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霍克布朗强度准则的研究进展

霍克-布朗强度准则的研究现状

摘要1980年E.Hoek和E.T.Brown提出了Hoek-Brown（H-B）强度准则，已充分得到岩石力学与工程研究者的认同，并进行研究和应用。

首先系统地阐述H-B强度准则研究进展：

E.Hoek和E.T.Brown对H-B强度准则的研究成果、三维H-B强度准则、H-B强度准则岩石和岩体参数研究、考虑层状节理的H-B强度准则及其参数的各向异性研究，再对过去30a国内外基于H-B强度准则工程应用的成果进行总结。

关键词岩石力学；Hoek-Brown强度准则；研究进展；岩体

1引言

1980年E.Hoke和E.T.Brown通过对几百组岩石三轴试验资料和大量岩土现场试验成果的统计分析，结合岩石性状方面的理论研究成果和实践检验，提出来迄今为止应用最为广泛、影响最大的岩石强度准则—Hoke-Brown（H-B）强度准则。

多年来，经过大量研究人员的不断发展和完善，形成了较为完整的体系。

H-B强度准则可以应用于岩石和岩体，参数可以通过常规室内试验、矿物组成和不连续面描述获取。

H-B强度准则可以反映岩石和岩体固有的非线性破坏的特点，以及结构面、应力状态对强度的影响，能解释低应力区、拉应力区和最小主应力对强度的影响，并适用于各向异性岩体的描述等。

传统的H-B强度准则有很多优点，但也存在一些不足:

如不能考虑中间主应力的影响、难以准确确定准则中的参数、对各向异性明显的节理岩石适用性差等[1]。

为解决这些问题，近30a来广大研究者，尤其是中国学者倾注了极大的精力，并取得了显著的成果。

2H-B强度准则研究进展

2.1H-B强度准则提出和发展

H-B强度准则是由E.Hoek和E.T.Brown于1980年首次提出的，可反映岩石破坏时极限主应力问的非线性经验关系，其表达式为[2]：

（1）

式中：

，

分别为最大、最小压应力（MPa）；

为岩石单轴抗压强度（MPa）；

为岩石量纲一的经验参数，反映岩石的软硬程度，取值范围为0.001～25.0。

E.Hoek等结合大量工程地质人员来自实验室和工程的经验积累，提出比较全面的、可以覆盖多种岩石（质地和矿物成分）的详细

取值方法，具体可参见相关文献。

1992年E.Hoek等对H-B强度准则进行了改进，使其可同时应用于岩石和岩体，称之为广义H-B岩体强度准则，其表达式为[3]：

（2）式中：

，

，

为反映岩体特征的经验参数，其中，

，

为针对不同岩体的量纲一的经验参数，

反映岩体破碎程度，取值范围0.0～1.0，对于完整的岩体（即岩石），s=1.0。

广义H-B岩体强度准则在原准则的基础上引入参数

，

，以适用于质量较差的岩体，特别是在低应力条件下。

1992年提出的广义H-B岩体强度准则使得该准则的研究对象从岩石转向具有实际意义的工程岩体。

H-B岩石强度准则是广义H-B岩体强度准则的一个特例。

E.Hoek和E.T.Brown结合Z.T.Bieniawski岩体评分系统（RMR）提出了岩体参数取值方法：

（1）扰动岩体：

（3）

（2）未扰动岩体：

（4）

该方法假定岩体完全干燥，且仅适用于某些特定的非连续面。

对RMR＞25.0的岩体是适用的，但对非常破碎的岩体，如RMR＜18.0（1976版RMR），或RMR＜23.0（1989版RMR）是不适用的。

为克服这一局限，E.Hoek等提出了基于地质强度指标（GSI）的岩体参数的取值方法：

（1）当GSI＞25.0（如质量较好的岩体），有

（5）

（2）当GSI＜25.0（如非常破碎的岩体），有

（6）

E.Hoek等引入一个可考虑爆破影响和应力释放的扰动参数D（D取值范围为0.0～1.0，现场无扰动岩体为0.0，而非常扰动岩体为1.0），提出了基于地质强度指标（GSI）参数

取值的新方法：

（7）

2.2三维H-B强度准则研究

H-B强度准则没有考虑中间主应力对强度的影响，但大量的研究结论和工程实践验证其影响的存在。

X.Pan[4]等先后提出了各种三维H-B强度准则。

X.Pan和J.A.Hudson基于H-B强度准则，提出一个三维H-B强度准则，表达式如下：

（8）

式中:

、

分别为八面体剪应力和第一应力不变量，表达式分别如下：

（9）

（10）

B.Singh[13]等基于广义H-B岩体强度准则，提出一个经验的可考虑中间主应力影响的三维H-B强度准则，表达式如下：

（11）

式中：

为中间主应力（MPa）。

昝月稳等结合H-B强度准则和统一强度理论，提出一个适用于岩石的非线性统一强度准则，以H-B强度准则和非线性双剪强度准则在π平面上构成岩石屈服破坏面的内、外边界。

该准则可以考虑中间主力的影响，同时其子午线是非线性的，该准则可以推广到岩体或节理岩体。

张永兴[5]等与S.D.Priest[6]分别基于H-B强度准则和Drucker-Prager（D-P）强度准则，通过外接广义H-B岩体强度准则的三轴拉伸破坏点的方法，经过数学迭代确定D-P强度准则的参数，提出三维H-B强度准则。

但S.D.Priest提出的三维H-B强度准则是广义的，可以适用于岩体（

）。

N.Melkoumian[7]等在S.D.Priest提出的三维H-B强度准则的基础上，给出进行D-P强度准则参数确定的精确的数学过程，具体表达式如下：

（12）

（13）

X.Pan等提出的三维H-B强度准则虽然可以考虑中主应力的影响，但在三轴拉伸和三轴压缩的条件下，不能简化为二维初始的H-B强度准则，不能直接使用H-B强度准则的参数，不是真正意义上的三维H-B强度准则。

3H-B强度准则的参数研究

采用H-B强度准则能否准确使用的关键在于：

如何针对各种特定的工程情况选取合适的岩石和岩体参数。

首先要对不同岩石类型选取岩石参数

，然后结合工程现场岩体的情况确定岩体参数

、

和

。

岩石参数

可以通过室内试验获得，而岩体参数

、

和

的确定需要考虑岩体的力学物理性质。

由于岩体是一种变异性很大的介质，其参数具有较大的变异性，因此可将H-B强度准则参数概率化，开展可靠度研究。

由于H-B强度准则的提出是经验性的，目前研究者从微观结构角度尝试为参数的确定建立理论基础，这已成为参数研究的热点和发展趋势。

3.1H-B岩石参数

试验取值

岩石参数

虽然可以通过相关文献很方便地获得，但提供的是范围值，更为精确的取值可以通过室内试验获得。

参数

可以从单轴压缩试验和常规三轴压缩试验、直接拉伸试验、间接拉伸试验和声发射测试等获得。

（1）单轴压缩试验和常规三轴压缩试验

可将式

（1）改写为：

（14）

（2）单轴压缩试验和直接拉伸试验

如果拥有直接拉伸试验条件，可以由单轴压缩试验和直接拉伸试验得到：

（15）

式中：

为岩石直接拉伸强度（以压为正，下同）。

（3）单轴压缩试验和间接拉伸试验

由于直接拉伸试验实施起来比较困难，通常采用间接拉伸试验（如巴西试验）进行代替。

因此，H.Gercek提出如下的表达式来进行：

（16）

式中:

为岩石间接拉伸强度。

3.2通过地质条件确定岩体参数

如何获得工程中岩体参数是制约进一步开展工程评价、分析、设计等的关键因素。

H-B强度准则作为有着多年发展历史的经验准则，是大量试验和工程经验的积淀，可以为作为工程介质的岩体的参数确定提供可靠依据。

E.Hoek和他的研究团队根据多年的工程经验提出很多基于现场岩体质量分级（RMR和GSI）的经验公式（详见式（3）～（7））。

苏永华[8]等提出可考虑岩体块度指数、绝对风化指数的GSI定量确定方法。

胡盛明和胡修文引入的岩体体积节理数

和结构面条件因子

对GSI进行量化。

宋彦辉和巨广宏[9]建立了岩体抗剪强度指标、岩体质量分级BQ与GSI的定量关系。

林达明等进行了采用完整岩芯长度指标RCL和节理条件因子

对GSI量化的研究。

夏开宗[10]等建立了由岩体波速估算地质强度指标GSI和扰动参数D的计算公式。

可以看出，以上研究从不同的角度为GSI取值提供依据，降低了GSI的取值主观性，提高了通过地质条件指标GSI确定岩体参数的精度。

H.Sonmez和R.Ulusay引进考虑开挖方式的扰动系数

，提出确定H-B岩体参数

、

的方法：

（18a）

（18b）

其中:

