九年级中考数学考点专题训练专题三十一一元二次方程含答案.docx
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九年级中考数学考点专题训练专题三十一一元二次方程含答案
备战2022最新中考数学考点专题训练——专题三十一：
一元二次方程
1．如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的
？
2．利用一面墙（墙长30m），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2场地，求矩形的长和宽．
3．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为2000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到6000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．
4．某商店准备进一批季节性小家电，单价为每个40元，经市场预测，销售定价为每个52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2000元．
（1）该商店应考虑涨价还是降价？
请说明理由．
（2）应进货多少个？
定价为每个多少元？
5．小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20dm，宽10dm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形，如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的
，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．
6．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a≥50，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
7．2018年4月10日0时起，全国铁路开始实施新的列车运行图．调整后，重庆与郑州之间有了始发高铁，两地出行更加便利，想要来重庆旅游的郑州游客，可以下午喝碗胡辣汤，晚上品尝正宗重庆火锅，据重庆火车站介绍，此次列车运行图优化调整新增了郑州东站至重庆西站的调整动车组．试运行首日，商务座票价是二等座票价的2倍，商务座售出10张，二等座售出100张，商务座和二等座总售出不低于6万元．
（1）试运行期间，二等座票价至少多少元？
（2）现正式投入运行后，铁路部门将二等座票价在试运行首日最低票价的基础上上涨了a%（a为整数），商务座票价在试运行首日最低票价基础上提高了3a%，且正式运行首日二等座售出的数量比试运行首日减少了a张，商务座售出的数量减少为试运行首日的一半，正式运行首日商务座和二等座总销售额为55000元，求a的值．
8．用一根20m长的绳子，怎样围成一个面积为24m2的矩形，通过方程计算说明围法．
9．某农户要利用房屋的一面墙建设一个如图所示的长方形鸡舍．已知墙长5.5米，篱笆总长10米，要求为方便出入，在建造篱笆鸡舍时，用其他材料在靠墙处造了宽1米宽的门．请问：
如何设计才能使长方形鸡舍的面积为15平方米？
10．把一根长48cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积的和等于80cm2，应该怎样剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于170cm2吗？
11．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？
这时售出台灯多少个？
12．山西历史悠久，人文荟萃，拥有丰厚的历史文化遗产，是全国唯一一个拥有五岳、五镇和四大佛教名山的省份，今年八月份，光明旅行社将五台山一日游的费用，在原来门市报价的基础上每人降价60元，这样某旅行团原定13500元的旅游费用，只花费了10800元．
（1）求该旅行社五台山一日游的原来门市报价是每人多少元？
（2）为迎接“十一”长假，该旅行社将五台山一日游的费用，在原来门市报价的基础上连续两次降价，降价后每人的费用为192元，求平均每次的降价率．
13．研学旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某校八
（1）班组织学生进行“一日研学”活动，某旅行社推出了如下收费标准：
如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．
（1）当参加人数25人时，人均旅游费用元；当参加人数40人时，人均旅游费用元；
（2）已知该班实际人数超过30人，共支付给旅行社3150元．问：
共有多少名同学参加了研学活动？
14．2018年9月21日上午九点整，伴随着中国登山协会主席李致新同志的一声令下，“五彩金沙•花海毕节”“华龄杯”中国天空跑2018中国贵州金沙国际挑战赛在后山镇壮飞广场拉开帷幕．期间，王老板以2元/kg的价格购进一批橘子，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为了促销，王老板决定降价销售，经调查发现，这批橘子每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg．另外，每天的卫生费等固定成本共24元，王老板想每天盈利200元，应将每千克橘子的售价降低多少元？
15．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花围ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40米2时，求BC的长；
（2）如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？
如果不能，请说明理由．
16．中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒．
（1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是，销量是；
（2）经两周后还剩余月饼盒；
（3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？
备战2022最新中考数学考点专题训练——专题三十一：
一元二次方程参考答案
1．如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm匀速直线运动到C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的
？
【答案】解：
设出发后x秒时，
．
∵
，
∴
，
（1）当x＜2时，点M在线段AO上，点N在线段BO上．
由
（4﹣2x）（3﹣x）＝2；
解得x1＝1，x2＝4（舍去）
