行程问题第一讲二Word文档下载推荐.docx

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　　70×

15＝1050米＝（3×

300＋150）米 

山东公务员考试网

　　也就是说，甲向前行进了4个半格档，乙向前行进了3个半格档，此时两人所在的地点如图所示。

　　甲、乙两人恰好分别在两个相邻的格档的中点处。

这时甲、乙两人相距300米，但是很明显甲还看不到乙，正如解析开始处所说，如果单纯的认为甲、乙距离差为300米时，甲就能看到乙的话就会出错。

　　考虑由于甲行走的比乙快，因此当甲再行走150米，来到拐弯处的时候，乙行走的路程还不到150米。

此时甲只要拐过弯就能看到乙。

因此再过150/90＝1分40秒之后，甲恰好拐过弯看到乙。

所以甲从出发到看到乙，总共需要16分40秒，甲就能看到乙。

　　这种解法不是常规解法，数学基础较为薄弱的考生可能很难想到。

　　解法二：

考虑实际情况

　　由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此实际情况下，甲能够看到乙恰好是当甲经过了正方形的一个顶点之后就能看到乙了。

也就是说甲从一个顶点出发，在到某个顶点时，甲就能看到乙了。

　　题目要求的是甲运动的时间，根据上面的分析可知，经过这段时间之后，甲正好走了整数个正方形的边长，转化成数学运算式就是

t＝300×

n

　　其中，t是甲运动的时间，n是一个整数。

带入题目四个选项，经过检验可知，只有A选项16分40秒过后，甲运动的距离为

（16×

60＋40）/60＝1500＝300×

5

符合“甲正好走了整数个正方形的边长”这个要求，它是正确答案。

行程问题第二讲

例1. 

小明上学时坐车，回家时步行在路上一共用了90分。

如果他往返都坐车，全部形程需30分。

如果他往返都步行，需多少分？

分析：

根据“往返都坐车，全部行程需30分”可以算出单程作车需要的时间。

再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分”可以算出单程步行需要的时间。

进而可算出往返都步行所需的时间。

解：

（90－30÷

2）×

2

=75×

=150（分）

例2. 

甲、乙两城相距280千米，一辆汽车原定用8小时从甲城开到乙城。

汽车行驶了一半路程，在中途停留30分。

如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原定的时速加快多少？

要求汽车比原来的时速加快多少，先要求出按原定时间到达，需要的时速。

而要求按原定时间到达需要的时速，又要求出行剩下一半的路程，还剩下但是时间。

分步解答

30分=0.5小时

（1）前一半路程已行了多少小时？

8÷

2=4（时）

（2）还剩下多少小时？

8－4－0.5=3.5（时）

（3）后半程每小时应行多少千米？

280÷

2÷

3.5=40（千米）

（4）原来每小时行多少千米？

8=35（千米）

（5）每小时比原来多行多少千米？

40－35=5（千米）

列综合算式解答

（8－8÷

2－0.5）－280÷

8

=140÷

3.5－280÷

=40－35

=5（千米）

答：

应比原定的时速加快5千米。

例３. 

甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。

甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。

甲带着一只狗，狗每小时行10千米。

这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇。

这只狗一共跑了多少千米？

如果想分段算出狗跑的路程，再求出这些路段的和，将很难算出结果来。

因此，一定要从整体考虑。

要求狗跑的路程，就要求出狗跑的时间，而狗跑的时间正好就是甲、乙两人跑的时间。

用狗跑的速度乘以它所跑的时间就可以算出狗跑的路程。

解 

（1）甲、乙两人多少小时相遇？

100÷

（6+4）=10（时）

（2）狗跑的总路程是多少千米？

10×

10=100（千米）

[100÷

（6+4）]

=10×

10

=100（千米）

这只狗一共跑了100千米。

［综合练习］

（１）上学时坐车，回家时步行，在路上共用去1.5小时，如果往返都坐车，全部行程只要30分钟，如果往返都步行，全程则需要多少小时？

（２）在一次登山比赛中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶；

然后按原路下山，每分钟走75米。

求小明上、下山的平均速度？

（３）一辆汽车从甲地开往300千米处的乙地去，在开始的120千米内平均速度为每小时40千米，要想使这辆汽车从甲地到达乙地的平均速度为每小时50千米，剩下的路程应以什么速度行驶？

（４）甲、乙两人同时、同地、同向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，甲行了120千米时，转身返回，与乙相遇，求相遇时两人各行了多少千米？

