相交线与平行线教案.docx

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相交线与平行线教案

第五章相交线与平行线

5.1相交线

5.1.1对顶角

【教学目标】

1、具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题

2、过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和有条理表达能力.毛

【教学重点与难点】

教学重点：

重点:

邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用.

教学难点：

理解对顶角相等的性质的探索

【教学方法】

通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。

教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。

【教学过程】

一、创设情境引入新课

（设计说明：

在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，激发学生自主学习的兴趣和积极性。

从而自然引入新课。

）

问题：

在我们的生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，（播放图片）请找出图片中的相交线、平行线，你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗?

比如：

教室种黑板面相邻的两条边、相对的两条边，操场上的双缸，方格纸上的横线和竖线等等，都给人以相交线、平行线的形象。

二、探索新知解决问题

1.观察剪刀剪布的过程，引入两条相交直线所成的角

学生观察、思考、回答问题

问题1：

张开地剪刀给人以什么形象?

（出示一把张开的剪刀）

张开的剪刀可看作两条相交直线。

（教师可以同时在黑板上画出几何图形）

在用剪刀剪布的过程中，用力握紧把手引发了剪刀张角的变化，表演剪布过程，让学生仔细观察，提出问题

问题2：

两个把手之间的的角发生了什么变化?

剪刀刀刃张开的口又怎么变化?

学生观察、思考、回答,得出:

握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小.如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.

教师点评:

如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.

2．认识邻补角和对顶角，探索它们性质

（1）角的位置关系探究

问题：

画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角?

各对角的位置关系如何?

根据不同的位置怎么将它们分类?

（完成表格中的前三项）

两直线相交

所形成的角

分类

位置关系

数量关系

学生思考并在小组内交流,全班交流.

当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时,教师引导学生用几何语言准确地表达,如:

∠AOC和∠BOC有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线.

∠AOC和∠BOD有公共的顶点O,而是∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.

引导学生概括形成邻补角、对顶角概念.

有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

如果两个角有一个公共顶点,而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.

初步应用.

练习1:

下列说法正确吗?

如果错误,如何订正.

①邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两角的另一条边共同一条直线上。

②邻补角可看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角。

③邻补角是互补的两个角,互补的两个角也是邻补角。

④有公共顶点，没有公共边的角是对顶角。

（2）角的数量关系探究

问题1：

用量角器分别量一量各个角的度数,你发现各类角的度数有什么关系?

（完成表格的第四项内容）

学生得出互为邻补角的两角和为180º，互为对顶角的两角相等

教师再提问:

如果改变∠AOC的大小,会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗?

∠AOC的大小不影响它与其它角的位置及数量关系。

在前面的活动中，学生已通过观察、测量得出了邻补角、对顶角间的数量关系，在此基础上可以引导学生思考：

问题2：

能不能用所学知识说明为什么邻补角和为180º，为什么对顶角相等?

在图1中,∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD,所以∠AOC与∠BOC互补,∠AOC与∠AOD互补,根据“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地有∠AOC=∠BOD.

板书对顶角性质:

对顶角相等.

强调对顶角概念与对顶角性质不能混淆:

对顶角的概念是确定二角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.并提醒学生今后只要看到对顶角就应想到它们相等。

初步应用：

1、可以让学生利用对顶角相等这条性质解释剪刀剪布现象。

2、你还能举出生活中应用对顶角相等的例子吗?

三、巩固训练熟练技能

（设计说明：

通过形式不同的练习加强学生对知识的理解，训练学生灵活应用知识解决问题的能力）

练习1：

判断下列图中∠1、∠2是否是对顶角.

练习2：

如图,直线a,b相交,

（1）当∠1=40°时,求∠2,∠3,∠4的度数.

（2）当∠1=90°时,求∠2,∠3,∠4的度数

四、反思总结情意发展

问题1：

本节课你学习了什么?

问题2：

本节课你还有哪些疑问?

