江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题 专题6 四边形的综合问题.docx

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江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题专题6四边形的综合问题

专题06四边形的综合问题

例1．如图，△APB中，，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．

同类题型1.1如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．

同类题型1.2如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④

同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）

同类题型1.4如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　）

A．BO＝OHB．DF＝CEC．DH＝CGD．AB＝AE

例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．

同类题型2.1如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．

同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所

在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．

同类题型2.3如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…，则四边形的周长是______________．

例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF＝∠BCE；②；③AF＋BC＞CF；④若，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）

同类题型3.1如图，在矩形ABCD中，AB，∠B

AD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：

①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；

其中正确结论的序号是____________．

同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：

①AD＝DE②EH③△AEH∽△CFB④AE

其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）

同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A．

B．C．D．

例4．已知：

如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，，下列结论：

①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；

④．⑤＝4＋．

其中正确结论的序号是___________________．

同类题型4.1如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把

N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（　　）

A．B．C．D．

同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：

①FH＝2BH；②AC⊥FH；③＝1；④AF；⑤＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

同类题型4.3如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．

OE；

（2）＝1：

OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，．

同类题型4.4如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，

E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D

时，点G移动的路径长为_____________．

参考答案

例1．如图，△APB中，，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．

解：

如图，延长EP交BC于点F，

∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，

∴∠EPC＝150°，

∴∠CPF＝180°－150°＝30°，

∴PF平分∠BPC，

又∵PB＝PC，

∴PF⊥BC，

设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则b，＝8，

∵△APE和△ABD都是等边三角形，

∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，

∴∠EAD＝∠PAB，

∴△EAD≌△PAB（SAS），

∴ED＝PB＝CP，

同理可得：

△APB≌△DCB（SAS），

∴EP＝AP＝CD，

∴四边形CDEP是平行四边形，

∴四边形CDEP的面积ab，

又∵≥0，

∴＝8，

∴ab≤2，

即四边形PCDE面积的最大值为2．

同类题型1.1如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．

解：

∵△APE和△ABD是等边三角形，

∴AE＝AP＝4，AB＝AD，∠EAP＝∠DAB＝60°，

∴∠EAD＝∠PAB＝60°－∠DAP，

在△EAD和△PAB中

∴△EAD≌△PAB（SAS），

∴DE＝BP，

同理△DBC≌△ABP，

∴DC＝AP，

∵△APE和△BPC是等边三角形，

∴EP＝AP，BP＝CP，

∴DE＝

CP＝3，DC＝PE＝4，

