定积分的概念和基本性质.ppt

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1,4.3定积分的概念和基本性质,4.3.1定积分的定义,4.3.2定积分的基本性质,2,4.3.1引出定积分定义的例题,3,（4）取极限,取Sn的极限，得曲边三角形面积：

（1）分割,

（2）近似,（3）求和,4,

（1）分割,

（2）近似,（3）求和,5,

（1）分割,

（2）近似,（3）求和,6,分割,例:

求曲线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积。

7,一般地，求由连续曲线y=f（x）（f（x）0），直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：

8,tn=,=t0,引出定义的实例二：

求物体作变速直线运动所经过的路程,

（2）在第i（i1,2,n）个时间段ti1,ti上任取一时刻i，用v（i）Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离:

Dsiv（i）Dti。

（1）用分点t=ti（ti1ti,i1,2,n-1）把a,b分割成n个小的时间段，第i个时间段为ti1,ti，长度记为Dtititi1。

（3）将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区间a,b内所走距离s的近似值：

（4）记lmaxDt1,Dt2,Dtn，取极限l0，则物体在时间区间a,b内运动的距离：

9,分割,实例二：

求物体作变速直线运动所经过的路程,10,4.3.1定积分的定义,定义4.3.1:

区间任意分成n份,分点依次为,将,在每一个小区间xi-1,xi上任取一点ci,作乘积,无论区间的分法如何,ci在xi-1,xi上的取法如何,如果当最大区间长度,11,在每一个小区间xi-1,xi上任取一点ci,作乘积,无论区间的分法如何,ci在xi-1,xi上的取法如何,如果当最大区间长度,趋于零时和数的极限存在,那么我们就称函数f（x）在区间a,b上可积,并称这个极限I为函数f（x）在区间a,b上的定积分,记为,其中f（x）称为被积函数,x称为积分变量,a,b称为积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限,和数称为积分和.,12,定积分的定义式：

定积分的相关名称：

13,注意:

定积分与不定积分的区别,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限,函数f（x）的不定积分是（无穷多个）函数,而f（x）在a,b上的定积分是一个完全由被积函数f（x）的形式和积分区间a,b所确定的值.,14,按定积分的定义，有

（1）由连续曲线y=f（x）（f（x）0），直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,

（2）设物体运动的速度v=v（t），则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,定积分的定义式：

15,规定:

16,定积分的几何意义,S=,17,定积分的几何意义,S,y=f（x）,18,函数f（x）在区间a,b上的定积分表示为直线x=a,x=b,y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。

定积分的几何意义,S1,S2,S3,a,b,19,课本例题：

例3：

利用定积分几何意义验证：

例4：

在区间a,b上，若f（x）0,f（x）0,利用定积分几何意义验证：

定积分的几何意义,20,4.3.2定积分的基本性质,有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi（x）（i=1,2,n）在a,b内可积，则有,21,4.3.2定积分的基本性质,一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若f（x）在a,b上可积，则cf（x）在a,b上也可积（c为常数），且满足,22,4.3.2定积分的基本性质,设f（x）在a,b内可积，若acb,则f（x）在a,c和c,b上可积；反之，若f（x）在a,c和c,b上可积，则f（x）在a,b内可积，且有,23,4.3.2定积分的基本性质,交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则,24,4.3.2定积分的基本性质,设f（x）和g（x）在a,b上皆可积，且满足条件f（x）g（x），则有,25,4.3.2定积分的基本性质,26,4.3.2定积分的基本性质,若函数f（x）在a,b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：

若函数f（x）在a,b上可积，则,27,4.3.2定积分的基本性质,设f（x）在区间a,b上连续，则在a,b内至少有一点（ab）,使得下式成立：

同时，我们称下式为f（x）在a,b上的平均值,28,课本例题：

例5：

不计算积分，试比较下面两个积分的大小,定积分的基本性质,