若F>Fa（n2-k,n1-k）,拒绝H。
（递增型异方差）
注意：
1当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。
2此法只适用于递增型异方差。
A£L■C*—
ndA-屮
亡'
**A*fti
（3）Breusch—Pagan/GodfreyLM检验
当a0时，模型是同方差的。
+v
该方法的基本思想是构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函数，得到回归平方和ESS从而判断异方差性存在的显著性。
该检验假设异方差的形式为:
CTj2=cr2f（口0+aZi）其中Zi是解释变量构成的向量,
具体设模型为：
++ui
var（Ui）"i2皿0乙1+口2乙2+…乜pZip
乙,Z2,……zp表示是某个解释变量或全部。
同样，该检验也可以通过一个简单的回归来实现。
提出原假设为％：
%=（/2=…二叭=0,
具体步骤如下：
①构造变量（ee/n）:
用°°'方法估计方程中的未知参数，得
e=Y-I?
—附天i2——（？
Xik
2
e
孑"o+口北1FZ\2+…+apZip+Vi
LM=2[gZ（ZZ）-1Zg]
Bassett对该统计量进行了修正，令
1n2
V=-送|6\2-（ee/n）lu=e'e/n）nyL」
（4）White检验
White检验由H.White1980年提出。
和Goldfeld-Quandt检验相比，White
检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造72统计量进行异方差检验。
White检验的提出避免了
Breusch-Pagan检验一定要已知随机误差的方差产生的原因且要求随机误差服从
正态分布。
White检验与Breusch-Pagan检验很相似，但它不需要关于异方差的任何先验知识，只要求在大样本的情况下。
White的检验的思想直接来源于其异方差一致估计。
当存在异方差时，传
统的方差估计式Var（b|X）=cr2（XX）」不再是估计量方差的一致估计，而应该使
用White一致性估计：
（XX）-1（无leX'x"（XX）-1。
通过检验b2（XX）'是不是参
数估计方差的一致估计，可以检验是否存在异方差。
在实际的应用过程中，可以
通过回归的步骤来简单的实现上述思想。
以二元回归模型yi=P0+打xi1+p2xi2+ui为例，White检验的具体步骤如下:
1首先对上式进行OLS回归，求残差平方e2。
2做如下辅助回归式，
222
e=叱+口1xii+02为2+七xi12+04为22+叱xi1xi2+vi
即用残差平方e2对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉乘积项进
行OLS回归。
注意，上式中要保留常数项。
求辅助回归式的可决系数R2。
3White检验的原假设和备择假设是
Ho：
Uj不存在异方差，Hi：
Uj存在异方差
④利用回归②得到的R2，计算统计量nR2。
在同方差假设条件下，统计量
nR2〜工2（5）
其中n表示样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。
自由度5表示
计量nR2渐进服从自由度为k-1的卡方分布，其中k是辅助回归中参数的个数（包括常数项）。
5判别规则是
若nR2<00（5）,接受H。
（Uj具有同方差）
若nR2>/2a（5）,拒绝Ho（ui具有异方差）
（5）ARCH检验
自回归条件异方差（ARCH）检验主要用于检验时间序列中存在的异方差。
ARCH检验的思想是，在时间序列数据中，可认为存在的异方差性为ARCH过
程，并通过检验这一过程是否成立来判断时间序列是否存在异方差。
ARCH过程可以表述为:
其中P是ARCH过程的阶数，并且a0>0，ai",（i=1,2」Hp）；Vt为随机误差。
ARCH检验的基本步骤如下:
1提出假设:
Ho：
8=口2=P=0；Hi:
aj（j=12川P）中至少一个不为零。
2对原模型做OLS估计，求出残差e，并计算残差平方序列e2（t=i2川T），分别作为对b：
的估计。
3作辅助回归
e2=况+11汁＜?
p©2"
如果（T-P）R2A/r（P），则拒绝
并计算上式的可决系数R2，可以证明，在原假设成立的情况下，基于大样本,有（T-P）R2近似服从自由度为P的卡方分布。
原假设，表明原模型的误差项存在异方差。
（6）
Park检验法
然后通过检验这个函数形式是否显著，来判定是否具有异方差性及其异方差性的函数结构。
（7）Glejser检验法
这种方法类似于Park检验。
首先从OLS回归取得残差e之后，用e的绝对值对被认为与方差密切相关的X变量作回归。
3、异方差的解决办法（详细见板书）
对异方差的传统解决办法是通过加权最小二乘WLS将残差向同方差转换。
一般认为，异方差的产生是由于残差项中包含了解释变量的相关信息，也就是说,可以将残差项e表达成解释变量x的函数:
e=g（x）
其中x是vck的向量，g（U）可以是关于x的线性函数，也可以是非线性的。
如果知道g（x）的函数形式，那么可以通过加权最小二乘的方法对模型进行修正，在
不存在自相关的假定下，在回归方程y=f（x）+£两边同乘以兀——可以对残
/Jg（x）
差进行修正，从而消除残差的异方差性使得OLS估计量仍然具有有效性。
但是,
我们往往假设gU是关于x的线性函数，但实际上真实的函数形式很可能是非线性的），从而相应的WLS的权重设定也就往往是不正确的了；其次，即使知道g（x）
的真实函数形式，通过加权得出的参数估计也已经不是原来的关注参数了；最后,在强外生性条件E（g|x）=0不满足的条件下，WLS估计量也往往是不一致的。
因此，从现代的观点来看，从模型设定的角度对异方差进行修正才是可行的方法。
4、引起自相关的原因及其对参数估计的影响
引起自相关的原因主要可以归纳为三点:
1经济数据的固有的惯性（inertia）带来的相关，比如经济系统自身的惯性，经
济活动的滞后效应。
这主要出现在时间序列数据当中，经济变量在时间上的惯性往往是造成自相关的主要原因。
滞后效应指的是某一经济变量对另一经济变量的影响不仅影响于当期，而是延续若干期，由此带来变量的自相关。
2模型的设定误差，主要仍然是遗漏变量的影响，将遗漏的变量归入了残差项,由于遗漏的变量在不同时间点上是相关的，这就造成了残差项的自相关。
3对数据的处理造成了数据的内在联系，从而引起自相关现象。
自相关对参数估计的影响仍然是影响参数估计的有效性，自相关的存在使得
OLS得到的参数估计不再具有最小方差性质。
一般而言，在存在自相关的情况
下，如果仍然用满足古典假定的OLS去估计参数及其方差，会低估真实的b2
更会低估参数估计的方差，从而是t统计量被高估，致使原来不显著的解释变量变得显著，夸大的参数的显著水平。
5、自相关的检验
（1）图示检验
图示检验是一种直观的检验自相关的方法。
与上述检验异方差的方法略有不同的是，该方法是通过做残差的当期值与其滞后期的值的散点图来判断是否存在自相关。
具体做法是，以OLS回归的残差当期值为纵坐标，以其滞后值为横坐
标（可以是滞后一期，也可以是滞后一期以上）画散点图。
如果该图形有明显的趋势，则可以认为残差存在自相关。
ut,et
ut.et
（2）相关系数检验法
相关系数的方法是检验自相关的一个简单方法。
其基本思想就是通过计算
OLS回归得到的残差之间的一阶自相关系数，来确认是否存在自相关的现象。
具体表示如下:
©=yt—xtb
做辅助回归
显然，r是对相关系数的一个估计。
但是这个方法的问题是：
没有一个确定的标准来判断究竟多大的相关悉数才能认为存在自相关。
（3）Breusch—GodfreyLM检验
Breusch-GodfreyLM检验的原假设是不存在自相关，备择假设是存在自相
关比：
St=AR（p）。
基本步骤如下:
①提出假设:
H。
：
P1=P2=川Pp=0;H1:
Pj（j=12川p）中至少一个不为零。
其中P是阶数。
2对原模型做OLS估计，求出残差e（t=l2H|T）。
3作辅助回归
et=p0+Pie」+IH+Ppeu+vt
并得到上面回归的可决系数R2，可以证明，在原假设成立的情况下，基于大样
本，有（T-p）R2近似服从自由度为P的卡方分布。
拒绝原假设，则表明原模型
的误差项存在自相关。
（4）Pierce—Box检验和Ljung-Box检验
Q统计量最早由Box和Pierce于1970年提出，其计算表达式为:
P
Q=TSrj2
有更加优良的小样本性质，Ljung和Box于1979年对其进行了改进。
改进后的统计量其表达形式为:
Pr2
Q=TCr+2）2j
（5）Durbin—Watson检验
DW统计量是用OLS回归的残差来构造检验自相关的统计量的。
可以表述
如下:
T
2
Z（e—qj22
at=2o/d八Uy
d=TJ1T）-——
p2p2
ZetZer
t」14
其中，r是一阶自相关系数。
当样本量很大的时候，上式中的第二项可以忽略,此时统计量变成d；^2（1-r）。
DW检验有两个临界值du和dL（duAdL），当统计量的值落在两个临界值中间时，接受原假设，认为不存在自相关。
当统计量的值临界值大于du或者小于dL时，均认为存在自相关。
使用DW统计量对自相关进行检验需要注意该统计量的使用条件。
一是该统计量只能检验一阶自相关，不能检验高阶的自相关；二是该检验要求回归式中不能包含有解释变量的滞后值，否则计算得到的统计量总是倾向于得出没有自相关的结论。
（6）DurbinH检验
DurbinH检验克服了DW检验要求回归式中不含有被解释变量的滞后项的
缺点，其构造的统计量可以表示如下:
h=rjT/（1—TS2）
其中s2是OLS回归中回归系数的方差。
h的值越大，越倾向于拒绝原假设，即认为存在自相关。
当s；〉%时，该统计量无法计算，此时可以使用辅助回归的做法进行检验。
具体步骤如下:
①e对XtyJIGj进行回归，解释变量可以包括e更多的滞后期值。
②利用F检验检验该回归方程的显著性。
3若F统计量显著，则认为存在自相关。
四、思考题
1、由最小二乘回归得到如下回归结果:
yt=1.3+0.97yt4+2.31Xt,DW=1.21
（0.3）（0.18）（1.04）
检验残差序列是否存在自相关。
2、阐述异方差检验的White检验和Goldfeld—Quandt检验的思想和具体操作。
小结:
Goldfeld-Quandt方法检验异方差性的基本思路。
若已知：
前一段回归得到RSS，后一段回归得到的RS5，F=RSSn2~k）。
它服从自
RSS/（ni-k）
由度为（门2-k，m-k）的F分布，若大于临界值，拒绝原假设，认为模型存在异方差。
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