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数学分析第六章微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；
2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方式，能按照函数的整体性态较为准确地描画函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方式。
教学时数：
14学时
§1中值定理（4学时）
教学目的：
掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：
深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方式，明白三者之间的包括关系。
教学重点：
中值定理。
教学难点：
定理的证明。
教学难点：
系统讲解法。
一、引入新课：
通过温习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个超级重要而有效的数学概念。
在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个大体问题：
导数有什么用？
俗语说得好：
工欲善其事，必先利其器。
因此，咱们第一要磨锋利导数的刀刃。
咱们要问：
若函数可导，则它应该有什么特性？
由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）
二、教学新课：
（一）极值概念：
1．极值：
图解，概念（区分一般极值和严格极值.）
2. 可微极值点的必要条件:
Th（Fermat）（证）
函数的稳固点,稳固点的求法.
（二）微分中值定理:
1.Rolle中值定理:
叙述为Th1.（证）定理条件的充分但没必要要性.
2. Lagrange中值定理:
叙述为Th2.（证）图解.
用分析方式引进辅助函数,证明定理.用几何直观引进辅助函数的方式参阅[1]P157.
Lagrange中值定理的各类形式.关于中值点的位置.
推论1函数
在区间I上可导且
为I上的常值函数.（证）
推论2函数
和
在区间I上可导且
推论3设函数
在点
的某右邻域
上持续,在
内可导.若
存在,则右导数
也存在,且有
（证）
可是,
不存在时,却未必有
不存在.例如对函数
虽然
不存在,但
却在点
可导（可用概念求得
）.
Th（导数极限定理）设函数
在点
的某邻域
内持续,在
内可导.若极限
存在,则
也存在,且
（证）由该定理可见,若函数
在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数
的持续点,要么是
的第二类中断点.这就是说,当函数
在区间I上点点可导时,导函数
在区间I上不可能有第二类中断点.
推论4（导函数的介值性）若函数
在闭区间
上可导,且
（证）
Th（Darboux）设函数
在区间
上可导且
.若
为介于
与
之间的任一实数,则
设
对辅助函数
应用系4的结果.
（证）
3. Cauchy中值定理:
Th3设函数
和
在闭区间
上持续,在开区间
内可导,
和
在
内不同时为零,又
则在
内至少存在一点
使
.
证分析引出辅助函数
.验证
在
上知足Rolle定理的条件,
必有
因为不然就有
.这与条件“
和
在
内不同时为零”矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义.
（三）中值定理的简单应用:
1.证明中值点的存在性
例1设函数
在区间
上持续,在
内可导,则
使得
.
证在Cauchy中值定理中取
.
例2 设函数
在区间
上持续,在
内可导,且有
.试证明:
.
2. 证明恒等式:
原理.
例3 证明:
对
有
.
例4 设函数
和
可导且
又
则
.
证明
.
例5 设对
有
其中
是正常数.则函数
是常值函数.（证明
）.
3. 证明不等式:
例6 证明不等式:
时,
.
例7 证明不等式:
对
，有
.
4.证明方程根的存在性:
证明方程
在
内有实根.
例8 证明方程
在
内有实根.
§2柯西中值定理和不定式的极限（2学时）
教学目的：
1.掌握讨论函数单调性方式；
2.掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
教学要求：
1.熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限；
2.深刻理解函数在一区间上单调和严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方式；能利用函数的单调性证明某些不等式。
教学重点：
利用函数的单调性，L’Hospital法则
教学难点：
L’Hospital法则的利用技能；用辅助函数解决问题的方式；。
教学方式：
问题教学法，结合练习。
一.
型:
Th1（
Hospital法则）（证）应用技能.
例1
例2
.
例3
.（作代换
或利用等价无穷小代换直接计算.）
例4
.（
Hospital法则失效的例）
二.
型:
Th2（
Hospital法则）（证略）
例5
.
例6
.
註:
关于
当
时的阶.
例7
.（
Hospital法则失效的例）
三.其他待定型:
.前四个是幂指型的.
例8
例9
.
例10
.
例11
.
例12
.
例13
.
例14设
且
求
解
.
§3Taylor公式（2学时）
教学目的：
掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。
教学要求：
1.深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的不同；
2.掌握并熟记一些常常利用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。
3.会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估量误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。
教学重点：
Taylor公式
教学难点：
Taylor定理的证明及应用。
教学方式：
系统教学法。
一.问题和任务:
用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度.