∴四边形PCDE是平行四边形，

当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．

同类题型1.2如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④

解：

∵△ABE、△ADF是等边三角形

∴FD＝AD，BE＝AB

∵AD＝BC，AB＝DC

∴FD＝BC，BE＝DC

∵∠B＝∠D，∠FDA＝

∠ABE

∴∠CDF＝∠EBC

∴△CDF≌△EBC，故①正确；

∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，

∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，

∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；

同理可得：

∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，

∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，

∴△EAF≌△EBC，

∴∠AEF＝∠BEC，

∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，

∴∠FEC＝60°，

∵CF＝CE，

∴△ECF是等边三角形，故③正确；

在等边三角形ABE中，

∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段

∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．

选B．

同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）

解：

证明：

∵BC＝EC，

∴∠CEB＝∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠CEB＝∠EBF，

∴∠CBE＝∠EBF，

∴①BE平分∠CBF，正确；

∵BC＝EC，CF⊥BE，

∴∠ECF＝∠BCF，

∴②CF平分∠DCB，正确；

∵DC∥AB，

∴∠DCF＝∠CFB，

∵∠ECF＝∠BCF，

∴∠CFB＝∠BCF，

∴BF＝BC，

∴③正确；

∵FB＝BC，CF⊥BE，

∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，

∴PF＝PC，故④正确．

答案为①②③④．

同类题型1.4如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　）

A．BO＝OHB．DF＝CEC．DH＝CGD．AB＝AE

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AH∥BG，AD＝BC，

∴∠H＝∠HBG，

∵∠HBG＝∠HBA，

∴∠H＝∠HBA，

∴AH＝AB，同理可证BG＝AB，

∴AH＝BG，∵AD＝BC，

∴DH＝CG，故C正确，

∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，

∴OH＝OB，故A正确，

∵DF∥AB，

∴∠DFH＝∠ABH，

∵∠H＝∠ABH，

∴∠H＝∠DFH，

∴DF＝DH，同理可证EC＝CG，

∵DH＝CG，

∴DF＝CE，故B正确，

无法证明AE＝AB，

选D．

例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．

解：

如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，

，

设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，

∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm，

∴，

∵GH∥BC，

∴，

∴，

∴x＝3.5a－2…

（1）；

∵上下两个阴影三角形的面积之和为，

∴6a﹒（7a－x）÷2＝54，

∴a（7a－x）＝18…

（2）；

由

（1）

（2），可得

a＝2，x＝5，

∴CD＝6×2＝12（cm），，

∴＝15（cm），

又∵＝7.5（cm），

∴HN＝15－7.5＝7.5（cm），

∵AM∥FC，

∴，

∴，

∴该菱形的周长为：

（cm）．

同类题型2.1如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．

解：

延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°

∴AB＝AD，∠A＝60°，

∵BM＝AE，

∴AD＝ME，

∵△DEF为等边三角形，

∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，

∴∠MEF＋∠DEA═120°，∠ADE＋∠DEA＝180°－∠A＝120°，

∴∠MEF＝∠ADE

，

∴在△DAE和△EMF中，

∴△DAE≌EMF（SAS），

∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，

又∵BM＝AE，

∴△BMF是等边三角形，

∴BF＝AE，

∵AE＝t，CF＝2t，

∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t，

∵BC＝4，

∴3t＝4，

∴．

同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．

解：

如图所示：

∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A

＝60°，M为AD中点，

∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，

∴∠FMD＝30°，

∴，

∴，

∴，

∴－1．

同类题型2.3如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…，则四边形的周长是______________．