∵x＜2，∴x＝1；
（2）当2＜x＜3时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，
由
（2x﹣4）（3﹣x）＝2；化简为x2﹣5x+8＝0，
此时方程△＜0，原方程无实数解；
（3）当x＞3时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，
由
（2x﹣4）（x﹣3）＝2；
解得x1＝1（舍去），x2＝4
∵x＞3，∴x＝4，
综上所述，出发后1s或4s时，
．
2．利用一面墙（墙长30m），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2场地，求矩形的长和宽．
【答案】解：
设垂直于墙的一边为x米，则平行于墙的一边为（58﹣2x）米
根据题意得：
x（58﹣2x）＝200
解得x1＝25，x2＝4．
当x1＝25时，58﹣2x＝8＜30
当x2＝4时，58﹣2x＝50＞30（不符合题意，舍去）．
答：
矩形长为25米，宽为8米
3．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为2000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到6000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．
【答案】解：
设今年平均亩产量的增长率为x，则今年种植面积的平均增长率为2x．
根据题意，得10（1+2x）•200（1+x）＝6000．
解得：
x1＝0.5，x2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：
今年平均亩产量的增长率为50%．
4．某商店准备进一批季节性小家电，单价为每个40元，经市场预测，销售定价为每个52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2000元．
（1）该商店应考虑涨价还是降价？
请说明理由．
（2）应进货多少个？
定价为每个多少元？
【答案】解：
（1）由题意，可知该商店应考虑涨价；
（2）设每个商品的定价是x元，根据题意得
（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000，
整理，得x2﹣110x+3000＝0，
解得x1＝50，x2＝60．
当x＝50时，进货180﹣10（50﹣52）＝200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x＝60时，进货180﹣10（60﹣52）＝100个＜180个，符合题意．
答：
应进货100个，定价为每个60元．
5．小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20dm，宽10dm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形，如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的
，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．
【答案】解：
∵画轴长为20dm，宽为10dm，
∴画轴的长宽比为：
2：
1．
设中间的矩形的长为2xdm，宽为xdm，由题意，得
20×10﹣2x×x＝20×10×
，
解得：
x＝±8，
∵x＝﹣8不符合题意，舍去，
∴x＝8．
∴左右边衬为：
（20﹣16）÷2＝2dm．
答：
左右边衬的宽为2dm．
6．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a≥50，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】解：
（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）＝450，
解得x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：
AD的长为10m；
（2）设AD＝xm．
∴S＝
x（100﹣x）＝﹣
（x﹣50）2+1250，
∵a≥50，
∴x＝50时，S的最大值为1250．
答：
若a≥50，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250平方米．
7．2018年4月10日0时起，全国铁路开始实施新的列车运行图．调整后，重庆与郑州之间有了始发高铁，两地出行更加便利，想要来重庆旅游的郑州游客，可以下午喝碗胡辣汤，晚上品尝正宗重庆火锅，据重庆火车站介绍，此次列车运行图优化调整新增了郑州东站至重庆西站的调整动车组．试运行首日，商务座票价是二等座票价的2倍，商务座售出10张，二等座售出100张，商务座和二等座总售出不低于6万元．
（1）试运行期间，二等座票价至少多少元？
（2）现正式投入运行后，铁路部门将二等座票价在试运行首日最低票价的基础上上涨了a%（a为整数），商务座票价在试运行首日最低票价基础上提高了3a%，且正式运行首日二等座售出的数量比试运行首日减少了a张，商务座售出的数量减少为试运行首日的一半，正式运行首日商务座和二等座总销售额为55000元，求a的值．
【答案】解：
（1）设试运行期间，二等座票价为x元/张，则商务座票价为2x元/张，
根据题意得：
10×2x+100x≥60000，
解得：
x≥500．
答：
试运行期间，二等座票价至少为500元．
（2）根据题意得：
500（1+a%）（100﹣a）+500×2（1+3a%）×10÷2＝55000，
整理，得：
5a2﹣150a＝0，
解得：
a1＝0，a2＝30．
答：
a的值为30．
8．用一根20m长的绳子，怎样围成一个面积为24m2的矩形，通过方程计算说明围法．
【答案】解：
设矩形长为xm，宽为（10﹣x）m
根据题意可得：
x（10﹣x）＝24
解得：
x1＝6，x2＝4（不合题意舍去）
答：
围成一个长为6m，宽为4m的矩形．
9．某农户要利用房屋的一面墙建设一个如图所示的长方形鸡舍．已知墙长5.5米，篱笆总长10米，要求为方便出入，在建造篱笆鸡舍时，用其他材料在靠墙处造了宽1米宽的门．请问：
如何设计才能使长方形鸡舍的面积为15平方米？
【答案】解：
设宽是x米，依题意得
（10﹣x﹣x+1）x＝15
解得x＝2.5或x＝3
x＝2.5，10﹣2.5﹣2.5+1＝6＞5.5（不合题意）．
x＝3，10﹣3﹣3+1＝5．
答：
设计宽为3米，长为5米，就可以使长方形鸡舍的面积为15平方米．
10．把一根长48cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积的和等于80cm2，应该怎样剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于170cm2吗？
【答案】解：
