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1，则（x2?

y2）2

（a）点（0,0）不是f（x,y）的极值点.

（b）点（0,0）是f（x,y）的极大值点.

（c）点（0,0）是f（x,y）的极小值点.

（d）根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f（x,y）的极值点.[]

（4）设向量组i：

1,?

2,?

r可由向量组ii：

s线性表示，则

（a）当r?

s时，向量组ii必线性相关.（b）当r?

s时，向量组ii必线性相关.

（c）当r?

s时，向量组i必线性相关.（d）当r?

s时，向量组i必线性相关.

[]

（5）设有齐次线性方程组ax=0和bx=0,其中a,b均为m?

n矩阵，现有4个命题：

①若ax=0的解均是bx=0的解，则秩（a）?

秩（b）；

②若秩（a）?

秩（b），则ax=0的解均是bx=0的解；

③若ax=0与bx=0同解，则秩（a）=秩（b）；

④若秩（a）=秩（b），则ax=0与bx=0同解.

以上命题中正确的是

（a）①②.（b）①③.

（c）②

④.（d）③④.[]

（6）设随机变量x~t（n）（n?

1）,y?

（a）y~1，则2x?

2（n）.（b）y~?

2（n?

1）.

（c）y~f（n,1）.（d）y~f（1,n）.[]

三、（本题满分10分）

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形d.

（1）求d的面积a;

（2）求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.

四、（本题满分12分）?

2x（?

1）n

将函数f（x）?

arctan展开成x的幂级数，并求级数?

的和.1?

2xn?

02n?

五、（本题满分10分）已知平面区域d?

{（x,y）0?

}，l为d的正向边界.试证：

（1）

（2）siny?

sinx?

sinysinxxedy?

yedx?

xedy?

yedx;

llxelsinydy?

ye?

sinxdx?

六、（本题满分10分）

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0r1）.问

（1）汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

（注：

m表示长度单位米.）

七、（本题满分12分）

设函数y=y（x）在（?

）内具有二阶导数，且y?

0,x?

x（y）是y=y（x）的反函数.

d2xdx3

（1）试将x=x（y）所满足的微分方程?

（y?

sinx）（）?

0变换为y=y（x）满足的微分方程；

2dydy

（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）?

（0）?

八、（本题满分12分）

设函数f（x）连续且恒大于零，3的解.2

f（t）?

（t）f（x2?

y2?

z2）dv

d（t）?

f（x?

y）d?

2，g（t）?

d（t）?

f（x2?

y2）d?

t，?

1f（x）dx2

2222222其中?

（t）?

{（x,y,z）x?

t}，d（t）?

{（x,y）x?

t}.

（1）讨论f（t）在区间（0,?

）内的单调性.

（2）证明当t0时，f（t）?

九、（本题满分10分）2?

g（t）.

322?

010?

1**设矩阵a?

232，p?

101，b?

pap，求b+2e的特征值与特征向量，其中a为?

223?

001?

a的伴随矩阵，e为3阶单位矩阵.

十、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1:

ax?

2by?

3c?

0，

l2:

bx?

2cy?

3a?

l3:

cx?

2ay?

3b?

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?

十一、（本题满分10分）

已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

（1）乙箱中次品件数的数学期望；

（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二、（本题满分8分）

设总体x的概率密度为

2e?

2（x?

）,x?

f（x）?

min（x,x,?

x）.其中?

0是未知参数.从总体x中抽取简单随机样本x1,x2,?

xn，记?

12n

（1）求总体x的分布函数f（x）;

（2）求统计量?

的分布函数f?

（x）；

（3）如果用?

作为?

的估计量，讨论它是否具有无偏性.

2003年考研数学一真题评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

x）=x?

1e.g（x）

【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式limf（x）

可.

1（1?

）=elim（f（x）?

1）g（x）进行计算求极限均

【详解1】lim（cosx）x?

0ln（1?

x）=ex?

x）lim1lncosx,

sinx1?

lncosxlncosx112?

lim?

而lim，故原式=e?

.22x?

0ln（x?

0x?

02x21?

x）xe

12x1?

，22x【详解2】因为lim（cosx?

1）?

01?

lim2ln（1?

x）x?

所以原式=e?

（2）曲面z?

0平行的切平面的方程是2x?

【分析】待求平面的法矢量为n?

{2,4,?

1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标

22可根据曲面z?

y切平面的法矢量与n?

1}平行确定.

22?

