高中数学空间中直线与直线之间的位置关系.docx

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高中数学空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2

空间中直线与直线之间的位置关系

【知识提炼】

1.空间直线的位置关系

（1）异面直线:

不同在任何一个平面内的两条直线.

（2）异面直线的画法（衬托平面法）

如图

（1）

（2）所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一

个或两个平面来衬托.

（3）空间两条直线的三种位置关系

①从是否有公共点的角度来分:

平行

异面

相交

②从是否共面的角度来分:

平行

相交

异面

2.公理4及定理

（1）公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

符号表示:

a∥b,b∥c⇒a∥c.

（2）等角定理:

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角

相等或互补.

3.异面直线所成的角

（1）定义:

已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a′∥a,

b′∥b,则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角（或

直角）.

（2）范围:

0°<θ≤90°.特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作____

a⊥b

【即时小测】

1.思考下列问题:

（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?

提示:

不一定.可能平行、相交或异面.

（2）两条垂直的直线必相交吗?

提示:

不一定.可能相交垂直,也可能异面垂直.

（3）如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?

提示:

不一定.这两条直线可能平行、相交或异面.

2.空间任意两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为

（）

A.60°B.120°C.30°D.60°或120°

【解析】选D.α与β相等或互补,β为60°或120°,故选D.

3.不平行的两条直线的位置关系是.

【解析】由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平

行的两条直线的位置关系是相交或异面.

答案:

相交或异面

4.如图所示,在四棱锥P-ABCD中的八条棱所在的直线中,异面直线共有

对.

【解析】每条侧棱与底面四边形中不共点的两边均为异面直线,故共

有8对.

答案:

8

【知识探究】

知识点1异面直线与异面直线所成的角

观察图形,回答下列问题:

问题1:

电线所在直线与电线杆所在直线的位置关系什么?

问题2:

怎样刻画电线所在直线与电线杆所在直线的位置关系?

【总结提升】

1.对异面直线概念理解须注意的问题

（1）“不同在任何一个平面内”,指这两条直线永不具备确定平面的条

件,即异面直线既不平行,也不相交.

（2）不能把异面直线误解为:

分别在不同平面内的两条直线为异面直线

.在两个不同平面内的直线,既可以是平行直线,也可以是相交直线,还

可以是异面直线.

2.解读异面直线所成的角

（1）任意性与无关性:

在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可

以断定异面直线所成的角与a′,b′所成的锐角（或直角）相等,而与点

O的位置无关.

（2）转化求角:

异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个

重要的量,通过转化为相交直线所成的角,将空间角转化为平面角来计

算.

（3）两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.

知识点2公理4及等角定理

观察图形,回答下列问题:

问题1:

三棱镜三条棱所在直线位置与公理4有什么关系?

问题2:

拇指和食指所成的角对应立体几何中什么定理?

【总结提升】

1.公理4的作用

公理4是论证平行问题的主要依据.在公理4中,若把直线a,b,c的平行

关系限制在同一平面内,则可看作是公理4的一种特殊情况.

2.对等角定理的两点认识

（1）等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,它是公理4的直

接应用.

（2）当这两个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互

补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.

【题型探究】

类型一空间两条直线位置关系的判定

【典例】1.已知a,b,c是空间三条直线,下面给出四个命题:

①如果

a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a,b是异面直线,b,c是异面直线,那么a,c

也是异面直线;③如果a,b是相交直线,b,c是相交直线,那么a,c也是相

交直线;④如果a,b共面,b,c共面,那么a,c也共面.

在上述命题中,正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2015·广东高考）若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面

β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是（）

A.l至少与l1,l2中的一条相交

B.l与l1,l2都相交

C.l至多与l1,l2中的一条相交

D.l与l1,l2都不相交

【解题探究】1.典例1中垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

异面

直线间是否有传递性?

提示:

在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行.异面直线间

不具有传递性.

2.题2中l与l1,l与l2会是异面直线吗?

提示:

不会.

【解析】1.选A.①a与c还可能相交、异面;②a与c还可能相交、平行

;③a与c还可能异面、平行;④a与c可能不在同一个平面内.故

①②③④均不正确.

2.选A.直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,α∩β=l,

则l至少与l1,l2中的一条相交.

【方法技巧】

1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍

（1）建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系

.特别关注异面直线.

（2）重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置

关系.

2.判定两条直线是异面直线的方法

（1）证明两条直线既不平行又不相交.

（2）重要结论:

连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,B∉l,l

⊂α则AB与l是异面直线（如图）.

【变式训练】一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条

的位置关系是（）

A.平行或异面B.相交或异面

C.异面D.相交

【解析】选B.假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行.（否则

c∥b,则有a∥b,矛盾）;因此c与b可能相交或异面.

类型二平行公理和等角定理的应用

【典例】1.在空间四边形ABCD中,如图

（1）所示,

则EH与FG的位置关系是.

2.如图

（2）所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是

AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:

EE′∥FF′.

【解题探究】1.典例1中条件能推出什么结论?

提示:

根据平行线分线段成比例定理可知EH∥BD,FG∥BD.

2.典例2中证明EE′∥FF′的关键是什么?

提示:

典例2中证明EE′∥FF′的关键是寻找第三条直线分别和它们平

行?

【解析】1.连接BD,在△ABD中,,则EH∥BD,同理可得

FG∥BD.所以EH∥FG.

