四川大学 骆帧博弈论与经济分析完全信息动态.docx
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四川大学骆帧博弈论与经济分析完全信息动态
博弈论与经济分析（完全信息动态）
骆桢四川大学经济学院
第二章完全信息动态
第一节动态博弈要件及其表述形式
要件:
1、完全信息静态：
参与人、策略、得益
2、动态：
参与人、阶段、行动、策略（每个阶段的全部计划）、得益
扩展型（extensiveform）：
借钱博弈（附加介绍“节点”与“阶段”的区别）
分
不分
借，打
2,2
-1,0
借，不打
2,2
0,4
不借，打
1,0
1,0
不借，不打
1,0
1,0
囚徒困境？
第二节置信问题及逆向归纳法（子博弈与子博弈完美纳什均衡）
按划线法，“借钱博弈”的纳什均衡有：
（借，告；分）（不借，告；不分）（不借，不告；不分）。
但是……威胁不可置信（借，告；分）不具有稳定性。
逆向归纳排除不可置信的“承诺”或者是“威胁”，直观上意味着，参与者作为理性人应该考虑对手在后续阶段的选择。
理性要求：
双方理性必须是公共知识，回忆“反复删去严格劣策略”
如果1在第一阶段不选B，而选了A，他还是不是理性的呢？
仍然有可能，但这个时候，理性不可能是“公共知识”，可能的情况包括：
“1是理性的”是公共知识，但是1认为2是不理性的，于是他选择……期待……；或者“2是理性的”是公共知识，1是理性的，但是1认为2不知道自己是理性的，于是选A，希望2上当。
（和后面顺序归纳法对比，为什么这里不存在顺序归纳法的解）
子博弈与子博弈完美纳什均衡（SPNE）：
一个不正式的说明：
子博弈：
由一个动态博弈第一个阶段以外的某个阶段开始的后续博弈构成的，有初始信息集和进行博弈所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈的一部分。
SPNE：
如果一个策略组合在整个动态博弈和所有子博弈中都构成NE，那么这个策略组合称为该动态博弈的SPNE。
（注意，构成SPNE的策略中，很多节点的行为不在“均衡路径”上，简单介绍“均衡路径”）
SPNE是对动态博弈中多个NE进行精炼。
例子：
1、两阶段动态完全且完美信息动态博弈
该类模型的一般性描述：
（i）参与人1从可行集A1中选择行动a1（为什么不是s1了？
注意“策略”在动态博弈中含义的变化）
（ii）参与人2观察到a1之后从可行集A2中选择行动a2
（iii）两人的收益分别为u1（a1，a2）和u2（a1，a2）
完全且完美信息动态博弈的特点：
行动是顺序发生的；下一步选择之前，所有以前的行动都是可以被观察到的；每一可能的行动组合下参与者的收益都是共同知识。
求解方法：
逆向归纳
当参与人2行动时，能看见参与人1的选择，于是
假定A1中的每一个a1，参与人2的最优化问题只有唯一解，用其反应函数表示R2（a1）。
因为参与人1能像参与人2一样解出这个问题，因此他能预测到2的反应，于是
假定这个规划也有唯一的解
，我们称
是这一博弈的逆向归纳解。
（后面我们将严格定义子博弈完美纳什均衡，只有不含不可置信威胁的NE才是SPNE）
例1：
斯塔克伯格模型
古诺模型中，一个企业作为领导者先行选择（伯川德模型的先后选择作为习题）：
企业1选择产量q1，企业2观察到产量q1，选择产量q2，企业i的利润由以下函数给出：
其中
，且
（先行者优势；如果存在先后顺序，但是企业2观察不到q1，退化为古诺模型，为什么？
）
按照逆向归纳的思路，先考虑企业2在看到企业1的任意产量之后的最优反应：
由一阶条件（二阶条件略）可得：
厂商1预计到厂商2会做这样的反应，于是，在第一阶段厂商1最优化的问题则变成：
由一阶条件（二阶条件略）可得：
代入可得
代入求得
，这是先行者优势的体现。
例2：
有工会企业的工资和就业
例3：
讨价还价模型
1、三回合
2、无限回合（一个非正式的讨论）
结论和三回合对比，1不再具有强制性“优势”
为什么一定要用三阶段？
（或者说奇数阶段，偶数，比如2或者4不行吗？
）
例4：
委托代理模型
（i）无不确定性
委托人选择提供一份怎样的合同{W（E）,W（S）}；代理人选择接不接受这份合同，然后选择“努力”E还是“偷懒”S。
因为没有不确定性，所以产出是代理人努力的函数R（E）或者R（S）.
