同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直线DA.所以CE,D1F,DA三线共点.
证明线共面或点共面的三种常用方法
(1)直接法:
证明直线平行或相交,从而证明线共面.
(2)纳入平面法:
先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法:
先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.
考点二 空间两直线的位置关系|
1.(2016·绵阳模拟)已知a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论:
①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2D.3
解析:
在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错,③显然成立,故选B.
答案:
B
2.下列四个命题中错误的是( )
A.若直线a,b互相平行,则直线a,b确定一个平面
B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线
C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面
解析:
过两条平行直线,有且只有一个平面,A正确;如果四点中存在三点共线,则四点共面,B正确;两条直线没有公共点,这两条直线可能平行,也可能异面,C错误;垂直于同一个平面的两条直线平行,这样的两条直线共面,D正确.
答案:
C
判断空间两直线位置关系的三种策略
(1)对于异面直线,可采用直接法或反证法进行判定.
(2)对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断.
(3)对于线线垂直,往往利用线面垂直的定义,由线面垂直得到线线垂直.
考点三 异面直线所成角|
(2015·高考浙江卷)如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.
[解析] 如图所示,连接ND,
取ND的中点E,连接ME,CE,
则ME∥AN,
则异面直线AN,CM所成的角即为∠EMC.
由题可知CN=1,AN=2
,
∴ME=
.又CM=2
,
DN=2
,NE=
,
∴CE=
,
则cos∠CME=
=
=
.
[答案]
(1)作异面直线所成的角常用平移法,平移法一般有三种类型:
利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成的角的三步曲为:
“一作、二证、三求”.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
直三棱柱ABCA1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:
分别取AB,AA1,A1C1的中点D,E,F,则BA1∥DE,AC1∥EF.
所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角),
设AB=AC=AA1=2,
则DE=EF=
,DF=
,由余弦定理得,∠DEF=120°.
答案:
C
22.构造模型法判断空间线面位置关系
【典例】 已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中所有正确的命题是( )
A.①④ B.②④ C.① D.④
[思维点拨] 构造一个长方体模型,找出适合条件的直线与平面,在长方体内判断它们的位置关系.
[解析] 借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图
(1)所示,故①正确;对于②,平面α、β互相垂直,如图
(2)所示;对于③,平面α、β可能垂直,如图(3)所示;对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β=g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n.
[答案] A
[方法点评]
(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误;
(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.
[跟踪练习] 下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
解析:
如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,A1D与D1A和平面ABCD所成的角都是45°,但A1D与D1A不平行,故A错;在平面ABB1A1内,直线A1B1上有无数个点到平面ABCD的距离相等,但平面ABB1A1与平面ABCD不平行,故B错;平面ADD1A1与平面DCC1D1和平面ABCD都垂直,但两个平面相交,故D错,从而C正确.
答案:
C
A组 考点能力演练
1.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1⊥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
解析:
如图长方体ABCDA1B1C1D1中,
AB⊥AD,CD⊥AD但有AB∥CD,因此A不正确;
又AB∥DC∥A1B1,但三线不共面,因此C不正确;
又从A出发的三条棱不共面,所以D不正确;因此B正确,且由线线平行和垂直的定义易知B正确.
答案:
B
2.(2016·广东佛山模拟)如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.2
解析:
如图,取AC中点G,连FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=
BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角,在Rt△EFG中,cos∠EFG=
=
=
.
答案:
B
3.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
解析:
在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;
在C图中分别连接PQ,RS,
易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面;
如图所示,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;
D图中PS与QR为异面直线,∴四点不共面,故选D.
答案:
D
4.(2016·衡水中学模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
解析:
连接C1D,BD.∵N是D1C的中点,∴N是C1D的中点,∴MN∥BD.又∵CC1⊥BD,∴CC1⊥MN,故A,C正确.∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN⊥AC,故B正确.故选D.
答案:
D
5.如图所示,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,则下列命题中,错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
解析:
由题意可知PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;由PN∥BD知,异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,又四边形PQMN为正方形,所以∠MPN=45°,故D正确;而AC=BD没有条件说明其相等,故选C.
答案:
C
6.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).
解析:
由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错.
答案:
①
7.(2016·济南一模)在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为________.
解析:
如图,设AC∩BD=O,连接VO,因为四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为
.
答案:
8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________(注:
把你认为正确的结论序号都填上).
解析:
由图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.
答案:
③④
9.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D、B、F、E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.
证明:
(1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.
所以EF,BD确定一个平面,
即D、B、F、E四点共面.
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.
又Q∈EF,所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点,
同理,P点也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,
所以R∈A1C,R∈α且R∈β.
则R∈PQ,故P、Q、R三点共线.
10.如图,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=
,AB=2,AC=2
,PA=2.求:
(1)三棱锥PABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
解:
(1)S△ABC=
×2×2
=2
,
三棱锥PABC的体积为
V=
S△ABC·PA=
×2
×2=
.
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中,DE=2,AE=
,AD=2,
cos∠ADE=
=
.
B组 高考题型专练
1.(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
解析:
如图所示正方体ABCDA1B1C1D1,取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为CC1,则l1∥l4,可知选项A错误;取l1为BB1,l2为BC,l3为AD,l4为C1D1,则l1⊥l4,故B错误,则C也错误,故选D.
答案:
D
2.(2015·高考广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
解析:
可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α内,于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.
答案:
D
3.(2014·高考大纲卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
设正四面体ABCD的棱长为2.如图,取AD的中点F,连接EF,CF.
在△ABD中,由AE=EB,AF=FD,得EF∥BD,且EF=
BD=1.
故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角.
在△ABC中,CE=
AB=
;
在△ADC中,CF=
AD=
.
在△CEF中,cos∠CEF=
=
=
.
所以直线CE与BD所成角的余弦值为
.
答案:
B
4.(2015·高考四川卷)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.
解析:
取BF的中点N,连接MN,EN,
则EN∥AF,所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角.
在△EMN中,当点M与点P重合时,EM⊥AF,
所以当点M逐渐趋近于点Q时,
直线EN与EM的夹角越来越小,此时cosθ越来越大.
故当点M与点Q重合时,cosθ取最大值.
设正方形的边长为4,连接EQ,NQ,
在△EQN中,由余弦定理,
得cos∠QEN=
=
=-
,所以cosθ的最大值为
.
答案: