材料力学常用基本公式.docx
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材料力学常用基本公式
材料力学常用基本公式
Preparedon24November2020
外力偶"球血矩计算公式
弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式
（P功率,n转速）
d2M（x）d^（x）
=Q（x）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式A（杆件横截面轴力刊，横截面面积
&拉应力为正）轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角◎从X轴正方向逆时针转至
外法线的方位角为正）
2ad
cra=pacDsaf=crcnsa=一（l+cns2ajTa=Pasinar=trensafsin£ir=—sixila
22
纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距1,拉伸后试样标距11;拉伸前试样直径
d,拉伸后试样直径dl）
AZ=Zj—1A/Z—dY—d
纵向线应变和横向线应变
胡克定律
2=工
EAcr=Ee
受多个力作用的杆件纵向变形计算公式
承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式
轴向拉压杆的强度计算公式
延伸率
^■=^^-xlOO%
截面收缩率A
剪切胡克定律（切变模量G切应变g）T=GY
G=-^-
拉压弹性模量£泊松比“和切变模量G之间关系式2（1+可
7左
圆截面对圆心的极惯性矩G）实心圆P32
⑹空心圆X斗哥"
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩7：
所求点到圆心距离r）
22.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
（b）空心圆
24•薄壁圆管（壁厚6Ro/10,Ro为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式
T
~2^S
TL
23.圆轴扭转角卩与扭矩人杆长人扭转刚度GHp的关系式仏
26.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时
27.等直圆轴强度条件
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
d^=[^r\屮]嘔二兽X孚兰冏
扭转圆轴的刚度条件'人或兀
受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,2<5平面应力状态下斜截面应力的一般公式
0科+巧，碍_bo其~cr
平面应力状态的三个主应力
tan2^=——
主平面方位的计算公式6-込
面内最大切应力2叫*
受扭圆轴表面某点的三个主应力巧=書5=£円=-三
三向应力状态最大与最小正应力
三向应力状态最大切应力
广义胡克定律-叱+刮
叼=¥【伍一叭巧+®L）]E3=¥【巧一叭巧+©）]
39.E卫
5=6
5=伍一吠5十5）
°13_°i—°3
%=一巧）'+何一”3）'+（%-巧）2]
40•四种强度理论的相当应力V2
41•-种常见的应力状态的强度条件^3=V?
+4?
<[£r]=V?
+3?
Z4^yc—、.Zu—.、
42.组合图形的形心坐标计算公式刀°,另°
43•任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和
的关系式“n
44.截面图形对轴z和轴y的惯性半径
45•平行移轴公式（形心轴zc与平行轴刃的距离为彳图形面积为力）
Ir=Ir+a2A
Mycr=——
46.纯弯曲梁的正应力计算公式以
MM
阿JI^LX=吧
47.横力弯曲最大正应力计算公式
yTilAX
.h肿
—=
”64232
48.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数1226
49.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（Q—为中性轴一侧的横截面对中性轴z
的静矩，&为横截面在中性轴处的宽度）
弘-—^7
50.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处
=匹=込弘一而一2~4
□1.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式
52.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式跃
r4%纠
53.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处'（勿“）3A
54.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处
%=弹]<[£jj
弯曲正应力强度条件W爲
56•几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件叭
57•弯曲梁危险点上既有正应力o又有切应力t作用时的强度条件
09•梁的转角方程4亍T警豪+5
61•轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算
公式％1-
62.偏心拉伸（压缩）
63.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
圆截面杆横截面上有两个弯矩M丿和见同时作用时，合成弯矩为必=抄；+<圆截面杆横截面上有两个弯矩％和Mz同时作用时强度计算公式
右E+厂=1叔；+城+严<[B
占2+0.75r2=右+0.75严<[£jrj
弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式
込3二心十4/=』（°^十丐）2十如斗V0]
%二心十舁二/a~Ta~f+^<[cr]
r=^-<[il
剪切实用计算的强度条件A
6=〒£[%]
挤压实用计算的强度条件
F十氓
等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式RT咧
压杆的约束条件：
Q）两端较支u=l
（b）—端固定、一端自由U二2
74.压杆的长细比或柔度计算公式
75.细长压杆临界应力的欧拉公式＜r疋
76.欧拉公式的适用范围
77•压杆稳定性计算的安全系数法
78.压杆稳定性计算的折减系数法~A-EE
79.
~e关系需查表求得
3截面的几何参数
序号
公式名称
公式
符号说明
0
截面形心位置
[zdAfydA
以_4,片一1
AA
Z为水平方向Y为竖直方向
0
截面形心位置
YXA'XSA
（）
面积矩
=JydA,S、.=JzxIA
AA
0
面积矩
s严工Ax，
0
截面形心位置
S、・s.