完全且完美信息，进行逆向归纳：
若W（E）-E>W（S）-S，则代理人会选择努力，这个条件称为“激励相容约束”
而上一阶段代理人是否会接受呢？
若W（E）-E>0则代理人会接受，这个条件称为“参与相容约束”
当然，需要R（E）-W（E）>R（0）委托然才选择委托。
（ii）有不确定性但可监督
努力与否可以看得到并可证实，则通常工资取决于代理人的努力而不是工作成果。
这样一来，若产出除了代理人的努力之外还存在着不确定性，那么风险就由委托人全部承担。
即风险仅影响委托人的行为，不影响代理人的行为。
假设R（0）=0，并引入“自然”参与者0来表示风险。
假设有10和20两种可能的产出。
因为风险不影响代理人的行为，则
若W（E）-E>W（S）-S，则代理人会选择努力“激励相容约束”
若W（E）-E>0则代理人会接受“参与相容约束”
因为存在风险，委托人要参与则其期望得益必须大于0.
（iii）有不确定性且不可监督
无法依照代理人的努力与否发工资，只能参照工作成果发工资。
但是工作成果不仅仅取决于代理人的努力，还存在一定的风险。
此时，激励相容约束变为：
0.9[W（20）-E]+0.1[W（10）-E]>0.1[W（20）-S]+0.9[W（10）-S]
而参与相容约束则变成：
0.9[W（20）-E]+0.1[W（10）-E]>0
而对于委托人而言，必须满足以下不等式，他才会选择参与：
0.9[20-W（20）]+0.1[10-W（10）]>0
（iv）一个连续型选择的例子：
假设代理人有正的机会成本
而且努力的负效用是努力水平的单调递增的凸函数C=C（e）。
代理人选择的努力水平e是连续的，产出是e的随机函数R=R（e），由于具有不确定性且不能监督，则只能依据R支付报酬，w=w（R）=w（R（e））。
于是，代理人得益为w-C=w[R（e）]-C（e）
委托人得益为R-w=R（e）-w[R（e）]
根据逆向归纳的思路：
参与相容约束为：
w[R（e）]-C（e）
激励相容约束：
委托人最满意的努力水平e*符合代理人的利益最大化，即
w[R（e*）]-C（e*）>=w[R（e）]-C（e）任意e
委托人在以上两个约束下选择工资方案最大化自己的收益。
比如：
R（e）=4e+η，η是均值为0的随机扰动项。
=1
C（e）=e2
w[R（e）]=A+B[R（e）]并且委托人、代理人风险中性
则，委托人的收益为R（e）-w[R（e）]=4e+η-A-B[4e+η]期望得益为4（1-B）e-A
代理人的收益为w[R（e）]-C（e）=A+B[4e+η]-e2期望得益为A+B4e-e2
问题是：
委托人如何确定A和B来最大化自己的收益。
参与相容约束为：
A+B4e-e2>=1
激励相容约束为：
e*=2B
首先，委托人要尽量压低工资，但是最低必须满足参与相容约束，于是不等式取等号
有：
A+B4e-e2=1即A+B4e=1+e2
将其带入委托人收益函数中，为4e-e2-1最大化一介条件可确定委托人满意的努力程度为e*=2，从而B=1，带入可求A=-3
承包制
第三节有同时选择的动态博弈（完全但不完美信息）
该类模型的一般描述：
1、参与者1、2同时从各自的可行集A1和A2中选择行动a1、a2.
2、参与者3、4观察到第一阶段的结果，从各自的可行集A3和A4中选择行动a3、a4
3、收益为ui（a1，a2，a3，a4）i=1,2,3,4
求解：
逆向归纳法的思路
为简化分析，我们假设对于第一阶段博弈的每一个可能的结果（a1,a2），第二阶段有唯一的NE，a3*（a1,a2）以及a4*（a1，a2）。
当然，参与人1、2会预测到这一点，以选定最优策略a1*，a2*
于是，以上博弈的子博弈完美纳什均衡为（a1*，a2*，a3*（a1*，a2*），a4*（a1*，a2*））
例子：
例1：
银行挤兑模型
不存在贴现
提款
不提
提款
r，r
D，2r-D
不提
2r-D,D
下一阶段
R>D>r>D/2
提款
不提
提款
R，R
2R-D，D
不提
D,2R-D
R，R
逆向归纳的思路：
提款
不提
提款
r，r
D，2r-D
不提
2r-D,D
R，R
例2：
关税和国际市场的不完全竞争
博弈的顺序：
（1）政府同时选择关税税率t1和t2
（2）企业观察到关税税率后同时选择其提供国内消费和出口的产量（h1，e1）和（h2，e2）
（3）企业i的收益为利润，政府i的收益为本国总福利，包括本国消费者剩余、本国企业利润、以及政府从他国企业j所收取的关税。
若i国市场上总供给为Qi，则市场价格为pi（Qi）=a-Qi；i国企业为国内市场生产hi并出口ei，于是Qi=hi+ej；企业的边际成本为常数c，于是总成本为Ci=c（hi+ei）；若政府j的关税税率为tj，则i国企业向j国出口ei，则必须支付ei*tj的关税。
（最终的SPNE为什么是低效率的？
）
例3：
工作竞赛（锦标赛制度）
为同一个老板工作的两个工人，工人i（i=1,2）的产出为yi=ei+εi，其中ei为努力程度，εi为随机扰动项。
博弈顺序如下：
（1）工人同时选择非负的努力水平ei>=0
（2）随机扰动项εi相互独立并服从均值为0，密度函数为f（ε）的概率分布
（3）工人的努力程度不可观测，但是产出是可观测的
老板为了激励员工，在他们中间开展工作竞赛，优胜者获得工资wH失败者获得工资wL。
工人的效用为u（w,e）=w-g（e），其中g（e）表示努力带来的负效用，g’>0,g”>0
老板收益为y1+y2-wH-wL
第四节子博弈和SPNE的理论探讨
定义：
一个博弈的扩展型表述包括：
（1）参与者（2a）每一参与者在何时行动（2b）每次轮到某一参与者行动时，可供其选择的行动（2c）每次轮到某一参与者行动时，他所了解的信息（3）参与者可能选择的每一行动组合对应的参与者的收益。
定义：
参与者的策略是关于行动的一个完整的计划，即每一种可能情况下的可行的选择。
参与人有4个策略：
2
1
L’，L’
L’,R’
R’,L’
R’,R’
L
3,1
3,1
1,2
1,2
R
2,1
0,0
2,1
0,0
定义：
参与者的一个信息集指满足以下条件的节点的集合：
（1）在此信息集中的每一个节点都轮到该参与者行动
（2）当博弈论进行到信息集中的某一个节点，应该行动的参与者并不知道到达了哪个节点。
定义：
扩展型博弈的子博弈：
（1）始于单节信息集的决策节
（2）包含博弈树中该节点一下的所有决策节和终节点
（3）没有对任何信息集形成分割。
定义：
SPNE：
如果参与者的策略在每一个子博弈中都构成纳什均衡，则称纳什均衡是子博弈完美的。
定理：
任何有限的完全信息动态博弈都存在子博弈完美纳什均衡（也许是混合策略的）。
证明思路：
本身及其每个子博弈都可表示成扩展型。
区分均衡和解：
定义：
两阶段完全且完美信息动态博弈中，逆向归纳解为（a1*,R2（a1*）），但其子博弈完美纳什均衡为（a1*,R2（a1））
定义：