问题3：

通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

五、课堂小结

1．本节主要学习邻补角、对顶角的概念、性质。

2．要学会在较复杂的图形中识别邻补角、对顶角。

3．不仅会用对顶角性质解决问题，还要知道新知识如何得出的，在解决问题的过程中注意训练说理能力

六、布置作业

1、课本162页练习第1、2、37题；

七、拓展练习

（设计说明：

在学习基础知识的基础上，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣。

）

练习一、判断题:

1.如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角,那么它们互为邻补角.（）

2.两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补.（）

二、填空题:

1.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF的邻补角是________.若∠AOC:

∠AOE=2:

3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.

（1）

（2）

2.如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=________.

三、解答题:

1.如图,直线AB、CD相交于点O.

（1）若∠AOC＋∠BOD=100°,求各角的度数.

（2）若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.毛

参考答案

一、1.×2.∨

二、1.∠AOF,∠EOC与∠DOF,160°,2.150°,

三、1.

（1）分别是50°,150°,50°,130°

（2）分别是49°,131°,49°,131°.毛

【评价与反思】

5.1.2垂线

知识技能目标

1.理解两条直线互相垂直的意义；

2.会经过一点画出和已知直线垂直的直线，会画出三角形的高；

3.了解点到直线的距离的意义.

过程性目标

1.在观察两条直线位置关系的变化过程中，体验图形的美；

2.学会自主探索图形之间的相互关系和变化规律．

教学过程

一．创设情境

师：

前面重点学习了“角”，也知道角的两边是两条射线，那么当角的大小发生变化时，两边所在直线位置是否也随之变化呢？

现在老师交给你们一个任务，两笔画出四个角是直角，你能解决吗？

请你说说画图的过程．

生：

画两条直线互相垂直．

师：

已知∠AOC=90º，可得两直线什么关系？

生：

AB⊥CD（CD⊥AB）（板书）．

师：

已知AB⊥CD（CD⊥AB），可得∠AOC=∠COB=∠AOD=∠DOB=90º（板书）．师：

你觉得那副图比较美观？

生：

当两条直线互相垂直时，我觉得比较美观.

师：

请你说说理由？

生：

觉得它们具有对称性.

师：

对，因为它们具有对称性，所以我们感觉这样的图案比较美观.

二．探索归纳

师：

现在已经学会了垂线的画法，那么在下面给出的这个问题中你能帮助小青蛙解决困难吗？

如图，在点A处有一只青蛙，要准备快速地跳到小河边BC，你能帮它确定一条线路吗（小组讨论，学生热情高涨）？

生：

过点A作BC的垂线，垂足为M．即沿AM线路跳越可快速跳到河边．

师：

由上面问题的解决过程中，需要作过A的垂线，那么老师问你是如何画出的（学生上黑板画出）？

师：

在问题中点A在直线BC外，那么如果出现点A在直线BC上，仍能画出直线BC的垂线吗？

生：

能.

师：

以上讨论实际研究了这么一个问题：

在同一平面内，经过一点画已知直线的垂线的问题（让学生通过小组讨论，归纳结论）．

生：

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．

三．实践应用

例1如图，小海龟位于图中点A处，按下述口令移动：

向前前进3格；向右转90°，前进5格；向左转90°，前进3格；向左转90°，前进6格；向右转90°,后退6格；最后向右转90°，前进1格.用粗线将海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形（学生在书上做）．

例2如图，∠ABD=90°

（1）点B在直线_______上，点D在直线_______外；

（2）直线_____与直线________相交于点A，点D是直线________与直线________的交点，也是直线_________与直线___________的交点，又是直线_________与直线__________的交点；

（3）直线________⊥直线_________，垂足为点__________；

（4）过点D有且只有___________条直线AC垂直．

例3如图所示的各个三角形中，分别画出AB边上的高，并量出三角形顶点C到直线AB的距离．

例4如图所示的方格纸中，按下述要求画图并回答问题．

（1）过点C画线段AB的垂线，垂足为D；

（2）该垂线是否经过格点（格点指的是画方格时的纵向和横向线段的交点）？

如果经过格点，请在图中标出所有的格点；

（3）量出点C到线段AB所在的直线的距离（精确到1mm）．

四．反思交流

师：

这节课上，我们为小青蛙找到了一条路程最短的线路，也从中获得了不少数学知识．我们要谢谢小青蛙呢．那么大家交流一下学到了哪些知识？

生A：

直角可推出直线互相垂直并学会画垂线．

生B：

直线互相垂直可推出四个角是直角．

生C：

量出点到直线的距离．

生D：

利用两直线互相垂直画的图案比较美.