闫长斌和徐国元引入岩体完整性系数

建立一个修正的H-B岩体参数

确定方法，可以通过测试岩体中超声波速度获得：

（19a）

（19b）

闫长斌等基于声速变化与爆破累积损伤效应之间的联系，以岩体声速降低率来表征扰动参数D，建立可以真实反映岩体爆破累积损伤效应、岩体爆破扰动状态及其力学参数弱化程度的

的取值方法。

F.T.Suorineni等对参数

进行研究，认为参数

不仅与岩体破碎程度和现场岩体质量（RMR和GSI）有关，而且和岩石类型有关，提出一个半经验的基于岩石结构、矿物成分和微观结构的取值方法。

3.3通过等效H-B和M-C参数来确定岩体参数

早在18世纪，Mohr-Coulomb（M-C）强度准则就已经提出，因其是线性的，使用很方便。

而H-B强度准则是非线性的，使用较为复杂。

很多经典的解析表达式和数值软件都是基于M-C强度准则。

因此研究者提出通过等效H-B准则强度参数和M-C准则强度参数确定岩体参数的方法，并进行工程应用。

E.Hoek提出基于H-B准则强度参数的计算瞬时M-C内摩擦角和黏聚力的表达式：

（20）

其中:

式中:

为正应力。

E.Hoek等针对不同的工程研究对象，选取相应的最大围压上限

和抗拉强度

，然后在

范围内基于M-C强度准则的线性表达式，对H-B强度准则进行最佳拟合。

最佳拟合的本质是在指定的范围内，H-B强度准则和M-C强度准则覆盖的面积相等（见图2），表达式为:

（22）

（23）

其中，

最大围压上限与岩体强度存在如下关系：

（24）

式中:

为经验参数；

为岩体的重度；

为工程埋深;

为岩体强度，具体的表达式如下：

（25）

对于深埋隧道和边坡，

，

分别取0.47，－0.94和0.72，－0.91。

A.J.Li等通过极限分析，对边坡

，

的取值进行修正，对陡峭和平缓边坡分别考虑取0.2，－1.07和0.41，－1.23。

4H-B强度准则的各向异性研究

E.Hoek和E.T.Brown指出H-B强度准则的应用范围是岩石和较破碎的多节理面岩体，而对以几条主节理为主导的各向异性岩体则不能直接应用。

但在岩体工程中，各向异性岩体占很大的比例，研究者们尝试对H-B强度准则进行修正，以满足各向异性岩体的需要，对完善H-B强度准则体系起到至关重要的作用。

目前针对各向异性岩体主要有2种思路：

一是单独考虑节理面的强度，二是对H-B参数进行改进，使其直接反映各向异性的影响。

4.1考虑节理面强度

对于各向异性岩体，通过分别确定岩石和节理面的参数，以反映岩体的各向异性，这种思路是基于J.C.Jaeger[11]的单弱面理论。

E.Hoek提出基于单弱面理论的解决方法，采用2组参数分别反映岩石和节理面，通过试运算确定破坏是由岩石或节理面承担，从而确定各向异性岩体的强度。

宋建波[12]假定节理面滑动破坏遵循Coulomb公式的结构面强度理论，基于简化的Hoek方法，引用试验数据验证了其可行性。

N.Halakatevakis和A.I.Sofianos假定节理面满足Barton-Bandis非线性破坏准则，岩石满足H-B强度准则，通过数值方法研究了不同岩石强度和节理率对各向异性岩体强度的影响。

4.2H-B岩石和岩体参数的改进

研究者开展了大量的通过改进H-B岩石和岩体强度准则参数以直接反映各向异性的研究工作，如：

H.Saroglou和G.Tsiambaos采用节理面角度的三角函数对岩石参数

和岩石单轴抗压强度

进行改进；Y.K.Lee和S.Pietruszczak采用节理面角度的幂三角函数对岩石参数

和

进行改进；刘亚群等采用节理面角度的二次多项式来反映岩石单轴抗压强度对各向异性影响。

5基于H-B强度准则的极限分析

极限分析方法在岩体工程已广泛应用，20世纪20年代出现了极限平衡法，40年代相继出现滑移线场法（特征线法），50年代又提出极限分析的上、下限法。

随着数值方法的发展，数值极限分析方法逐渐兴起，70年代提出有限元强度折减法与超载法。

许多研究者将H-B强度准则作为极限破坏准则（条件），结合极限分析方法开展岩体边坡稳定性、地基和桩基承载力、隧洞围岩稳定性、锚杆（锚索）抗拔力等分析。

5.1基于H-B强度准则的极限平衡法分析

（1）岩质边坡稳定性分析

宋建波采用改进的Sarama非垂直条分法，条分的分条界面或滑面采用基于H-B强度准则的抗剪强度公式，求解瞬时黏聚力和瞬时内摩擦角，并应用到雅砻江锦屏水电站的边坡工程。