前面完全非完美信息两阶段博弈中，子博弈完美解为（a1*,a2*,a3*（a1*,a2*）,a4*（a1*,a2*）），但其子博弈完美纳什均衡为（a1*,a2*,a3*（a1,a2）,a4*（a1,a2））
求NE，逆推解以及SPNE
扩展：
颤抖手均衡
顺推归纳法
蜈蚣博弈
第三章重复博弈
对某一博弈重复进行（不一定要静态的）：
比如天天买菜，或者长期合作，所谓“老主顾”。
两阶段重复博弈：
参与者2
参
与
者
1
L2
R2
L1
1,1
5,0
R1
0,5
4,4
逆向归纳法，将第二阶段唯一NE的得益“简单”加到第一阶段去，得第一阶段的博弈为:
参与者2
参
与
者
1
L2
R2
L1
2,2
6,1
R1
1,6
5,5
（L1，L2）是该重复博弈的唯一的NE，合作解（R1，R2）是无法实现的。
定义：
对给定阶段博弈G（解释一下什么是阶段博弈），令G（T）表示G重复T次的有限重复博弈，并且在下一次博弈开始前，所有以前进行的博弈都能被观测到。
G（T）的收益为T次阶段博弈收益的简单相加。
定理：
如果阶段博弈G有唯一的NE，则对任意有限的T，重复博弈G（T）有唯一的子博弈完美纳什均衡：
即G的NE在每阶段重复进行。
这里阶段博弈G为完全信息动态时，结论依然成立。
若G是完全且完美信息动态博弈且只有唯一的逆向归纳解，则G（T）有唯一的子博弈完美纳什均衡，即每阶段其逆向归纳解重复进行。
类似的，若G是上章中的完全不完美信息动态博弈，且有唯一的子博弈完美纳什均衡，则G（T）也有唯一的子博弈完美纳什均衡：
G的子博弈完美纳什均衡重复进行T次。
上述模型变形：
（和前面很像，注意区别在于不是唯一的纳什均衡）G为
L2
M2
R2
L1
1,1
5,0
0，0
M1
0,5
4,4
0,0
R1
0,0
0,0
3,3
触发策略：
对参与人i，若第一阶段策略组合为（M1，M2）则第二阶段选择（R1,R2）；否则，在第二阶段选择（L1,L2）
我们逆推回第一阶段，总得益为两次博弈得益的简单相加：
L2
M2
R2
L1
2,2
6,1
1,1
M1
1,6
7,7
1,1
R1
1,1
1,1
4,4
这说明，这样的“触发策略”是NE，同时，第二阶段选（R1,R2）是NE，于是该触发策略是该两阶段重复博弈的“子博弈完美纳什均衡”。
当然，这个博弈不止一个SPNE。
该例主要说明：
对将来行动所作的可信的威胁或承诺可以影响到当前的行为。
于是，“合作”即使不是NE，也可能出现在SPNE中。
但是这里也说明子博弈完美对于“可置信”的要求并不严格。
因为如果第一阶段没有出现合作，那么第二阶段（R1,R2）仍是可选择的纳什均衡，似乎一切都过去了，再选择（L1,L2）有点愚蠢。
参与双方出现重新谈判似乎是很自然的事情，从而两阶段之间出现了“交流”，若“重新谈判”允许，则应该考虑在分析中，若不允许，也可能出现在参与人对局势的分析中。
L2
M2
R2
P2
Q2
L1
1,1
5,0
0,0
0,0
0,0
M1
0,5
4,4
0,0
0,0
0,0
R1
0,0
0,0
3,3
0,0
0,0
P1
0,0
0,0
0,0
4,1/2
0,0
Q1
0,0
0,0
0,0
0,0
1/2,4
不仅惩罚，还奖励了惩罚者。
无限重复博弈
在无限重复博弈中有一个更强的结论：
即使阶段博弈只有唯一的NE，无限重复博弈中也可以存在子博弈完美纳什均衡，其中没一个阶段的结果是G的NE。
参
与
者
1
参与者2
L2
R2
L1
1,1
5,0
R1
0,5
4,4
定义给定贴现因子δ（δ=1/（1+r），r为利率），无限收益序列π1，π2，π3……的现值为
借助贴现因子，我们可以把无限重复博弈解释称为一个随机结束的有限重复博弈。
（毕竟无限重复并不现实，可以想一想为什么需要随机结束？
