湖南省届高三六校联考试题数学文.docx

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湖南省届高三六校联考试题数学文

湖南省2019届高三六校联考试题

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U＝，A＝，B＝，则下列结论正确的是

A．B⊆AB．∁UA＝{1，5}C．A∪B＝D．A∩B＝

2．已知i为虚数单位，z（1＋i）＝3－i，则在复平面上复数z对应的点位于

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是

A.B.C.D.

4．下列判断正确的是

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．“α>45°”是“tanα>1”的充分不必要条件

C．若命题“p∧q”为假命题，则命题p，q都是假命题

D．命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”

5．已知公差d≠0的等差数列满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝

A．30B．20C．10D．5或40

6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，，则输出v的值为

A．7B．10C．11.5D．17

7．已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值为

A．1B．－5C．2D．0

8．函数f（x）＝的部分图象大致是

9．将函数f（x）＝sin2x＋cos2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标长度不变）得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是

A．函数g（x）的最大值为＋1

B．函数g（x）的最小正周期为π

C．函数g（x）的图象关于直线x＝对称

D．函数g（x）在区间上单调递增

10．已知直线y＝kx－1与抛物线x2＝8y相切，则双曲线：

x2－k2y2＝1的离心率等于

A.B.C.D.

11．如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD，

则四面体A′BCD中，下列结论不正确的是

A．EF∥平面A′BC

B．异面直线CD与A′B所成的角为90°

C．异面直线EF与A′C所成的角为60°

D．直线A′C与平面BCD所成的角为30°

12．已知函数f（x）＝lnx－＋a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是

A.B.C.D.

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a与b的夹角为45°，a＝（－1，1），|b|＝1，则|a－2b|＝__________．

14．已知点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，则△AOB外接圆的标准方程是__________．

15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1（n∈N*），设bn＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝__________．

16．已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于__________．

三、解答题：

共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题，共60分。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinAsinBcosB＋sin2BcosA＝2sinCcosB.

（1）求tanB的值；

（2）若b＝2，△ABC的面积为，求a＋c的值．

18．（本小题满分12分）

如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.

（1）求证：

EF⊥AC；

（2）求几何体EFABCD的体积．19.（本小题满分12分）

有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：

摄氏温度

－5

4

7

10

15

23

30

36

热饮杯数

162

128

115

135

89

71

63

37

（1）从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x、y，如果r∈[－1，－0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r∈（－0.75，－0.30]∪[0.30，0.75），那么相关性一般；如果r∈[－0.25，0.25]，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱．

（2）（ⅰ）请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；

（ⅱ）记[x]为不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[－4.9]＝－5.对于（ⅰ）中求出的线性回归方程y＝x＋，将y＝[]x＋[]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气温x与当天热饮每杯的销售利润f（x）的关系是f（x）＝2＋3（x∈[－7，38））（单位：

元），请问当气温x为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？

【参考公式】＝r＝2＝1340，100，362＝1296，372＝1369.

20.（本小题满分12分）

如图，椭圆C：

＋＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：

x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．

（1）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）证明：

直线AM经过线段EF的中点．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2＋x＋1（a>0）．

（1）设F（x）＝，讨论函数F（x）的单调性；

（2）若0

f（x）>g（x）在（0，＋∞）上恒成立．

（二）选考题：

共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．

23．（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

已知函数f（x）＝|x＋1|＋2|x－a|.

（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；

（2）已知a>－1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．

湖南省2019届高三六校联考试题

数学（文科）参考答案

一、选择题

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答　案

B

D

C

D

A

C

A

B

D

B

C

A

1.B　【解析】由题知集合A与集合B互相没有包含关系，且A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁UA＝{1，5}，故选B.

2．D　【解析】由题知z＝＝＝1－2i，位于第四象限，故选D.

3．C　【解析】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的有3种，选中白色的概率为，故选C.

4．D　【解析】由否命题的概念知A错；关于B选项，前者应是后者的既不充分也不必要条件；关于C选项，p与q至少有一个为假命题；D选项正确．

5．A　【解析】由题知（a4－2）2＝a2a6，因为{an}为等差数列，所以（3d－1）2＝（1＋d）（1＋5d），因为d≠0，解得d＝3，从而am－an＝（m－n）d＝30，故选A.

6．C　【解析】将n＝3，x＝代入程序框图，可得最后输出v＝11.5，故选C.

7．A　【解析】由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知在（0，1）处目标函数取到最小值，最小值为1，故选A.

8．B　【解析】由题知，f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函数，排除C和D，将x＝π代入f（x）得f（π）<0，故选B.

9．D　【解析】化简得f（x）＝2sin，所以g（x）＝2sin，由三角函数性质知：

g（x）的最大值为2，最小正周期为2π，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调增区间为，k∈Z，故选D.

10．B　【解析】由得x2－8kx＋8＝0，因为直线与曲线相切，所以Δ＝64k2－32＝0，k2＝，所以双曲线为x2－＝1，离心率等于，故选B.

11．C　【解析】A选项：

因为E，F分别为A′D和BD两边中点，所以EF∥A′B，即EF∥平面A′BC，A正确；B选项：

因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；C选项：

取CD边中点M，连接EM，FM，则EM∥A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，又EF＝1，EM＝，FM＝，即∠FEM＝90°，故C错误，选C.