Jr
0
面积矩
Sy=AzclSz=Ayc
（）
轴惯性矩
L=\y2dA,/y=Jz2dA
AA
0
极惯必矩
（）
极惯必矩
0
惯性积
0
轴惯性矩
Iz=i^A,Iy=iyA
（）
惯性半径（回转半径）
0
面积矩轴惯性矩极惯性矩
惯性积
S：
='Sy=工Syi厶=工厶‘人=为lP='厶=工/卩
0
平行移轴公式
4应力和应变
序号
公式名称
公式
符号说明
0
轴心拉压杆横截面上的应力
（）
危险截面上危险点上的应力
（）
轴心拉压杆的纵向线应变
0
轴心拉压杆的
纵向绝对应变
0
（
胡克定理
0
胡克定理
0
胡克定理
0
横向线应变
0
泊松比（横向变形系数）
0
剪力双生互等定理
0
剪切胡克定理
（）
实心圆截面扭转轴横截面上的应力
0
实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力
0
抗扭截面模量
（扭转抵抗矩）
0
实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力
0
圆截面扭转轴的变形
（）
圆截面扭转轴的变形
0
单位长度的扭转角
心.
1
0=T叫
0
矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力
W,是矩形截面的扭转抵抗矩
（）
矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力
0
矩形截面扭转轴
心是矩形截面的
0
平面弯曲梁的挠曲线上任一点挠度方程
0
双向弯曲梁的合成弯矩
（）
拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Z轴上的截距
Zp，儿是集中力作用点的标
0
拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Y轴上的截距
5应力状态分析
序号
公式名称
公式
符号说明
（）
单元体上任意截面上的正应力
（）
单元体上任意截面上的剪应力
（）
主平面方位角
tan2a（）=—竺一（久与反号）
6-6
0
大主应力的计算公式
（）
主应力的计算公式
0
单元体中的最大剪应力
0
主单元体的八面体面上的剪应力
0
a面上的线应变
（）
a面与a+9（T面之间的角应变
0
主应变方向公式
0
大主应变
0
小主应变
0
儿,'的替代公式
0
主应变方向公式
0
大主应变
0
小主应变
0
简单应力状态下的胡克定理
0
空间应和状态下的胡克定理
（）
平面应力状态下的胡克定理（应
变形式）
0
平面应力状态下的胡克定理（应
力形式）
0
按主应力、主应变形式写出广义胡克定理
0
二向应力状态的广义胡克定理
（）
二向应力状态的广义胡克定理
（）
剪切胡克定理
6内力和内力图
序号
公式名称
公式
符号说明
（）
（）
外力偶的换算公式
（）
分布荷载集度剪力、弯矩之间的关系
q（x）向上为正
（）
0
7强度计算
序号
公式名称
公式
符号说明
0
第一强度理论:
最大拉应力理论。
b严九（脆性材料丿
当心:
•（塑性材料丿时’材料发生脆性
断裂破坏。
0
第二强度理论:
最大伸
5_心+①）=佥（脆性材料人-y（6+“=f；（塑性材料丿、’
长线应变理论。
材料发生脆性断裂破坏。
0
第二强度理论:
最大剪应力理论。
人（塑性材料丿
当1门时，材料发生
5-巧=几（脆性材料丿剪切破坏。
0
第四强度理论：
八面体面剪切理论。
当
型性材料丿
【危性材料丿
J*[（5—bJ—bJ+&-bJ]=fvd
£[（"—bj+6—bj+（6—bj卜九.（时，材料发生剪切破坏。
0
第一强度理论的相当应力
0
第二强度理论的相当应力
0
第二强度理论的相当应力
0
第四强度理论的相当应力
0
由强度理论建立的强度条件
0
0
0
由直接试验建立的强度
条件
0
0
轴心拉压杆的强度条件
（）
0
由强度理论建立的扭转
b：
=5=Tmi
、话问（适用于脆性材
0
0
轴的强度条件
料）
b；=5-cr2+b丿=
^max一"（0-^max）=（】+刃4疵<[（Tt]
T汕=两
＜卑（适用于脆性材料）
1+V
T
（罗（适用于塑性材料）
T
七詈（适用于塑性材料）
0
由扭转试验建立的强度
条件
0
0
平面弯曲梁的正应力强度条件
0
平面弯曲梁的剪应力强度条件
0
0
平面弯曲梁的主应力强度条件
0
0
圆截面弯扭组合变形构件的相当弯
矩
0
螺栓的抗剪强度条件
0
螺栓的抗挤压强度条件
0
贴角焊缝的剪切强度条
件
8刚度校核
序号
公式名称
公式
符号说明
0
构件的刚度条件
0
扭转轴的刚度条件
0
平面弯曲梁的刚度条件