）假设博弈每一阶段结束的概率为p，继续博弈的概率为1-p，假设每阶段的收益为π，则博弈进行前，期望收益为（1-p）π/（1+r），贴现率δ=（1-p）/（1+r）
回到博弈：
参与者i的触发策略：
在第一阶段选择Ri，且在第t阶段，如果所有前面t-1阶段的结果都是（R1，R2），则选择Ri，否则选择Li。
首先要证明如果δ足够接近1，该策略是无限重复博弈的纳什均衡，再证明这一纳什均衡是子博弈完美的。
为了证明上述触发策略对博弈双方而言都是纳什均衡，我们假设参与者i已经采取触发策略，可以证明在δ足够接近1的条件下，参与者j的最优反应也选择同样的策略。
如果选择“不合作”，现值为
如果选择“合作”，现值为
当且仅当
时，“合作”才是最优的。
于是当δ>=1/4时，采取触发策略是纳什均衡。
接下来证明这一纳什均衡是子博弈完美的，这需要重新界定一下相关概念。
定义给定一个阶段博弈G，令G（∞,δ）表示相应的无限重复博弈。
对于每个t，之前的t-1次阶段的博弈结果在t阶段开始之前都可被观测到，每个参与者在G（∞,δ）中的收益为无限次博弈中每一阶段得益的现值。
定义在重复博弈G（T）或无限重复博弈G（∞,δ）中，参与者的一个策略指在每一个阶段，针对其前面所有可能的结果，参与者会选择的行动。
定义在有限重复博弈G（T）中，由第t+1阶段开始的一个子博弈为G进行T-t次的重复博弈，可表示为G（T-t）。
在无限重复博弈G（∞,δ）中，由第t+1阶段开始的每个子博弈都等同于初始博弈G（∞,δ）。
博弈G（∞,δ）到t阶段为止有多少不同的可能进行过程，就有多少从t阶段开始的子博弈。
那么，G（∞,δ）中的子博弈分为2类：
一是之前的结果都是（R1,R2）……；二是至少有一个结果不是（R1,R2）……从而可以证明……
无名氏定理（Freedman，1971）令G为一个有限的完全信息静态博弈，令（e1,…,en）表示G的一个NE下的收益，且（x1,…,xn）表示G的任意可行收益。
如果对每个参与者i有xi>ei，且如果δ足够接近1，则无限重复博弈G（∞,δ）存在一个子博弈完美纳什均衡其平均收益可以达到（x1,…,xn）。
解释什么是可行收益，什么是平均收益
例子：
1、双寡头古诺模型中的共谋
市场总供给为：
Q=q1+q2，市场价格为P（Q）=a-Q，假定Q无限次重复，贴现率为δ。
合作的触发策略及其条件：
触发策略：
在第一阶段生产垄断产量的一半
；在第t阶段，若前面t-1阶段两个企业产量都为
，则继续生产
；否则，生产古诺均衡时的产量。
根据前面的计算，我们可知：
当双方都生产
的时候，各获得利润
。
当双方都生产古诺产量
时，各获得利润
。
若一方生产
，另一方偏离约定，最大化当期利润的产量为
，所能获得的利润为
。
要使得上述触发策略成为纳什均衡，必须满足以下条件：
带入
、
、
计算可得
。
若δ<9/17……
δ较小，如何实现合作？
（胡萝卜加大棒）
2、效率工资
阶段博弈：
1、企业开出工资水平w。
2、工人接受或者拒绝。
若拒绝了w就成为自我雇佣，获得w0,。
3、若接受，工人选择努力或者是偷懒。
4、企业无法观测工人是否努力，但是能观测产出。
5、努力一定获得高产出y>0，偷懒以p的概率获得高产出，1-p的概率获得低产出0.
收益：
企业y-w，工人w-e，若工人偷懒，e=0，若出现低产量y=0.
假定：
y-e>w0>py
阶段博弈的纳什均衡
触发策略及其条件
3、货币政策的时间一致性问题
阶段博弈：
1、雇主选择一个通胀的预期πe
2、货币当局观测到这一预期，并选择真实通胀率π。
收益：
雇主：
-（π-πe）2
货币当局：
U（π,y）=-cπ2-（y-y*）2
对收益函数作说明：
y=by*+d（π-πe）
阶段博弈的SPNE：
触发策略：
升级会员 