湘教版八年级下册新第1章《14角平分线的性质》同步练习.docx

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湘教版八年级下册新第1章《14角平分线的性质》同步练习

角平分线的性质

要点感知角平分线的性质定理：

角的平分线上的点到__________的距离相等.

预习练习已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

知识点角平分线的性质

1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于（）

A.5B.4C.3D.2

2.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.

4.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.

求证：

OB=OC.

5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

求证：

∠B=∠C.

6.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别为S1、S2，则S1∶S2等于（）

A.2∶1B.

∶1C.3∶2D.2∶

7.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于（）

A.4B.3C.2D.1

8.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（）

A.3B.4C.5D.6

9.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3cm，则AB与CD之间的距离为（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.无法确定

10.已知：

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：

BD+DE=AC.

11.已知：

如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：

CF=EB.

角平分线的判定

要点感知角平分线的性质定理的逆定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.

预习练习如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是____________________.

知识点角平分线的判定

1.如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）

A.线段CD的中点

B.OA与OB的中垂线的交点

C.OA与CD的中垂线的交点

D.CD与∠AOB的平分线的交点

3.如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是（）

A.AD=CPB.点D在∠ABC的平分线上

C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB

4.如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.

5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.

6.如图：

在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为F，DE=BD，CE=FB.求证：

点D在∠CAB的角平分线上.

7.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：

AD平分∠BAC.

8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.求证：

AD是△ABC的角平分线.

9.已知：

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

（1）若连接AM，则AM是否平分∠DAB？

请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？

请说明理由.

参考答案

要点感知角的两边

预习练习B

1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.8

7.证明：

∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

∴OE=OD.

在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，

∴△OBE≌△OCD（ASA）.

∴OB=OC.

8.证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.

∵D是BC的中点，

∴BD=CD.

在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴∠B=∠C.

9.A10.B11.A12.B13.214.5

15.证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE.

∴BC=BD+CD=BD+DE.

∵AC=BC，

∴AC=BD+DE.

16.证明：

∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，

∴DE=DC.

又∵BD=DF，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）.

∴CF=EB.

17.证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.

∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，

∴∠EDA=∠FDA.

∴AD⊥EF.

18.相等.

证明：

连接EB，EC.

∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，

∴EF=EG.

∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，

∴EB=EC.

∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）.

∴BF=CG.

角平分线的判定

要点感知角平分线的性质定理的逆定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在__________上.

预习练习如图，P是∠MON内一点，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，若PE=PF，则OP平分∠MON，其依据是____________________.

知识点角平分线的判定

1.如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，∠BAD=25°，则∠CAD=（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

2.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）

A.线段CD的中点

B.OA与OB的中垂线的交点

C.OA与CD的中垂线的交点

D.CD与∠AOB的平分线的交点

3.如图，已知点P在射线BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C，且PA=PC，下列结论错误的是（）

A.AD=CPB.点D在∠ABC的平分线上

C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB

4.如图，是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的角平分线.

5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，则∠EBC的度数为__________.

6.如图：

在△ABC中，∠C=90°，DF⊥AB，垂足为F，DE=BD，CE=FB.求证：

点D在∠CAB的角平分线上.

7.如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD.求证：

AD平分∠BAC.

12.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF.求证：

AD是△ABC的角平分线.

14.已知：

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.

（1）若连接AM，则AM是否平分∠DAB？

请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？

请说明理由.

参考答案

要点感知角的平分线

预习练习角平分线定理的逆定理

1.B2.D3.A4.PC=PD5.27°

6.证明：

∵DF⊥AB，∠C=90°，

∴∠DFB=∠C=90°.

在Rt△CED和Rt△FBD中，DE=DB,CE=FB,

∴△CED≌△FBD（HL）.

∴DC=DF.

∵DF⊥AB，DC⊥AC，

∴点D在∠CAB的角平分线上.

7.证明：

∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°.

在△BDF与△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE，BD=CD，

∴△BDF≌△CDE（AAS）.

∴DF=DE.

∴AD是∠BAC的平分线.

8.B9.B10.D11.115°

12.证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴△BDE和△DCF是直角三角形.

∵BD=CD，BE=CF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴DE=DF.

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是△ABC的角平分线.

13.作法：

（1）作出∠BAC的平分线AD；

（2）连接MN，作MN的垂直平分线EF交AD于点P.

∴点P就是所求的点.图略.

14.

（1）AM平分∠DAB.

证明：

过点M作ME⊥AD，垂足为E.

∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2.

∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC.

又∵MC=MB，∴ME=MB.

∵MB⊥AB，ME⊥AD，

∴AM平分∠DAB.

（2）AM⊥DM.

理由：

∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥CB，AB⊥CB.

∴CD∥AB.

∴∠CDA+∠DAB=180°.

又∵∠1=

∠CDA，∠3=

∠DAB，

∴2∠1+2∠3=180°.

∴∠1+∠3=90°.

∴∠AMD=90°，即AM⊥DM.