解：

∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，

∴是等边三角形，四边形是菱形，

∴＝5，，＝5，

同理可得出：

，，

，，

…

∴四边形的周长是：

．

例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：

①∠AEF＝∠BCE；②；③AF＋BC＞CF；④若，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）

解：

延长CB，FE交于点G，

∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°，

∴∠AEF＝∠BCE，①正确；

在△AEF和△BEG中，

，

∴△AEF≌△BEG（ASA），

∴AF＝BG，EF＝EG，

∵CE⊥EG，

∴，CG＝CF，

∴，②正确；

∴AF＋BC＝BG＋BC＝CG＝CF，③错误；

∵，

∴∠BCE＝30°，∴∠FCE＝∠FCD＝30°，

在△CEF和△CDF中，

，

∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．

同类题型3.1如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：

①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；

其中正确结论的序号是____________．

解：

∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB，

∵AB，

∴AE＝AD，

在△ABE和△AHD中，，

∴△ABE≌△AHD（AAS），

∴BE＝DH，

∴AB＝BE＝AH＝HD，

∴（180°－45°）＝67.5°，

∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，

∴∠AED＝∠CED，故①正确；

∵（180°－45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE＝∠AED，

∴OE＝OH，

∵∠DOH＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，

∴∠DOH＝∠ODH，

∴OH＝OD，

∴OE＝OD＝OH，故⑤正确；

∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，

∴∠EBH＝∠OHD，

又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°

在△BEH和△HDF中

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；

由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF，

∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正确；

∵AB＝AH，∠BAE＝45°，

∴△ABH不是等边三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故②错误；

综上所述，结论正确的是①③④⑤．

同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：

①AD＝DE②EH③△AEH∽△CFB④AE

其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）

解：

在矩形ABCD中，CD，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝45°，

∵AD⊥DE，

∴△ADH是等腰直角三角形，

∴AB，

∴AH＝AB＝CD，

∵△DEC是等腰直角三角形，

∴CD，

∴AD＝DE，

∴∠AED＝67.5°，

∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°，

∴∠AED＝∠AEB，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∴∠DAE＝∠AED，

∴AD＝DE，

故①正确；

设DH＝1，

则AH＝DH＝1，，

∴，

∴≠1，

故②错误；

∵∠AEH＝67.5°，

∴∠EAH＝22.5°，

∵DH＝CD，∠EDC＝45°，

∴∠DHC＝67.5°，

∴∠OHA＝22.5°，

∴∠OAH＝∠OHA，

∴OA＝OH，

∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，

∴OH＝OE，

∴AE，

故④正确；

∵AH＝DH，CD＝CE，

在△AFH与△CHE中，

，

∴△AFH≌△CHE，

∴∠AHF＝∠HCE，

∵AO＝OH，

∴∠HAO＝∠AHO，

∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AH

E＝90°，

∴△AEH∽△CFB，故③正确．

答案为：

①③④．

同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）

A．B．C．D．

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵点E是边BC的中点，

∴AD，

∴△BEF∽△DAF，

∴，

∴AF，

∴AE，

∵点E是边BC的中点，

∴由矩形的对称性得：

AE＝DE，

∴DE，设EF＝x，则DE＝3x，

∴x，

∴；

选A．

例4．已知：

如图，在正方形ABCD外取

一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，，下列结论：

①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；

④．⑤＝4＋．

其中正确结论的序号是___________________．

解：

①∵∠EAB＋∠BAP＝90°，∠PAD＋∠BAP＝90°，

∴∠EAB＝∠PAD，

又∵AE＝AP，AB＝AD，

∵在△APD和△AEB中，

，

∴△APD≌△AEB（SAS）；

故此选项成立；

③∵△APD≌△AEB，

∴∠APD＝∠AEB，

∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE，

∴∠BEP＝∠PAE＝90°，

∴EB⊥ED；

故此选项成立；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE＝AP，∠EAP＝90°，

∴∠AEP＝∠APE＝45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB＝∠FBE＝45°，

又∵＝2，

∴，

故此选项正确；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE＝AP＝1，

∴，

又∵，

∴BE＝2，

∵△APD≌△AEB，

∴PD＝BE＝2，

∴－×DP×BE＝×（4＋）－×2×2＝．

故此选项不正确．

⑤∵，AE＝1，

∴在Rt△ABF中，，

∴＝＝5＋2，

故此选项不正确．

答案为：

①②③．

同类题型4.1如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→

D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（　　）

A．B．C．D．

解：

根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，

∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．

而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为＝π，

∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，

∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则．

选：

A．

同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：

①FH＝2BH；②AC⊥FH；③＝1；④AF；⑤＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为

（　　）

A．2B．3C．4D．5

解：

①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，

∵AE平分∠DAC，

∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°，

∵BH＝DF，

∴△ABH≌△ADF，

∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°，

∴∠HAC＝∠FAC，

∴HM＝FM，AC⊥FH，

∵AE平分∠DAC，

∴DF＝FM，

∴FH＝2DF＝2BH，

故选项①②正确；

③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，

∴△FMC是等腰直角三角形，

∵正方形的边长为2，

∴，－2，

∴，

CF﹒AD≠1，

所以选项③不正确；

④，

∵△ADF∽△CEF，

∴，

∴，

∴，

∴AF，

故选项④正确；

⑤延长CE和AD交于N，如图2，

∵AE⊥CE，AE平分∠CAD，

∴CE＝EN，

∵EG∥DN，

∴CG＝DG，

在Rt△FEC中，EG⊥FC，

∴＝FG﹒CG，

∴＝FG﹒DG，

故选项⑤正确；

本题正确的结论有4个，

故选C．

同类题型4.3如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．

OE；

（2）＝1：

OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，．

解：

（1）