最新高中数学不等式典型例题解析.docx
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最新高中数学不等式典型例题解析
最新高中数学不等式典型例题解析
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一．不等式的性质：
1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：
若a则abc,d，cbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
2．左右同正不等式：
同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：
若ab0,cd0，则acbd（若ab0,0cd，ab则）；cd
3．左右同正不等式：
两边可以同时乘方或开方：
若ab0，则an
bn或
11114．若ab0，ab，则；若ab0，ab，则。
如abab
（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：
①若ab,则ac2bc2；②若ac2bc2,则ab；
11③若ab0,则a2abb2；④若ab0,则；ab
ba⑤若ab0,则；⑥若ab0,则ab；ab
ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。
cacbab
其中正确的命题是______
（答：
②③⑥⑦⑧）；
（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______
（答：
13xy7）；
c（3）已知abc，且abc0,则的取值范围是______a
1（答：
2,）2
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：
作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；
7．寻找中间量或放缩法；
8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如
1t1
（1）设a0且a1,t0，比较logat和loga的大小22
（答：
当a1时，
1t1
（t1时取等号）；当0a1时，logatloga
22
1t1
（t1时取等号））；logatloga
22
21
（2）设a2，pa，q2a4a2，试比较p,q的大小
a2
（答：
pq）；
（3）比较1+logx3与2logx2（x0且x1）的大小
44
（答：
当0x1或x时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜
33
4
2logx2；当x时，1+logx3＝2logx2）
3
三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：
“一正二定三相等，和定积
最大，积定和最小”这17字方针。
如
（1）下列命题中正确的是
1
A、yx的最小值是2
x2B
、y的最小值是2
4
C、y23x（x
0）的最大值是2x4
D、y23x（x
0）的最小值是2x
（答：
C）；
（2）若x2y1，则2x4y的最小值是______
（答：
；
（3）正数x,y满足x2y1，则
11
的最小值为______
xy
（答：
3；
4.常用不等式有：
（1
（根据目标不等式左右
222
的运算结构选用）；
（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc
bbm
时，取等号）；（3）若ab0,m0，则（糖水的浓度问题）。
如
aam
如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________
（答：
9,）
五．证明不等式的方法：
比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：
作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
）.
1111111
2常用的放缩技巧有：
nn1n（n1）nn（n1）n1n
如
（1）已知abc，求证：
a2bb2cc2aab2bc2ca2；
（2）已知a,b,cR，求证：
a2b2b2c2c2a2abc（abc）；
xy11
（3）已知a,b,x,yR，且,xy，求证：
；
xaybab
（4）若a、b、c是不全相等的正数，求证：
abbccallgablcg；lglg
222
（5）已知a,b,cR，求证：
a2b2b2c2c2a2abc（abc）；
（6）若n
N*，求证：
（n
1）n；
|a||b||a||b|
（7）已知|a||b|，求证：
；
|ab||ab|
111
（8）求证：
12222。
23n
六．简单的一元高次不等式的解法：
标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次
因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f（x）的符号变化规律，写出不等式的解集。
如
（1）解不等式（x1）（x2）20。
（答：
{x|x1或x2}）；
（2）
不等式（x0的解集是____
（答：
{x|x3或x1}）；
（3）设函数f（x）、g（x）的定义域都是R，且f（x）0的解集为{x|1x2}，g（x）0的解集为，则不等式f（x）g（x）0的解集为______
（答：
（,1）[2,））；（4）要使满足关于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一个x的值
至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.
81
（答：
[7,））
8
七．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如
5x
（1）解不等式21
x2x3
（答：
（1,1）（2,3））；
（2）关于x的不等式axb0的解集为（1,），则关于x的不等式axb
0的解集为____________x2
（答：
（,1）（2,））.
八．绝对值不等式的解法：
1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：
如解不等式|2
（2）利用绝对值的定义；
（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3
（答：
（,1）（2,））
（4）两边平方：
如
若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。
4
（答：
{）
3
九．含参不等式的解法：
求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：
“综上，原不等式的解集是„”。
注意：
按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
2
（1）若loga1，则a的取值范围是__________
3
2
（答：
a1或0a）；
3ax2
x（aR）
（2）解不等式
ax1
11
（答：
{x|x0}；{x|x或x0}；{x|x0}a0时，a0时，a0时，
aa
或x0}）
提醒：
（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
x2
如关于x的不等式axb0的解集为（,1），则不等式0的解集为
axb
__________（答：
（－1,2））
十一．含绝对值不等式的性质：
a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.如设f（x）x2x13，实数a满足|xa|1，求证：
|f（x）f（a）|2（|a|1）十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：
不等式恒成立问题的常规处理方
式？
（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1）.恒成立问题
若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA
若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB如
（1）设实数x,y满足x2（y1）21，当xyc0时，c的取值范围是______
（答：
；1,）
31
x|2|x|42（答：
xR）；
（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：
a1）；（3）若不等式2x1m（x21）对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____
（答：
（
n
7131
,））；22
（1）n1
（4）若不等式
（1）a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取
n
值范围是_____
3
（答：
[2,））；
2
（5）若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.
1
（答：
m）
2
2）.能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA；
若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.如
已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____
（答：
a1）
3）.恰成立问题
若不等式fxA在区间D上恰成立,则等价于不等式fxA的解集为D；
若不等式fxB在区间D上恰成立,则等价于不等式fxB的解集为D.
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