林杭[13]等建立边坡的三维数值模型，探讨了边坡开挖引起的动、静态位移响应和开挖后不同区域的变形。

（2）岩质地基和桩基承载力分析

A.Serrano基于H-B强度准则，对岩质地基的承载力进行分析，将以H-B强度准则求解瞬时黏聚力和瞬时内摩擦角应用到经典的地基承载力计算分析中。

宋建波等针对岩性地基和桩端岩基，通过假定圆锥破坏模式，基于H-B强度准则推导岩基破坏时抗拉及抗剪强度计算公式，进行极限承载力验算和桩端岩层安全厚度的计算。

戴国亮[14]以H-B强度准则为岩石破坏标准，基于小孔扩张理论，并考虑多种因素产生的法向应力，对嵌岩段桩侧极限摩阻力计算进行修正。

（3）隧洞稳定性分析

C.Carranza-Torres和C.Fairhurst[15]将基于H-B强度准则的收敛限制法应用于隧道设计中。

L.R.Alejano[16]等在此基础上，引入应变软化的条件，提出改进的收敛限制法。

钟正强等[17]采用H-B强度准则描述岩体的强度特征，建立相应隧道开挖的数值计算模型，分析不同侧压系数时层状岩体的变形破坏特征。

申艳军等[18]在H-B强度准则的基础上推导地下洞室开挖扰动引起的围岩弹塑性变形特征方程和塑性圈半径表达式，对地下洞室开挖扰动引起围岩变形的影响展开研究。

M.Fraldi和F.Guarracino[19]基于H-B强度准则，对圆形隧洞开挖中塌落破坏的可能性进行预测，提出比较简单的精确解，继而提出可以考虑任意横断面形状的复杂的解析方法，并通过数学解析方法验证了隧道围岩渐进性破坏中出现的塌落块为一次形成的假定。

（4）锚杆（锚索）抗拔力计算

宋建波等将锚杆锚固段的破坏简化为顶角为直角的圆锥体，采用H-B准则对圆锥破坏面上岩体强度和抗力进行研究，对锚杆容许抗拔力进行估算。

何思明和王成华提出一个描述锚索破裂面形状的双参数方程，根据极限平衡原理及H-B强度准则，研究预应力锚索的极限抗拔承载力。

5.2基于H-B强度准则的滑移线场法分析

滑移线理论作为极限分析中的一个分支，是求解地基极限承载力、挡土墙压力的理论基础，是基于M-C强度准则建立的。

宋建波等基于非线性的H-B强度准则，以瞬时内摩擦角作为反映应力水平的中间变量求解极限荷载，并以岩坡为特定边界条件，系统阐述均质岩基极限承载力的滑移线解。

沈银斌等提出基于H-B强度准则的临界滑动场方法，采用Morgenster-Price法计算固定滑面安全系数，该方法能够方便、快速、准确地确定边坡任意形状的整体和局部临界滑动面的位置和安全系数。

5.3基于H-B强度准则的上、下限法分析

最近10a来，X.L.Yang等[20-23]开展了大量的基于广义H-B岩体强度准则的上、下限法分析研究工作，其核心思路为：

以推导的等效切线方程代替非线性广义H-B岩体强度准则，结合虚功原理，对均质各向同性的岩石介质建立岩石极限分析非线性上限和下限理论，对边坡稳定性、挡土墙土压力、地基承载力和隧洞破坏机制等进行应用。