9压杆稳定性校核
序号
公式名称
公式
符号说明
0
两端较支的、细长压
杆
的、临界力的欧拉公式
I取最小值
0
细长压杆在不同支承情况下的临界力公式
人―计算长度。
“一长度系数；—端固定，一端自由：
“=2—端固定，一端较支：
“=0.7两端固定：
"=0.5
0
压杆的柔度
心*是截面的惯性
半径
（回转半径）
0
压杆的临界
应力
0
欧拉公式的适用范围
0
抛物线公式
当"…Jo.57人时，
人一压杆材料的屈服极限；
常数，一般取a=0.43
0
安全系数法校核压杆的稳定公式
0
折减系数法校核压杆的稳定性
0—折减系数防書，小于1
16
10动荷载
序号
公式名称
公式
符号说明
0
动荷系数
P-荷载N-内力CT-应力△-位移d-动j-静
构件匀加速上升或下降时的动荷系数
A加速度g-重力加速度
0
构件匀加速上升或下降时的动应力
动应力强度条件
[6-杆件在静荷载作用的容许应力
0
构件受竖直方向冲击时的动荷系数
H-下落距离
0
构件受骤加荷载时的动荷系数
H=0
0
构件受竖直方向冲击时的动荷系
数
v-冲击时的速度
0
疲劳强度条件
勺-疲劳极限[bp]-疲劳应力容许值K-疲劳安全系数
11能量法和简单超静定问题
序号
公式名称
公式
0
外力虚功：
0
内力虚功：
0
虚功原理：
变形体平衡的充要条件是：
叱+w=0
0
虚功方程：
变形体平衡的充要条件是：
叱•
0
莫尔定理：
0
莫尔定理：
0
桁架的莫尔定理：
0
变形能：
（内力功）
0
变形能：
"=吧（外力功）
0
外力功表示的变形能：
0
内力功表示的变形能：
0
卡氏第二定理：
0
卡氏第二定理计算位移公式：
0
卡氏第二定理计算桁架位移公式：
0
卡氏第二定理计算超静定问题：
0
莫尔定理计算超静定问题：
0
一次超静定结构的力法方程：
0
X]方向有位移△时的力法方程：
0
自由项公式：
0
主系数公式：
0
桁架的主系数与自由项公式：
材料力学公式汇总
—、应力与强度条件
1、拉压6赵=2S0］
Amax
2、剪切rmax=|J|<［r］
挤压嘶=警弘挤討
3“弩严［「］
注意：
“5"与“6”两式仅供参考
7、
圆轴弯扭组合：
①第三强度理论%=后云='覽「叭［可
②第四强度理论
1、
拉压
、L—NL_》N\L\
EA厶EA
rN（x）dx
JlEA
2、
扭转
rT（x）dx
①T180°
0=—=—
%GIp
'GIp
LGqn
（。
如）
3、
弯曲
%=卮+3<=二变形及M度条禅
JM{.+0.75M,f
（1）积分法：
EIy\x）=M（x）Eiy（x）=E/0（x）=（M（x）ck+C
Ely（x）=J[JM（xXhjcLv+Cv+D
（2）叠加法:
/（片4）…=/（£）+/（$）+•••,&（A4）=og）+&（d）+…
（3）基本变形表（注意：
以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号）
（4）
24E/
弹性变形能（注：
以下只给出弯曲构件的变形能，并忽略剪力影响，其他变形与此相似，不予写出）
M2L_zMiL,_rM2（x）dx
2EI~2“一J2EI
（5）卡氏第二定理（注：
只给出线性弹性弯曲梁的公式）
三、应力状态与强度理论
1、二向应力状态斜截面应力
2、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
3、二向应力状态的极值剪应力
注：
极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为45。
4、三向应力状态的主应力：
crl>a2><73
最大剪应力：
仏厂乎
5、二向应力状态的广义胡克定律
（1）、表达形式之一（用应力表示应变）
（2）、表达形式之二（用应变表示应力）
6、三向应力状态的广义胡克定律
£治_6F+（勺_6F+（6FLMM=牛
EI、压杆稳定
8、平面应力状态下的应变分析
1、临界圧力与临界应力公式（若把直杆分为二类）
1
<7cr=ci—bZ
细长受压杆2>Ap
2中长受压杆>ip>A>A
③短粗受压杆2<2S
2、关于柔度的几个公式
3、惯性半径公式心”耳
短边长度））q
五、动载荷（只给出冲击间题的有关公式）
能量方程AT+AV=At/
冲击系数心=1+扛寻（自由落体冲击）心=展（水平冲击）
穴、截面几何性质
1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）
"=2加=譬欝OF）"%
2、惯性矩平移轴公式
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