12．A　【解析】∵f′（x）＝＋＝，x∈[1，e]．

当a≥－1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上单调递增，不合题意．

当a≤－e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上单调递减，也不合题意．

当－e

f′（x）>0，f（x）在（－a，e]上单调递增，又f

（1）＝0，所以f（x）在x∈[1，e]上有两个零点，

只需f（e）＝1－＋a≥0即可，解得≤a<－1.

综上，a的取值范围是.

二、填空题

13.　【解析】由题知，|a－2b|＝＝.

14．（x－1）2＋（y－2）2＝5　【解析】由题知OA⊥OB，故△ABO外接圆的圆心为AB的中点（1，2），

半径为|AB|＝，所以△ABO外接圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5.

15.　【解析】令n＝1，a1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－1，所以an＝2n－1，bn＝1＋log22n－1＝n，Tn＝＋＋…＋＝.

16.　【解析】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，平面SAB⊥平面ABCD，可得R2＝r＋r－，其中r1为△SAB外接圆半径，r2为矩形ABCD外接圆半径，L＝AB.计算得，R2＝＋5－4＝，

所以S＝4πR2＝π.

三、解答题

17．【解析】

（1）原等式化简得sinB（sinAcosB＋cosAsinB）＝2sinCcosB，

∴sinBsin（A＋B）＝2sinCcosB，

∴sinBsinC＝2sinCcosB，3分

∵0

（2）∵tanB＝2，且0

∴sinB＝，cosB＝，∵S＝acsinB＝，∴ac＝3.9分

由余弦定理得：

a＋c＝2.12分

18．【解析】

（1）连接DB，DF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，

∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面，∴AC⊥EB，3分

设DB∩AC＝O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥DB.

DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，

∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF.6分

（2）∵EB∥FD，EB⊥BD，∴EFDB为直角梯形，

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，AO＝CO＝，

∴梯形EFDB的面积S＝＝6，9分

∵AC⊥平面EFDB，

∴VEFABCD＝VC－EFDB＋VA－EFDB＝S×AO＋S×CO＝4.12分

19．【解析】

（1）因为r＝≈2分

<－≈－0.96.

所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强.4分

（2）（ⅰ）因为＝＝＝－2.95，＝100＋2.95×15＝144.25.

所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为y＝－2.95x＋144.25.7分

（ⅱ）由题意可知气温x与当天热饮销售杯数y的关系为y＝－3x＋144.

设气温为x时，则当天销售的热饮利润总额为g（x）＝（－3x＋144）（x∈[－7，38）），

即g（x）＝10分

易知g（－7）＝495，g（8）＝600，g（23）＝525.

故当气温x＝8时，当天的热饮销售利润总额最大，且最大为600元.12分

20．【解析】

（1）由c＝＝1，∴F（1，0），∵直线l与x轴垂直，∴x＝1，

由得或∴A，M，

∴直线AM的方程为y＝－x＋.4分

（2）设直线l的方程为x＝my＋1，5分

由得3（my＋1）2＋4y2＝12，

（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝，8分

∵EF的中点N，点M（4，y2），

∴＝＝，＝，

×y2－y1＝my1y2－（y1＋y2）＝－×＝0.

所以A，N，M三点共线，

所以直线AM经过线段EF的中点.12分

21．【解析】

（1）F（x）＝＝，F′（x）＝＝，1分

①若a＝，F′（x）＝≤0，∴F（x）在R上单调递减.2分

②若a>，则>0，

当x<0，或x>时，F′（x）<0，当00，

∴F（x）在，上单调递减，在上单调递增．

③若0

当x<，或x>0时，F′（x）<0，当0.

∴F（x）在，上单调递减，在上单调递增.6分

（2）证明：

∵0

设h（x）＝ex－x2－x－1，则h′（x）＝ex－x－1.

设p（x）＝h′（x）＝ex－x－1，则p′（x）＝ex－1，在上，p′（x）≥0恒成立．

∴h′（x）在（0，＋∞）上单调递增.9分

又∵h′（0）＝0，∴x∈（0，＋∞）时，h′（x）>0，所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴h（x）>h（0）＝0，∴ex－x2－x－1>0，ex>x2＋x＋1，

所以ex>x2＋x＋1≥ax2＋x＋1，

所以f（x）>g（x）在（0，＋∞）上恒成立.12分

22．【解析】

（1）由消去参数t得x＋y＝4，直线l的普通方程为x＋y－4＝0.2分

由ρ＝4sin＝2sinθ＋2cosθ得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，

即x2＋y2＝2y＋2x，

∴曲线C的直角坐标方程是圆：

（x－）2＋（y－1）2＝4.5分

（2）∵原点O到直线l的距离d＝＝2.7分

直线l过圆C的圆心（，1），∴|MN|＝2r＝4，

所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4.10分

23．【解析】

（1）a＝1时，f（x）＝＋2.1分

当x<－1时，f（x）≤7即为－3x＋1≤7，解得－2≤x<－1.

当－1≤x≤1时，－x＋3≤7，解得－1≤x≤1.

当x＞1时，3x－1≤7，解得1＜x≤.4分

综上，f（x）≤7的解集为.5分

（2）∵a>－1，∴f（x）＝7分

由y＝f（x）的图象知，

f（x）min＝f（a）＝|a＋1|＝3，a＝－4或2，∴a＝2.10分