600m为半径的圆周范围内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大?

（g=10m/s2，忽略空气阻力）（2003年，北京）

【分析】

【题解】

【答案】

【例题】如图所示，水平轨道上停放着质量mA=5.0×102kg的小车A，在A的右方L=8.0m处，另一小车B正以速度vB=4.0m/s向右做匀速直线运动而远离A车，为使A车能经过t=10.0s时间追上B车，立即给A车适当施加向右的水平推力，使小车做匀变速直线运动，设小车受到水平轨道的阻力是车重的0.1倍，试问在追及过程中，推力至少需做多少功？

（g=10m/s2）

【分析】

【题解】

【答案】

三.重力势能及重力做功弹性势能

物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能。

物体的重力势能等于物体的重力和它的高度的乘积。

发生形变的物体，在恢复原状时能够对外界做功，因而具有能量，这种能量叫做弹性势能。

1.重力势能

（1）重力势能的数学表达式是EP=mgh。

式中高度h是一个相对量，所以EP也是一个相对量。

在分析物体的重力势能，应该首先选取一个水平参考面，做为零势能参考平面，和参考平面相距h的高度上，物体的重力势能等于mgh。

重力势能是标量，当物体所处的位置高于参考面时，h是正值，重力势能是正值，与物体所处的位置低于参考平面时，h是负值，重力势能是负值。

（2）重力做功跟重力势能改变的关系：

当物体由高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功；当物体由低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功（或表述为增加的重力势能等于重力所做的负功）。

用公式表示为WG=-ΔEP或WG=EP1-EP2。

2.弹性势能

弹性势能跟物体发生形变的程度和材料的性质有关。

同一个物体，形变量越大，弹性势能越大，形变量越小，弹性势能越小。

在中学阶段不引入弹性势能的数学的表达式，关于弹性势能的定量计算，只能用功、能等相关量间接得到。

【难点突破】

重力做功的特点：

重力所做的功只跟初位置的高度h1和末位置的高度h2有关，跟物体运动的路径无关。

因此计算重力对物体做功时，只需找到物体所受的重力和物体初末位置的落差即可。

【例题】有一种叫做“蹦极跳”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻质柔软橡皮绳，从高处由静止开始下落1.5L时到达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法正确的是：

A.速度先增大后减小B.加速度先减小后增大

C.动能增加了mgLD.势能减少了mgL

【分析】

【题解】

【答案】A

【例题】如图所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物体1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态，现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端脱离桌面。

在此过程中，物块2的重力势能增加了　　，物块1的重力势能增加了　　。

（全国）

【分析】

【题解】

【答案】

四.机械能守恒定律

在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律。

机械能守恒定律还可以表述为，如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力的相互转化时，机械能的总量保持不变。

1.对机械能守恒定律的理解

动能和势能统称机械能，势能包括重力势能和弹性势能，对于一个系统来说，机械能的总量等于动能和势能之和。

因此，机械能守恒定律涉及的是一个系统机械能问题。

重力势能是系统中重物和地球所共有的，弹性势能是系统中和重物有关联的发生弹性形变的物体（如弹簧）具有的。

系统动能中的速度是重物相对于地面的速度。

2.机械能守恒定律的各种表达式

用系统的状态量表示　　　　　E初=E末

用系统状态量的增量表示　　　ΔE=0

用系统动能增量和势能增量间的关系表示　　ΔEK=-ΔEP

3.运用机械能守恒定律的解题步骤

（1）选取研究对象，明确物理过程。

（2）判断机械能是否守恒。

（3）选取零势能参考平面，写出初、末状态的动能和势能。

（4）选定合适的表达式列方程求解。

【难点突破】

1.当系统内物体较少时，往往根据只有“重力做功”或“弹簧弹力做功”来判断机械能守恒。

当系统内物体较多时，往往根据是否有“摩擦和介质阻

力”来判断机械能是否守恒。

2.只有重力或弹簧弹力做功并不意味着系统只受重力和弹簧弹力作用。

物

只要受到的其他力不做功或做功的代数和等于零，机械能就守恒。

【例题】在光滑水平面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都是m。

现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。

已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP。

则碰前A球的速度等于：

（2002年，全国）

A.

　　　　B.

　　　　C.

　　　　D.

【分析】

【题解】

【答案】C

【例题】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。

一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m。

开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。

物块A与B间无摩擦。

设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。

（广东）

【分析】

【题解】

【答案】1.2s

【例题】如图所示，在横截面为半圆形，半径为R的光滑圆柱上，用一根不可伸长的细绳两端分别系着物体A和B，且mA=2mB，让其由静止开始释放，试问：

（1）物体B能否到达半圆顶点？

（2）若要B能过半圆顶点，mA应满足的条件是什么？

【分析】

【题解】

【答案】

【例题】如图所示，重物A、B、C的质量相等，A、B用细绳绕过轻小定滑轮相连接。

开始时，A、B静止，滑轮间细绳长L=0.6m。

现将C物体轻轻挂在绳的中点，求：

（1）C下落多大高度时速度最大？

C的最大速度是多少？

（2）C下落的最大距离是多少？

【分析】

【题解】

【答案】