答案:

平行

2.因为E,E′分别是AB,A′B′的中点,

所以BE∥B′E′,且BE=B′E′.

所以四边形EBB′E′是平行四边形.

所以EE′∥BB′,同理可证FF′∥BB′.

所以EE′∥FF′.

【延伸探究】

1.（变换条件、改变问法）在本例2中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中

点,求证:

四边形ACNM是梯形.

【证明】如图所示,连接A′C′,

因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,

所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.

由正方体的性质可知:

A′C′∥AC,

且A′C′=AC.

所以MN∥AC,且MN=AC,

所以四边形ACNM是梯形.

2.（变换条件,改变问法）将本例2变为:

已知E,E′分别是正方体ABCD-

A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:

∠BEC=∠B′E′C′.

【证明】如图所示,连接EE′.

因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,

所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.

所以四边形AEE′A′是平行四边形.

所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.

又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,

且EE′=BB′.

所以四边形BEE′B′是平行四边形.

所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.

又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同,

所以∠BEC=∠B′E′C′.

【方法技巧】

1.证明两条直线平行的方法

（1）公理4:

即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行,这是一种

常用方法,要充分用好平面几何知识,如有中点时用好中位线性质等.

（2）平行直线的定义:

证明在同一平面内,这两条直线无公共点.

2.证明两个角相等的方法

（1）利用等角定理.

（2）利用三角形全等或相似.

【补偿训练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:

BF∥ED1.

【解题指南】取BB1的中点G,根据公理4利用“中间线”GC1

将平行关系传递,进而证明BF∥ED1.

【证明】如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE,

因为F为CC1的中点,所以BG@C1F,

所以四边形BGC1F为平行四边形,所以BF∥GC1,

又因为EG@A1B1,A1B1@C1D1,所以EG@C1D1,所以四边形EGC1D1为平行四边形,所以ED1∥GC1,所以BF∥ED1.

类型三异面直线所成的角

【典例】如图,三棱锥A-BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,F在棱CD上,并使

AE∶EB=CF∶FD=m（m>0）,设α为异面直线EF和AC所成的角,β为异面直

线EF和BD所成的角,试求α+β的值.

【解题探究】典例中怎样将AE∶EB=CF∶FD转化为三角形中两边上的

比例关系?

提示:

可通过在BC边上找一点M,使CM∶MB=CF∶FD=m,从而实现转化,

进而作出异面直线所成的角.

【解析】过点F作MF∥BD,交BC于点M,连接ME,

则CM∶MB=CF∶FD=m,

又因为AE∶EB=CF∶FD=m,所以CM∶MB=AE∶EB,

所以EM∥AC,

所以α=∠MEF,β=∠MFE,AC与BD所成的角为∠EMF,因为AC⊥BD,所以∠EMF=90°,所以α+β=90°.

【方法技巧】求异面直线所成的角的步骤

（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考

虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,

可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.

（2）求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.

（3）结论——设由

（2）所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为

所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.

【变式训练】正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为平面

A′B′C′D′与AA′D′D的中心,则EF与CD所成角的度数是

.

【解析】连接B′D′,则E为B′D′的中点,连接AB′,则EF∥AB′,又CD∥AB,所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角,因为∠B′AB=45°,所以EF与CD所成的角的度数为45°.

答案:

45°

【补偿训练】正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于O,则OB1与A1C1所

成的角的度数为.

【解析】连结AB1,B1C.

因为AC∥A1C1,

所以∠B1OC（或其补角）是异面直线OB1与A1C1所成的角.

又因为AB1=B1C=AC,O为AC的中点,

所以B1O⊥AC,故∠B1OC=90°.

所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.

答案:

90°

规范解答求异面直线所成的角

【典例】（12分）在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中

点,EF=,求AD与BC所成角的大小.

【审题指导】

（1）利用E,F分别是AB,CD的中点,考虑找中位线,转化角.

（2）结合异面直线所成角定义,由E,F是中点可考虑构造三角形中位线,

作出异面直线所成的角,在三角形中求角.

【规范解答】取BD的中点G,连接GE,GF,………………………1分

因为BE=EA,BG=GD,所以GE∥AD,GE=AD=1.……………………3分

因为DF=FC,DG=GB,所以GF∥BC,GF=BC=1,……………………5分

所以∠EGF（或其补角）是异面直线AD与BC所成的角.

………………………………………………………………………6分

在△GEF中,GE=1,GF=1,EF=（如图）,取EF的中点O,连接GO,则

GO⊥EF,EO=EF=.…………………………………8分

所以sin∠EGO==,∠EGO=60°,…………………9分

所以∠EGF=2∠EGO=120°.……………………………10分

所以异面直线AD与BC所成的角是180°-120°=60°.

……………………………………………………………………12分

【题后悟道】

1.结合题目条件作辅助线

一般来说,作平行线的方法有利用三角形中位线的性质和平行四边形

的性质.另外要注意恰当利用题目条件.如本例中,取BD的中点G,连接

GE,GF不仅可以作出直线AD和BC的平行线,而且可以求出GE,GF的长度.

2.空间问题转化为平面问题的思路

解答立体几何问题的关键是正确地将空间问题转化为平面问题,如本

例中,经过作辅助线将原问题转化为在△GEF中,求角的问题.

3.重视异面直线所成角的取值范围

异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,而根据等角定理所作

的角有可能是所求角的补角.如本例中所作的角为钝角,应是所求角的

补角.