师：

想一想在你的生活当中见到过要使用“点到直线距离”的例子吗？

生E：

测量同学的跳远成绩时要用到“点到直线距离”．

生F：

测量三角形的高时，也要用到“点到直线距离”．

师：

请各个小组在课后设计一个问题：

问题中要涉及“点到直线距离”．

五．检测反馈

1．如图，已知直线AB以及直线AB外一点P．按下述要求画图并填空：

（1）过点P画PC垂直AB，垂足为点C；

（2）P、C两点间的距离是线段______的长度；

（3）点P到直线AB的距离是线段___________的长度；

（4）点P到直线AB的距离为___________________（精确到1mm）．

2．将如图所示方格中阴影部分的图形绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．

“垂线”过关练习

一.选择题

1.如图，△ABC中，不可能是三角形ABC的高是（）.

（A）BD

（B）CG

（C）AF

（D）BE

2.如图的“米”字图形中，直角一共有几个（）.

（A）6

（B）8

（C）10

（D）12

二.填空题

3.如图，直线AOB，OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，则∠EOF＝

°.

4.如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝36°，则∠EOB＝

5.在下图中，线段

的长表示点M到直线a的距离.

5.1.3同位角内错角同旁内角

一、教学目标

（一）知识教学点

1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念．

2．结合图形识别同位角、内错角、同旁内角．

（二）能力训练点

1．通过变式图形的识图训练，培养学生的识图能力．

2．通过例题口答“为什么”，培养学生的推理能力．

（三）德育渗透点思想；从图形变化过程中，培养学生辩证唯物主义观点．

（四）美育渗透点

通过“三线八角”基本图形，使学生认识几何图形的位置美．

二、学法引导

1．教师教法：

尝试指导，讨论评价、变式练习、回授．

2．学生学法：

主动思考，相互研讨，自我归纳．

三、重点、难点及解决办法

重点：

同位角、内错角、同旁内角的概念．

难点：

在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．

解决办法：

引导学生讨论归纳三类角的特征，并以练习加以巩固．

四、课时安排

1课时．

五、教具学具准备

多媒体、三角板．

六、师生互动活动设计

1．通过一组练习创设情境，复习基础知识，引入新课．

2．通过学生阅读学案，教师设问引导，练习巩固讲授新课．

3．通过师生互答完成课堂小结．

七、教学过程

创设情境，复习导入

回答下列问题：

1．如图，∠1与∠3，∠2与∠4是什么角？

它们有什么关系？

2．如图，∠1与∠2，∠l与∠4是什么角？

它们有什么关系？

在（1、2题的）图上添加一条直线CD，使CD与EF相交于某一点（如图），直线AB、CD都与EF相交或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，这样图中就构成八个角，在这八个角中，有公共顶点的两个角的关系前面已经学过，今天，我们来研究没有公共顶点的两个角的关系．

尝试指导，学习新知

1．学生自己尝试学习，阅读学案的内容．

2．设计以下问题，帮助学生正确理解概念．

（1）如上图所示，直线AB和直线CD被第三条直线EF所截，构成的∠1与∠5在两条被截线（AB、CD）的，在截线EF的.这样位置的角称为.构成的∠3与∠5在两条被截线（AB、CD）的，在截线EF的.这样位置的角称为.构成的∠3与∠6在两条被截线（AB、CD）的，在截线EF的.这样位置的角称为.

（2）观察∠1和∠5两个角，图形结构像哪一个字母？

∠1和∠5这对角有什么特点？

图中的同位角除了∠1和∠5外，还有哪几对？

（3）观察∠3和∠5两个角,图形结构像哪一个字母？

∠3和∠5这对角有什么特点？

图中的内错角除了∠3和∠5外，还有哪几对？

（4）观察∠3和∠6两个角,图形结构像哪一个字母？

∠3和∠6这对角有什么特点？

图中的同旁内角除∠3和∠6外，还有哪几对？

3．对上述问题以小组为单位展开讨论，然后学生间互相评议．

4．教师对学生讨论过程中所发表的意见进行评判，归纳总结．

5.学生通过手势法尝试学习三种角.