L.H.Zhao等[24-25]对岩石边坡动力稳定性进行研究，求解拟静力安全系数的上限计算表达式。

Z.Saada等[26]提出了可考虑渗流压力上限法，对饱水岩石边坡的稳定性进行分析。

A.J.Li等[27]基于H-B强度准则，分别结合上、下限法研究了岩体扰动程度对边坡稳定性的影响。

5.4基于H-B强度准则的强度折减法

强度折减法不需要对破坏面进行假定，通过对H-B强度准则中参数进行折减，寻找破坏临界点来确定安全系数。

林杭等采用参数等效化方法，推导出H-B强度准则参数和岩石单轴抗压强度中折减系数的关系，对边坡稳定性进行分析。

杨小礼等采用基于H-B强度准则的强度折减法，对参数

和岩石单轴抗压强度

进行折减，对隧洞围岩进行整体稳定性分析，并与基于等效M-C强度准则的强度折减法的结果进行比较。

宗全兵和徐卫亚[28]采用H-B强度准则参数等效化方法，对岩质边坡的开挖稳定性进行强度折减法分析，揭示开挖施工过程中边坡临界失稳模式的演变和发展过程。

S.Chakraborti等[29]比较了2种不同方式等效M-C参数的折减方法对边坡稳定性分析的结果，推荐采用切线等效的方式进行强度折减研究。

宋琨[30]等给出7种不同的简化折减方案，研究高边坡的稳定性，给出了广义H-B岩体强度准则的最优强度折减方案。

7基于H-B强度准则本构模型和数值应用

随着岩体工程的规模和复杂程度不断增加，如果将H-B强度准则只作为一个力学的判断依据是不能满足研究和工程应用的需求，同样以传统的完备的解析表达式进行分析不能满足精度和工程应用对象变化的要求。

必须要建立将考虑力学行为过程的本构模型，采用有限元法、有限差分法、离散元法和无网格法等进行三维数值分析是工程应用的迫切需要。

针对上述问题，很多研究者开展了相应的研究，建立基于H-B强度准则的本构模型，并应用到数值计算中。

7.1基于H-B强度准则的本构模型

P.Cundall[31]等建立基于H-B强度准则的本构模型，对脆性和延性岩石都适用。

该本构模型根据不同的围压应力程度采用变化的塑性流动法则，从拉应力区、低围压到高围压条件下，分别采用径向、相关联、复合和等体积塑性流动法则，并引入2种不同的应力软化模式，该本构模型是数值软件FLAC中H-B模块的理论基础。

石崇等建立了一个能反映岩石破裂全过程的三维损伤本构模型，并通过试验验证了该模型。

7.2数值软件应用

由于H-B强度准则在主应力空间存在棱线和尖点处的奇异点，导致在这些奇异点处导数不连续，所以建立一个可以进行数值实现的本构模型就必须采取数学或数值处理的方法来解决这一问题。

R.G.Wan[32]采用圆滑函数对H-B强度准则进行圆滑处理，采用隐式积分算法进行数值实现。

J.Clausen和L.Damkilde[33]基于广义H-B岩体强度准则，采用主应力回映算法，根据主应力空间区域的划分，将应力回映到屈服面的棱线或极点上，建立相应的刚度矩阵，结合有限元计算进行弹塑性分析。

陈培帅等进行了类似的研究，基于ABAQUS软件平台和主应力回映算法进行二次开发。

目前岩体工程界广泛接受的通用商业数值软件主要有：

ANSYS，ABAQUS，FLAC，同济曙光等。

其中，只有基于有限差分法的数值软件FLAC将基于广义H-B岩体强度准则的本构模型嵌入，其他软件只能通过H-B强度准则与M-C强度准则参数等效替换，进行间接的应用。

8结论与展望

经过多年持续不断的发展，基于不同的研究目的和应用情况，H-B强度准则的研究正朝着精细化、三维化、理论化和微观化等方向发展，已经从一个经验准则上升到一个理论体系。

（1）随着岩体工程分析与设计的不断精细化，对岩体参数的确定提出更高的要求，如何进一步基于H-B强度准则和工程实际情况获取更加精确的岩体参数是研究者们孜孜以求的方向。

（2）H-B强度准则是过去30a的岩体工程理论研究和工程经验的积累，但未来会遇到更加复杂与特殊的岩体工程，需要对这些工程中的经验进行积累，继续充实H-B强度准则体系。

（3）继续开展参数的微观尺度研究，建立H-B强度准则的多尺度理论基础，为H-B强度准则的岩石和岩体参数的确定提供更加可靠的依据。

（4）在复杂的岩体工程问题面前，传统的数学解析方法显得越来越无力，实验室模拟试验也具有操作困难、经济性差的缺点，采用大型三维的数值软件来解决岩体工程问题是未来发展趋势，这要求构建更能接近工程实际的基于三维H-B强度准则本构模型。

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