中考三角形的边与角真题解析.docx
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中考三角形的边与角真题解析
2019中考三角形的边与角真题解析
一、选择题
1.（2019•武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是
（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（）
A.
B．
C．
D．
【分析】如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是
，点C的运动轨迹是
，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
解：
如图，连接EB．设OA＝r．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵E是△ACB的内心，
∴∠AEB＝135°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴
＝
，
∴AD＝DB＝
r，
∴∠ADB＝90°，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是
，点C的运动轨迹是
，
∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝
＝
．
【答案】A
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
2.（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【分析】根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．
解：
根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
【答案】A
【点评】本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．
3.（2019•衡阳）下列命题是假命题的是（）
A．n边形（n≥3）的外角和是360°
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．
解：
A.n边形（n≥3）的外角和是360°，是真命题；
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；C.相等的角不一定是对顶角，是假命题；
D.矩形的对角线互相平分且相等，是真命题。
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理：
判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
4.（2019•浙江金华•3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）
A.1B.2C.3D.8
【分析】三角形三边的关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.
解：
∵三角形三边长分别为：
a，3，5，
∴a的取值范围为：
2＜a＜8，
∴a的所有可能取值为：
3，4，5，6，7.故答案为：
C.
【答案】C
5.（2019▪毕节）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）
A．2cm，3cm，4cmB．3cm，6cm，76cm
C．2cm，2cm，6cmD．5cm，6cm，7cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
解：
A.2+3＞4，能组成三角形；
B.3+6＞7，能组成三角形；
C.2+2＜6，不能组成三角形；
D.5+6＞7，能够组成三角形．
【答案】C
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：
用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
6.（2019•宁波）已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中
斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知
∠2＝∠AED＝70°．
解：
设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
【答案】C
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角.
7.（2019，巴中）下列命题是真命题的是（）
A.对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四边相等的平行四边形是正方形
【分析】根据矩形的判定方法对A.B矩形判断；根据正方形的判定方法对C.D矩形判断．
【解答】解：
A.对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C.对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；D.四边相等的菱形是正方形，所以D选项错误．
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理：
命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8.（2019，枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）
A．45°B．60°C．75°D．85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
解：
如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°
【答案】C
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
9.（2019•绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）
A．5°B．10°C．30°D．70°
【分析】根据对顶角相等求出∠3，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：
∵∠3＝∠2＝100°，
∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，
【答案】B
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180°
是解题的关键．
10.（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。
这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）
A.60°B.65°C.75°D.80°
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
解：
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE=75°，
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，即x+180°-4x+75°=180°，
解得：
x=25°，
∠CDE=180°-4x=80°.
【答案】D
11.（2019天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）
A.（1,1）B.（1，
）
C.（
，1）D.（
，
）
【分析】过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．
解：
过点B作BH⊥AO于H点，
∵△OAB是等边三角形，
∴OH=1，BH=
．
∴点B的坐标为（1，
）．
【答案】B
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐
标与图形的性质．
12.（2019•德州市）下列命题是真命题的是（）
A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦
C.对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【分析】A.根据全等三角形的判定方法，判断即可．B.根据垂径定理的推理对B进行判断；C.根据平行四边形的判定进行判断；D.根据平行线的判定进行判断．
解：
A.由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题.
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理：
判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
13.（2019天水）一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（）
A.145°B.140°C.135°D.130°
【分析】先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．
解：
∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，
∵DE∥AF，
∴∠BFA=∠FDE=140°．
【答案】B
【点评】本题考查了平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
14.（2019•湘西州）下列命题是真命题的是（）
A.同旁内角相等，两直线平行
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．相等的两个角是对顶角
D．圆内接四边形对角相等
【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题；由平行四边形的判定定理得出B是真命题；由对顶角的定义得出C是假命题；由圆内接四边形的性质得出D是假命题；即可得出答案．
解：
A.同旁内角相等，两直线平行；假命题；
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形；真命题；
C.相等的两个角是对顶角；假命题；
D.圆内接四边形对角相等；假命题；
【答案】B
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质；要熟练掌握．
二、填空题
1.（2019•泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是（填“真命题”或“假命题”）．
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
解：
三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案为：
真命题
【点评】本题考查了命题与定理：
判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
2.（2019•十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若
OE＝3，则菱形的周长为．
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；
【答案】24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键．
3.（2019•金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪。
量角器的O刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是．
【分析】根据题意可得∠AOC=50°，由三角形内角和定理得∠OAC=40°，∠OAC即为观察楼顶的仰角度数.
如图，
依题意可得：
∠AOC=50°，
∴∠OAC=40°，
即观察楼顶的仰角度数为40°.
【答案】40°
三、解答题
1.（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）
③两个大小不同的正方形相似．（命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠
B1C1D1，
＝
＝
．求证：
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求
的值．
【分析】
（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE＝AE
即可．
（1）解：
①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．
（2）证明：
如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且
＝
，
∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD，
∵
＝
＝
∴
＝
∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
∴△ABD∽△A1B1D1，
∴
＝
，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1，
∴
＝
＝
＝
，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，
∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2中，
∵四边形ABCD与四边形EFCD相似．
∴
＝
，
∵EF＝OE+OF，
∴
＝
，
∵EF∥AB∥CD，
∴
＝
，
＝
＝
，
∴
+
＝
+
，
∴
＝
，
∵AD＝DE+AE，
∴
＝
，
∴2AE＝DE+AE，
∴AE＝DE，
∴
＝1．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2.（2019•武汉）如图，点A.B.C.D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，
求证：
∠E＝∠F．
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE＝∠D，又∠A＝∠1，利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E＝∠F．
解：
∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠A＝∠1，
∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，
又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．
3.（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD.BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：
DG∥CA；
（2）求证：
AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【分析】
（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF
＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；
（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；
（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD﹣DI即可．
（1）证明：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝
∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：
∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：
DB＝DE：
DA，即AD：
9＝4：
AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了圆周角定理和三角形的外心.
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