请同学们分别用双手的大拇指和食指各组成一个角，两根手指相连成一条线，保持在同一平面内，分别进行尝试，如何构成同位角、内错角和同旁内角？

同位角“F”内错角“Z”同旁内角“U”

6.巩固新知

（1）如图，直线DE，BC被直线AB所截，∠1与∠2是＿＿＿角，∠1与∠3是＿＿＿角，∠1与∠4是＿＿＿角。

（2）如图，∠1和∠2是角；∠3和∠4是角；∠5和∠6是角.

7.变式训练

根据图形按要求填空：

（1）∠1与∠2是直线和被直线所截而得的.

（2）∠1与∠3是直线和被直线所截而得的.

（3）∠3与∠4是直线____和_________被直线________所截而得的________.

（4）∠2与∠4是直线________和被直线所截而得的_________.

（5）∠4与∠5是直线________和__________被直线________所截而得的__________.

8.教师强调如何在三线八角中找出三种角

在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征（F、Z、U）判断问题就迎刃而解．

9.能力提升

辩一辩

（1）如图，∠1与∠2是同位角吗？

（2）如图，∠1与∠2是内错角吗？

（3）如图，∠1与∠2是同旁内角吗？

（四）小结

主要内容：

两条直线被第三条直线所截而产生的三种角同位角、内错角、同旁内角.

注意：

1、在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两侧找内错角.

2、在“三线八角”的图形中应先找到“截线”，再找另外两直线，然后根据角的位置决定是哪一种角.

八、布置作业

5.2平行线

5.2.1平行线

知识技能目标

1．了解平行线的意义，知道过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

2．会经过直线外一点，画已知直线的平行线．

过程性目标

1．通过观察和画平行线，感受平行线的实际意义，体验平行线的特征；

2．探索“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”的结论，体会研究几何图形性质的方法.

教学过程

一．创设情境

师：

当我们去操场进行跳高训练时，你们有没有发现横杆在阳光的照射下，在地面上留下了它的影子，这影子和横杆有交点吗？

生：

影子和横杆没有交点.

师：

在我们的生活中，你还能找到类似的例子，在同一平面内两条直线没有交点吗（小组交流）？

生:

像黑板的上，下两条边，铺设的铁轨等．

师：

在同一平面内请学生画两条直线，看一看有几种情形（让学生自主探索获得结论）？

生：

在同一个平面内所画的两条直线只有两种情形：

两条直线相交；两条直线不相交．

师：

我们把在同一个平面内不相交的两直线叫做平行线（parallellines）．

如图，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”．

二．探索归纳

师：

大家刚才已经画了没有交点的两条直线，那你能肯定将两直线向两方延长后永远没有交点吗？

请同伴帮你检测一下（学生合作完成）．

师：

你是用什么方法确定同学所画的两直线肯定是平行的呢（学生交流平行线的画法）？

师：

下面请大家观看一种画平行线的方法：

按照图示方法，画一条直线b与已知直线a平行．

师：

如果在直线a外有一个已知点P，那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行？

请动手画一画（学生之间相互交流、讨论后确定具体的画法）．

生：

动手操作的结果表明，经过点P画一条直线与已知直线a平行.

师：

你能把这一现象总结出来吗？

生A：

经过直线a外点P只能画一条直线与已知直线a平行．

生B：

可以总结为：

经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

三．实践应用

1．观察如图所示的长方体后填空：

（1）用符号表示下列两棱的位置关系：

A1B1______AB,AA1______AB,A1D1_________C1D1,AD______BC;

（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们_____平行线（填“是”或

“不是”），由此可知，只有在__________内，两条不相交的直线叫做平行线．

2．根据下列语句，画出图形：

（1）过△ABC的顶点C,画MN∥AB;

（2）过△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，交BC于点E．

（3）模仿

（1）、

（2）两题，你也能提出一个问题让同桌试一试吗？

四．交流反思

师：

通过我们一起探索，获得了有关平行线的知识，你能给我们讲讲对平行线的认识吗？

.

生：

在同一平面内，两条不同直线的位置关系只有两种：

相交或平行．

师：

请举出一些与平行线相关的实例.