（５）甲、乙两人同时从A、B 

两地相对而行，甲骑车每小时行16千米，乙骑摩托车每小时行65千米。

甲离出发点62.4千米处与乙相遇。

A、B两地相距多少千米？

行程问题第三讲

两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。

这样的问题一般称为追及问题。

有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足

　　速度差×

时间=追及（或领先的）路程

　　对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。

分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考

理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。

（1） 

如果甲的速度是乙的a倍（或b/a），那么，在相同时间内，甲所行的路程也是乙的a倍（或b/a）；

（2） 

如果甲的速度是乙的a倍（或b/a），那么，行完同样的路程，乙所用的时间是甲的a倍（或b/a）；

（3） 

甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的路程为S，那么，其中甲所行的路程为[a/（a+b）] 

×

S,乙所行的路程为[b/（a+b）] 

S

【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。

如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；

现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。

　　【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。

这段路的长度是多少呢？

就是两人4小时一共比原来少行的路。

由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。

这样，就能求出他们现在的速度和了。

　　【解】1×

4×

（5-4）×

5=40（千米）

　　这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：

速度和×

时间=（相隔的）路程。

但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。

不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。

　　【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 

5.4千米。

小李骑车的速度为每小时10.8千米。

小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。

小李骑车从乙地到甲地需多长时间？

　　【分析】为便于分析，画出线段图36-1：

　　图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。

根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。

因此，DC的长为

（4.8+10.8）×

（5/60）=1.3（千米）

　　这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。

这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。

这段时间为

　　1.3÷

（5.4-4.8）×

60=130（分）

　　这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷

5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。

　【解】

（留给读者完成，答案是195分钟。

）

　【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发， 

8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。

然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。

问这时是几点几分？

　　【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。

从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；

爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。

可见，爸爸的速度是小明的（12÷

4=）3倍。

从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。

　　由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。

这样可以算出，小明从家到A所用的时间为

　　8÷

（3-1）×

3=12（分）

　　【解】8÷

3×

X2=24（分）

　　【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。

甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。

相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。

已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。

A、B两地相距多远？

　　【分析】我们同样还是画出示意图 

37-2（图 

37-2中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点）：

　　设 

AB两地的距离为“1”。

由甲、乙两车的速度可以推知：

在相同时间内，乙车所行的路程是甲车所行路程的（4/5）=（36/45）。

从而，甲乙两车所行的路程分别占他们共同完成路程的（5/9）=（5/（4+5））和（4/9）=（5/（4+5））

　　通过演示我们还可以知道，第二次相遇时，甲、乙两车一共行完了3个全程（AB+BM+BA+AM）；

第三次相遇时，它们一共行完了5个全程（AB+BA+AN+BA+AB+BN）。

　　下面，我们只要找出与“40千米”相对应的分率（也就是MN占全程的几分之几）。

　　【解】

　　注意：

为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。

我们来讨论封闭线路的行程问题。

解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×

时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。

　　封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。

在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。

【例5】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：

他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？

【分析】要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。

我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。

不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×

10=3000米）。

因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内甲共行1400=[300×

3.5/（3.5+4）]米。

也就是甲最后一次离开原出发点后又行了200米，从而知道甲还需行100（=300-200）米。

【解】300×

3.5/（3.5+4）=1400（米）

　　1400÷

300=4（圈）……200（米）

　　300-200=100（米）

　　【例6】如图38-1，A、B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。

已知C点离A点80米，D点离B点60米。

求这个圆的周长。

　　【分析】这是一个圆周上的追及问题。

从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后，小张、小王又从C点同时开始前进，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。

从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。

也就是，前者所花的时间是后者的2倍。

对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米，一共行了240米。

这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60）米。

（80+80×

2-60）×

2=360（米）

　　【例3】2点整以后，经过多长时间时针与分钟第一次垂直、第三次垂直？

【分析】分针的速度比时针快，2点整时，分针在时针后面 

2格，要使分针与时针第一次垂直，分针应在时针前面3（=12÷

4）格。

也就是说，这段时间内分针应比时针多走5格。

而分针每小时走12格，时针每小时走1格。

根据追及问题的知识，就可以知道需要经过5/（12-1）=5/11小时以后，时针才能与分针第一次垂直。

　　每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

　　时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑（5+12=）17格。

所以要经过[17÷

（12-1）]=17/11小时。

直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。