二.Taylor（1685—1731）多项式:
分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式
概念
Taylor多项式
及Maclaurin多项式
例1求函数
在点
的Taylor多项式.[1]P174.（留作阅读）
三.Taylor公式和误差估量:
称
为余项.称给出
的定量或定性描述的式
为函数
的Taylor公式.
1.误差的定量刻画（整体性质）——Taylor中值定理:
Th1设函数
知足条件:
ⅰ>在闭区间
上
有直到
阶持续导数;
ⅱ>在开区间
内
有
阶导数.则对
使
.
证[1]P175—176.
称这种形式的余项
为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为
.
时,称上述Taylor公式为Maclaurin公式,现在余项常写为
.
2. 误差的定性描述（局部性质）——Peano型余项:
Th2若函数
在点
的某邻域
内具有
阶导数,且
存在,则
.
证设
.应用
Hospital法则
次,并注意到
存在,就有
=
.
称
为Taylor公式的Peano型余项,相应的Maclaurin公式的Peano型余项为
.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式（或Maclaurin公式）.
四.函数的Taylor公式（或Maclaurin公式）展开:
1.直接展开:
例2求
的Maclaurin公式.
解
.
例3求
的Maclaurin公式.
解
.
例4 求函数
的具Peano型余项的Maclaurin公式.
解
.
.
例5 把函数
展开成含
项的具Peano型余项的Maclaurin公式. （[1]P179E5,留为阅读.）
2.间接展开:
利用已知的展开式,实施代数运算或变量代换,求新的展开式.
例6把函数
展开成含
项的具Peano型余项的Maclaurin公式.
解
.
例7把函数
展开成含
项的具Peano型余项的Maclaurin公式.
解
注意,
.
例8先把函数
展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用取得的展开式,把函数
在点
展开成具Peano型余项的Taylor公式.
解
.
=
+
例9把函数
展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，并与
的相应展开式进行比较.
解
;
.
而
.
五.Taylor公式应用举例:
1.证明
是无理数:
例10证明
是无理数.
证把
展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式,有
.
反设
是有理数,即
和
为整数）,就有
整数+
.
对
也是整数.于是,
整数=整数―整数=整数.但由
因此当
时，
不可能是整数.矛盾.
2. 计算函数的近似值:
例11求
精准到
的近似值.
解
.
注意到
有
.为使
只要取
.现取
即得数
的精准到
的近似值为
.
3.利用Taylor公式求极限:
原理:
例12求极限
.
解
;
.
4.证明不等式：
原理.
例13证明:
时,有不等式
.[3]P130E33.
§4函数的极值与最大（小）值（2学时）
教学目的：
会求函数的极值和最值。
教学要求：
1.会求函数的极值与最值；
2.弄清函数极值的概念，取得极值必要条件和第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方式和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值肯定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用大体的了解。
教学重点：
利用导数求极值的方式
教学难点：
极值的判定
教学方式：
教学法＋演示例题
一．可微函数单调性判别法：
1．单调性判法：
Th1设函数
在区间
内可导.则在
内
↗（或↘）
在
内
（或
）.
证
）
）
证
.
Th2设函数
在区间
内可导.则在
内
↗↗（或↘↘）
ⅰ>对
有
（或
;
ⅱ>在
内任子区间上
2. 单调区间的分离:
的升、降区间别离对应
的非负、非正值区间.
例1 分离函数
的单调区间.
更一般的例可参阅[4]P147—148E13，14.
二.可微极值点判别法:
极值问题:
极值点,极大值仍是极小值,极值是多少.
1. 可微极值点的必要条件:
Fermat定理（表述为Th3）.
函数的驻点和（持续但）不可导点统称为可疑点,可疑点的求法.
2. 极值点的充分条件:
对每一个可疑点,用以下充分条件进一步辨别是不是为极值点.
Th4（充分条件Ⅰ）设函数
在点
持续,在邻域
和
内可导.则
ⅰ>在
内
在
内
时,
为
的一个极小值点;
ⅱ>在
内
在
内
时,
为
的一个极大值点;
ⅲ>若
在上述两个区间内同号,则
不是极值点.
Th5（充分条件Ⅱ——“雨水法则”）设点
为函数
的驻点且
存在.则
ⅰ>当
时,
为
的一个极大值点;
ⅱ>当
时,
为
的一个极小值点.
证法一
当
时,在点
的某空心邻域内
与
异号,……
证法二用Taylor公式展开到二阶,带Peano型余项.
Th6（充分条件Ⅲ）设
而
.则
ⅰ>
为奇数时,
不是极值点;
ⅱ>
为偶数时,
是极值点.且
对应极小;
对应极大.