生：

如图所示，不少国家、团体或公司的标志是由平行线、垂线构成的（同学间可以交流）．

师：

希望大家在课后能够利用平行线、垂线设计图案.

师：

希望大家在课后能够利用平行线、垂线等设计出一些漂亮的图案来.

五．检测反馈

1．在同一平面内,与已知直线a平行的直线有_______条,而经过直线a外一点P,与已知直线a平行的直线有且只有______条．

2．用平移三角尺的方法可以检验出图中共有平行线______对．

3．利用平行线画一些图案,比一比谁画的美观．

4.如图是一本书封面的图的框架，请临摹这个图案，并涂上适当的颜色.

“平行线”过关练习

填空题

1.学校操场上，跳高横杆与地面上的影子的关系属于

.

2.如图，长方体中，与棱AA1平行的棱有

条，与棱AA1相交并垂直的棱有

条.

3.如图,经过直线l外一点P的四条直线中与直线l平行的直线是

.

5.2.2平行线的判定

知识技能目标

1．理解和掌握平行线的识别方法；

2．能根据平行线的识别进行简单的说理．

过程性目标

通过图形变换，以及由“同位角相等，两直线平行”探索平行线的其他识别方法，初步感受推理的表达方式.

教学过程

一．创设情境

师：

老师通过屏幕展示出来的不相交两直线，你认为此两直线是平行线吗（学生展开讨论）？

生A：

是两条平行线.

生B：

我不同意他的讲法，认为不是两条平行线．

师：

两类意见，老师认为都正确，因为借我们的双眼来观察所得是不够准确的，有时会有个人色彩，有时眼见的不一定为真，有时眼见的当然不一定不真，那我们怎么解决这类问题呢（学生讨论）？

生C：

我认为可用已经确认的两平行线去比较验证.

生D：

我认为应该去找到一种具体的识别方法.

师：

那我们到哪里去找呢？

找什么识别方法呢（学生思考并出示课题）？

二．探索归纳

师：

我们想一想能不能用学过的知识去找出解决的方法？

老师请一位同学上黑板，用直尺和三角板画过已知直线a外一点P的直线a的平行线b．

生E:

在黑板上画图（其他学生仔细观察）.

师：

你从中看到了什么？

生F:

通过两角相等，画出了平行线.

师：

利用怎样的两个角相等？

生F:

利用同位角相等，获得平行线.

师：

由刚才的演示发现：

我们画平行线是借助了与a、b都相交的第三直线，在画平行线的过程中，实际上是保证了相同位置的两个角都是60°，因此，可得出什么“猜想”？

生：

可以得出：

如果同位角相等，那么两直线会平行．

师：

老师准备用课件演示运动变化过程，再次验证上面得出的结论（展示动画）．

大家思考这样这个问题：

会不会有某一特定时刻，即使同位角不相等，两直线也平行呢？

（以引出运动、变化的实验．在观察实验之前，首先让学生认清，∠α和∠β（如图），而后开始实验.让学生充分观察，并得出结论）

生：

当∠β≠∠α时，a不平行于b；而不论α取何值，只要∠β=∠α，a、b就平行．

师：

请同学们用一句话概括这一结论.

生：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，就是：

同位角相等，两直线平行．

例1如图，∠1=150°，∠2=150°，a∥b吗？

说出你的想法?

生：

因为∠1=∠2，所以a∥b（板书）.

师：

如果图中只有∠2=∠3这个条件，那么直线a、b还会平行吗？

生：

因为∠1=∠3，∠2=∠3，所以∠1=∠2，所以直线a、b平行．

所以我们也可以写成：

因为∠2=∠3，所以a∥b（板书）.

师：

通过以上的推导，你有什么想法？

生：

如果内错角相等，那么两直线会平行．

师：

请同学试用一句话概括我们发现的结论.

生：

内错角相等，两直线平行（板书）．

师：

如果图中只有∠2+∠4=180°这个条件，请同学们交流讨论，能不能推出直线a、b平行？

用“因为……，所以……”的语句口答．

生：

因为∠2+∠4=180°，所以a∥b（板书）.

师：

说明了怎样一个事实.

生：

同旁内角互补，两直线平行（板书）．

三