【详解】令f（x,y,z）?

y，则

fx?

2x，fy?

2y，fz?

设切点坐标为（x0,y0,z0），则切平面的法矢量为{?

2x0,?

2y0,1}，其与已知平面2x?

0平行，因此有

2x0?

2y01?

，24?

22可解得x0?

1,y0?

2，相应地有z0?

x0?

y0?

故所求的切平面方程为

2（x?

4（y?

2）?

（z?

5）?

0，即2x?

【篇二：

2003年数学二考研试题与答案】

=txt>

（1）若x?

0时，（1?

ax）4?

1与xsinx是等价无穷小，则a=.

（2）设函数y=f（x）由方程xy?

2lnx?

y4所确定，则曲线y=f（x）在点（1,1）处的切线方程是.

（3）y?

2x的麦克劳林公式中xn项的系数是.

（4）设曲线的极坐标方程为?

ea?

（a?

0），则该曲线上相应于?

从0变到2?

的一段弧与极轴所围成的图形的面积为.

11?

1，则?

（5）设?

为3维列向量，?

t是?

的转置.若?

（6）设三阶方阵a,b满足a2b?

e，其中e为三阶单位矩阵，若?

020

0，则b?

（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?

则必有

（c）极限limancn不存在.（d）极限limbncn不存在.[]

（2）设an?

nn?

xdx,则极限limnan等于

（a）（1?

e）?

1.（b）（1?

e）2?

（c）（1?

1.（d）（1?

1.[]

（3）已知y?

xlnx

是微分方程y?

（）的解，则?

（）的表达式为xyy

（a）?

.（b）.

（c）?

.（d）.[]

（4）设函数f（x）在（?

）内连续，其导函数的图形如图所示，则f（x）有（a）一个极小值点和两个极大值点.（b）两个极小值点和一个极大值点.

（d）三个极小值点和一个极大值点.[]

（5）设i1?

tanxx

dx,i2?

xtanx

则

（a）i1?

i2?

1.（b）1?

i1?

i2.

（c）i2?

1.（d）1?

i1.[]（6）设向量组i：

s线性表示，则（a）当r?

s时，向量组ii必线性相关.（c）当r?

s时，向量组i必线性相关.（d）当r?

s时，向量组i必线性相关.[]

三、（本题满分10分）

ln（1?

ax）

0,?

arcsinx

6,x?

0,设函数f（x）?

ax2

ax?

1x?

xsin

问a为何值时，f（x）在x=0处连续；

a为何值时，x=0是f（x）的可去间断点？

四、（本题满分9分）

2t2,2

dy?

2lnte设函数y=y（x）由参数方程?

（t?

1）所确定，求2

dudx?

1u?

五、（本题满分9分）计算不定积分

arctanx

（1?

x）

六、（本题满分12分）

dxdy

（1）试将x=x（y）所满足的微分方程分方程；

sinx）（

）?

0变换为y=y（x）满足的微

七、（本题满分12分）

讨论曲线y?

4lnx?

k与y?

4x?

ln八、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f（x）过点（交点为q，且线段pq被x轴平分.

（1）求曲线y=f（x）的方程；

的解.

x的交点个数.

），其上任一点p（x,y）处的法线与y轴的22

（2）已知曲线y=sinx在[0,?

]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f（x）的弧长s.九、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x?

（y）（y?

0）绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，

液面的面积将以?

m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

（1）根据t时刻液面的面积，写出t与?

（y）之间的关系式；

（2）求曲线x?

（y）的方程.

m表示长度单位米，min表示时间单位分.）十、（本题满分10分）

设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?

（x）?

0.若极限

lim?

f（2x?

a）x?

存在，证明：

（1）在（a,b）内f（x）0;

（2）在（a,b）内存在点?

，使

f（?

）

；

f（x）dx

（3）在（a,b）内存在与

（2）中?

相异的点?

，使f?

（?

）（b2?

a2）?

十一、（本题满分10分）?

若矩阵a?

f（x）dx.

220

a相似于对角阵?

，试确定常数a的值；

并求可逆矩阵p使?

ap?

已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:

0，l2:

0，l3:

一．

（1）.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim

ax）4

xsinx

1，反过

来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.

【详解】当x?

1~?

ax，xsinx~x.

于是，根据题设有lim

ax）xsinx

lim

42x

1，故a=-4.

【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》p.38【例1.62】.

（2）..【分析】先求出在点（1,1）处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式xy?

y4两边直接对x求导，得y?