例2求函数
的极值.[1]P190E3
例3求函数
的极值.[1]P190E4
3. 函数的最值:
设函数
在闭区间
上持续且仅有有限个可疑点
.则
=
;
.
函数最值的几个特例:
ⅰ>单调函数的最值:
ⅱ>若是函数
在区间
上可导且仅有一个驻点,则当
为极大值点时,
亦为最大值点;当
为极小值点时,
亦为最小值点.
ⅲ>若函数
在
内可导且仅有一个极大（或小）值点,则该点亦为最大（或小）值点.
ⅳ>对具有实际意义的函数,常常利用实际判断原则肯定最大（或小）值点.
三. 最值应用问题:
例4
、
两村距输电线（直线）别离为
和
（如图），
长
.现两村合用一台变压器供电.问变压器设在何处,输电线总长
最小.
解设
如图，并设输电线总长为
.则有
解得
和
（捨去）.答：
……
四. 利用导数证明不等式:
咱们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方式.其实,利用导数证明不等式的方式至少能够提出七种（参阅[3]P112—142）.本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.
1. 利用单调性证明不等式:
原理:
若
↗,则对
有不等式
.
例5证明:
对任意实数
和
成立不等式
证取
在
内
↗↗.于是,由
就有
即
.
2.不等式原理:
[4]P169—171.
不等式原理:
设函数
在区间
上持续,在区间
内可导,且
;又
则
时,
（不等式原理的其他形式.）
例6证明:
时,
.
例7证明:
时,
.
2. 利用极值证明不等式:
例8证明:
时,
.
§5函数的凸性与拐点（2学时）
教学目的：
掌握讨论函数的凹凸性和方式。
教学要求：
弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：
利用导数研究函数的凸性
教学难点：
利用凸性证明相关命题
教学方式：
系统教学法＋演示例题
一．凸性的概念及判定：
1．凸性的概念：
由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.
概念设函数
在区间
上持续.若对
恒有
或
.
则称曲线
在区间
上是凹（或凸）的.若在上式中,当
时,有严格不等号成立,则称曲线
在区间
上是严格凹（或严格凸）的.凹和凸也别离称为上凸和下凸.
凸性的几何意义:
倘有切线,与切线的位置关系;与弦的位置关系;曲线的弯曲方向.
2．利用二阶导数判断曲线的凸向:
Th设函数
在区间
内存在二阶导数,则在
内
⑴
在
内严格上凸;
⑵
在
内严格下凸.
该判别法也俗称为“雨水法则”.
证法一（用Taylor公式）对
设
把
在点
展开成具Lagrange型余项的Taylor公式,有
.
其中
和
在
与
之间.注意到
就有
于是
如有
上式中
即
严格上凸.
如有
上式中
即
严格下凸.
证法二（利用Lagrange中值定理.）若
则有
↗↗,不妨设
并设
别离在区间
和
上应用Lagrange中值定理,有
.
有
又由
，
<
，即
，
严格下凸.
可类证
的情形.
3．凸区间的分离:
的正、负值区间别离对应函数
的下凸和上凸区间.
二.曲线的拐点:
拐点的概念.
例1肯定函数
的上凸、下凸区间和拐点.[4]P154E20
解
的概念域为
.令
解得
.
在区间
内
的符号依次为
，
.拐点为:
倘使注意到本题中的
是奇函数,可使解答更为简捷.
三.Jensen不等式及其应用:
Jensen不等式:
设在区间
上恒有
（或
则对
上的任意
个点
有Jensen不等式:
（或
且等号当且仅当
时成立.
证令
把
表为点
处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意
即得所证.
对具体的函数套用Jensen不等式的结果,能够证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方式称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应历时,往往还用到所选函数的严格单调性.
例2 证明:
对
有不等式
.
例3 证明均值不等式:
对
有均值不等式
.
证先证不等式
.
取
.
在
内严格上凸,由Jensen不等式,有
.
由
↗↗
.
对
用上述已证结果,即得均值不等式的左半端.
例4 证明:
对
有不等式
.（平方根平均值）
例5 设
，证明
.
解取
应用Jensen不等式.
Jensen不等式在初等数学中的应用举例:
参阅荆昌汉文:
“凸（凹）函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通信》.P39.
例6在⊿
中,求证
.
解考虑函数
在区间
内凹,由Jensen不等式,有
.
.
例7已知
.求证
.
解考虑函数
在
内严格上凸.由Jensen不等式,有
.
.
例8已知
求证
.（留为作业）
解函数
在
内严格下凸.由Jensen不等式,有
.
习题、小结（2学时）
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