（1）设剪成的一段为xcm，则另一段就为（48﹣x）cm，
由题意得（
）2+（
）2＝80；
解得：
x1＝16，x2＝32．
答：
剪成的一段为16cm，则另一段就为32cm；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（48﹣m）cm，
由题意得：
（
）2+（
）2＝170，
变形为：
m2﹣48m﹣208＝0，
解得m1＝52＞48，舍去．m2＝﹣4＜0，舍去，
即这两个正方形面积的和不可能等于170cm2．
答：
（1）两段长为16cm和32cm；
（2）不可能．
11．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？
这时售出台灯多少个？
【答案】解：
设售价上涨x元，则销量减少10x个，
根据题意得：
（600﹣10x）（40﹣30+x）＝10000，
整理，得：
x2﹣50x+400＝0，
解得x1＝10，x2＝40，
当x＝10时，40+x＝50符合题意，
当x＝40时，40+x＝80＞60不合题意舍去．
售价应定为50元，
600﹣10×10＝500（个），
这时售出台灯500个，
答：
每个台灯售价应定为50元，这时售出台灯500个．
12．山西历史悠久，人文荟萃，拥有丰厚的历史文化遗产，是全国唯一一个拥有五岳、五镇和四大佛教名山的省份，今年八月份，光明旅行社将五台山一日游的费用，在原来门市报价的基础上每人降价60元，这样某旅行团原定13500元的旅游费用，只花费了10800元．
（1）求该旅行社五台山一日游的原来门市报价是每人多少元？
（2）为迎接“十一”长假，该旅行社将五台山一日游的费用，在原来门市报价的基础上连续两次降价，降价后每人的费用为192元，求平均每次的降价率．
【答案】解：
（1）设该旅行社五台山一日游的原来门市报价是每人x元，则今年八月份五台山一日游的票价是每人（x﹣60）元，
根据题意得：
＝
，
解得：
x＝300，
经检验，x＝300是所列分式方程的解，且符合题意．
答：
该旅行社五台山一日游的原来门市报价是每人300元．
（2）设平均每次的降价率为y，
根据题意得：
300（1﹣y）2＝192，
解得：
y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：
平均每次的降价率为20%．
13．研学旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某校八
（1）班组织学生进行“一日研学”活动，某旅行社推出了如下收费标准：
如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．
（1）当参加人数25人时，人均旅游费用元；当参加人数40人时，人均旅游费用元；
（2）已知该班实际人数超过30人，共支付给旅行社3150元．问：
共有多少名同学参加了研学活动？
【答案】解：
（1）当参加人数25人时，人均旅游费用100元；
当参加人数40人时，人均旅游费用100﹣2（40﹣30）＝80元；
故答案为：
100，80．
（2）设共有x名同学参加了研学活动，
根据题意，得：
x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，
整理，得：
x2﹣80x+1575＝0，
解得：
x1＝35，x2＝45，
∵100﹣2（x﹣30）≥80，
∴x≤40，
∴x＝35，
答：
共有35名同学参加了研学活动．
14．2018年9月21日上午九点整，伴随着中国登山协会主席李致新同志的一声令下，“五彩金沙•花海毕节”“华龄杯”中国天空跑2018中国贵州金沙国际挑战赛在后山镇壮飞广场拉开帷幕．期间，王老板以2元/kg的价格购进一批橘子，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为了促销，王老板决定降价销售，经调查发现，这批橘子每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg．另外，每天的卫生费等固定成本共24元，王老板想每天盈利200元，应将每千克橘子的售价降低多少元？
【答案】解：
设每千克橘子的售价应降低x元，则每天的销售量为（200+400x）千克，
根据题意得：
（3﹣2﹣x）（200+400x）＝200+24，
整理得：
50x2﹣25x+3＝0，
解得：
x1＝0.3，x2＝0.2．
答：
王老板想每天盈利200元，应将每千克橘子的售价降低0.3或0.2元．
15．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花围ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
（1）若围成的花圃面积为40米2时，求BC的长；
（2）如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？
如果不能，请说明理由．
【答案】解：
（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为
米，
根据题意得：
x•
＝40，
整理得：
x2﹣24x+80＝0，
解得：
x1＝4，x2＝20．
∵20＞15，
∴x2＝20舍去．
答：
BC的长为4米．
（2）不能围成，理由如下：
设BC的长为y米，则AB的长为
米，
根据题意得：
y•
＝50，
整理得：
y2﹣24y+150＝0．
∵△＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为50米2的花圃．
16．中秋节来临之前，某超市以每盒80元的价格购进了1000盒月饼，第一周以每盒168元的价格销售了300盒，第二周如果单价不变，预计仍可售出300盒，该超市经理为了增加销量，决定降价，据调查，单价每降低1元，可多售出10盒，但最低每盒要赢利30元，第二周结束后，该超市将对剩余的月饼一次性赔钱甩卖，此时价格为70元/盒．
（1）若设第二周单价降低x元，则第二周的单价是，销量是；
（2）经两周后还剩余月饼盒；
（3）若该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是多元？
【答案】解：
（1）由题意得：
第二周降价x元，故第二周的售价为（168﹣x）元，销量为（300+10x）盒；
（2）第一周的销量为300盒，第二周的销量为（300+10x）盒，
故经两周后还剩余月饼：
1000﹣300﹣（300+10x）＝（400﹣10x）盒；
（3）因为最低每盒要赢利30元，故168﹣x﹣80≥30，
解得：
x≤58，
当0≤x≤58时，获利W＝（168﹣80）×300+（168﹣80﹣x）（300+10x）+（﹣10）×（400﹣10x）＝51360，
解得：
x1＝4，x2＝64，
因为x≤58，故x取4．
答：
该超市想通过销售这批月饼获利51360元，那么第二周的单价应是164元．
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