4yy?

，

将x=1,y=1代入上式，有y?

（1）?

1.故过点（1,1）处的切线方程为y?

（x?

1），即x?

【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》p.55【例2.13】和【例2.14】.

（3）..【分析】本题相当于先求y=f（x）在点x=0处的n阶导数值f

（n）

（0），则麦克劳

林公式中x项的系数是

（0）

【详解】因为y?

2xln2，y?

2x（ln2）2，?

y（x）?

2x（ln2）n，于是有

（0）?

（ln2），故麦克劳林公式中x项的系数是

（ln2）n!

【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4.）.【分析】利用极坐标下的面积计算公式s?

【详解】所求面积为s?

114a

）d?

即可.

2a?

14a

（e

【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.完全类似例题见《数学复习指南》p.200【例7.38】.

（5）..【分析】本题的关键是矩阵?

的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.

1=?

，知?

1，于是

【详解】由?

【篇三：

最新考研数学三（2003-2013年）历年真题+答案详解】

s=txt>

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

xcos,若x?

（1）设f（x）?

其导函数在x=0处连续，则?

的取值范围是x

若x?

（2）已知曲线y?

x3?

3a2x?

b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?

________.（3）设a0，f（x）?

g（x）?

a,若0?

而d表示全平面，则i?

f（x）g（y?

x）dxdy=_______.

0,其他，d

（4）设n维向量?

（a,0,?

0,a）t,a?

0；

e为n阶单位矩阵，矩阵a?

t，b?

t，a

其中a的逆矩阵为b，则a=______.

（5）设随机变量x和y的相关系数为0.9,若z?

0.4，则y与z的相关系数为________.

（6）设总体x服从参数为2的指数分布，x1,x2,?

xn为来自总体x的简单随机样本，则当n?

时，yn?

xi2依概率收敛于______.

ni?

（1）设f（x）为不恒等于零的奇函数，且f?

（0）存在，则函数g（x）?

f（x）

（a）在x=0处左极限不存在.（b）有跳跃间断点x=0.

（c）在x=0处右极限不存在.（d）有可去间断点x=0.[]

（2）设可微函数f（x,y）在点（x0,y0）取得极小值，则下列结论正确的是

（a）f（x0,y）在y?

y0处的导数等于零.（b）f（x0,y）在y?

y0处的导数大于零.（c）f（x0,y）在y?

y0处的导数小于零.（d）f（x0,y）在y?

y0处的导数不存在.[]

（3）设pn?

an?

，qn?

，n?

1,2,?

，则下列命题正确的是

（a）若

条件收敛，则

与

都收敛.

（b）若

绝对收敛，则

（c）若

敛散性都不定.

（d）若

敛散性都不定.[]

abb?

（4）设三阶矩阵a?

bab，若a的伴随矩阵的秩为1，则必有?

bba?

（a）a=b或a+2b=0.（b）a=b或a+2b?

（c）a?

b且a+2b=0.（d）a?

b且a+2b?

0.[]（5）设?

s均为n维向量，下列结论不正确的是

（a）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?

ks，都有k1?

k2?

ks?

0，则?

线性无关.

（b）若?

s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?

ks，都有

k1?

s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

（d）?

s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[]

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

a1={掷第一次出现正面}，a2={掷第二次出现正面}，a3={正、反面各出现一次}，a4={正面出现两次}，则事件

（a）a1,a2,a3相互独立.（b）a2,a3,a4相互独立.

（c）a1,a2,a3两两独立.（d）a2,a3,a4两两独立.[]

三、（本题满分8分）设

f（x）?

1111?

[,1）.?

xsin?

（1?

x）2

试补充定义f

（1）使得f（x）在[,1]上连续.

四、（本题满分8分）

2f?

2f12

设f（u,v）具有二阶连续偏导数，且满足，又?

1g（x,y）?

f[xy,（x?

y2）],求22

2g?

五、（本题满分8分）计算二重积分i?

（xe?

sin（x2?

y2）dxdy.

其中积分区域d={（x,y）x2?

六、（本题满分9分）

x2n

求幂级数1?

1）（x?

1）的和函数f（x）及其极值.

2nn?

七、（本题满分9分）

设f（x）=f（x）g（x）,其中函数f（x）,g（x）在（?

）内满足以下条件：

g（x），g?

f（x），且f（0）=0,f（x）?

2ex.

（1）求f（x）所满足的一阶微分方程；

（

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