初中经典几何证明题.docx

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初中经典几何证明题

证明

（二）

1．你能证明它们吗

一、主要知识点

1、证明三角形全等的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS证直角三角形全等除上

述外还有HL）及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

3、等边三角形的有关知识点。

判定：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：

等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1:

如下图，在△ABC中，/B=90°,M是AC上任意一点（M与A不重合）MD

丄BC交/ABC勺平分线于点D,求证：

MBMA

例2如右图，已知△ABCffiABDE都是等边三角形，求证：

AE=CD

例3:

如图：

已知AB=AEBOED,/B=ZE，AF丄CDF为垂足，

求证:

①AC=AD②CF=DF

例4如图1、图2,\AOB△COD匀是等腰直角三角形，/AOB=ZCO490o,

（1）在图1中，AC与BD相等吗？

请说明理由（4分）

（2）若厶COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC与

BD还相等吗？

为什么？

（8分）■'-

例5如图，在△ABC中,AB=ACD是AB上一点，是AC延长线上一点，且CE=BD连结DE交BC于Fo

（1）猜想"DF与EF的大小关系;^^2）请证明你的猜想。

"'B

例6证明：

在一个三角形中至少有两个角是锐角

2.直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三

角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜

边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条

件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个

定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理•

二、典型例题分析

例1:

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果ab=0,那么a=O,b=O；

（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

例2:

如图，△ABC中，/C=90°，Z1二/2，CD=1.5,BD=2.5，求AC的长。

例3:

如图所示的一块地，/ADC=90，AD=12rpCD=9mAB=39mBC=36rp

求这块地的面积。

例4:

如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到

墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向

外移多少米？

例5:

如图2-5所示.在等边三角形厶ABC中，AE=CDAD,BE交于P点，BQ

丄AD于Q.求证：

BP=2PQ

3.线段的垂直平分线4.角平分线

一、主要知识点

1、线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离

相等。

2、角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两

个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例1:

（1）在厶ABC中，AB=ACAB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线

于M,/A=400，求/NMB勺大小

（2）如果将

（1）中/A的度数改为700，其余条件不变，再求/NMB勺大小

（3）你发现有什么样的规律性？

试证明之.

（4）将

（1）中的/A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

例2:

在厶ABC中，AB的中垂线DE交AC于F,垂足为D,若AC=6BC=4求厶

BCF的周长

例3:

如图所示，AC=ADBC=BDAB与CD相交于点吕求证：

直线AB是线段

CD的垂直平分线。

例4:

如图所示，在△ABC中,AB=AC/BAC=120,D、F分别为ABAC的中

点，DE丄AB,FG丄AC,E、G在BC上,BC=15cm求EG的长度。

例5:

:

如图所示，Rt△ABC中,,D是AB上一点，BD=BC过D作AB的垂线交

BQ=CR

求证：

点Q在PR的垂直平分线上

求证：

/B二/CAF

4、已知：

如图，AB//CD,/BAC的角平分线与/DCA勺角平分线交于点M,经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F,且EF与CD交于E

求证：

点M为EF的中点

么AC长为（

A.4cmB.5cmC.8cmD..34cm

4.如图3,在等边△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点，且BD=CEAD与BE相

交于点P,则/1+Z2的度数是（）.

A.450B.550C.600D.75°

5.如图4,在厶ABC中,AB=AC/A=36,BD和CE分别是/ABC和/ACB的平分

线，且相交于点P.在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数

为（

D.6个

A.9个B.8个C.7个

△DAC^n^EBC都是等边三角形，

△ACE^ADCB②CM=

6•如图5,Ii,l2,b表示三条相互交叉的公现在要建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有

7.如图6,A、C、E三点在同一条直线上，

AEBD分别与CDCE交于点MN,有如下结论：

①

CN③AC=DN.其中，正确结论的个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

8.要测量河两岸相对的两点AB的距离，

AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC再

BF的垂线DE,使A,C,E在同一条直线

（如图7）,可以证明厶ABC^AEDC得

ED=AB.因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定△ABC^AEDC的条件是

（）.

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

9.如图8,将长方形ABCC沿对角线BD翻折，点C落在点E的

10.

图8

BE交AD于点F.

重叠部分（厶BDF）是等腰三角形.

•••四边形ABCD是长方形，•••AD//BC

又•••△BDE-与^BDC关于BD对称,

•••/2二/3.•••BDF是等腰三角形

请思考：

以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？

（）•

①/1二/2;②/仁/3;③/3二/4;④/BDCMBDE

A.①③B.②③C.②①D.③④

11.

如图9,已知线段a,h作等腰△ABC使AB=AC,且

BOa,BC边上的高AD=h.张红的作

法是：

（1）作线段

BC=a；

（2）作线段BC的垂直平分线MNMN与BC相交于点D;（3）在直线MN上截取线段h;（4）连结AB

AC则厶ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）

A.

（1）B.

（2）C.（3）D.（4）

二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）

1.如图10，已知，在△ABCffiADCBKAC=DB若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABWADCB则还需增加一个条件是.

2.如图11,在RT^ABC中，/BAC=90，AB=AC分别过点B,C作经过点A的直

线的垂线段BD,CE若BD=3厘米，CE=4厘米，贝UDE的长为.

3.如图12,P,Q>^ABC的边BC上的两点，且B吐PQ=QC=AP=AQ则/ABC

等于度.

4.如图13,在等腰△ABC中,AB=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于

点E,若BCE的周长为50，贝V底边BC的长为.

5.在△ABC中，AB二ACAB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为

500，则

底角B的大小为.

6.在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：

①直角三角形两条直角边的平方和

等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段

垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到

这个角两边的

距离相等•在上述定理中，存在逆定理的是.（填序号）

7.如图14,有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cmBC=10cm将厶ABC折叠，点B

与点A重合，折痕为DE则CD的长为.

8.如图15,在厶ABC中,AB=ACA=120°，D是BC上任意一点，分别做DEL

AB于E，DFLAC于F，如果BC=20cm那么DE+DF二cm.

9.如图16,在Rt△ABC中，/C=90°,ZB=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC

于点E，若BE=4,则AC=.

10.

如图17,有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁

边B处有健身

器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在

A处立一个标

牌“少走步，踏之何忍？

”但小颖不知在“”处应填什么

数字，请你帮助她填上好吗？

（假设两步为1米）？

三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1.（7分）如图18，在△ABC中,/ACB=90，

边上的高,

2.（7分）如图19，在△ABC中，/C=90°,AC=BCAD平分/CAB

的点,

BE与CD相交于O点.现有四个条件：

①A吐AC②0*OC

（均填序号）.

⑵证明你写出的命题.

已知:

求证:

证明:

4.（8分）如图21，在△ABC中,/

图

平分线BD交AC于D,CELBD的延长线于点E.

求证：

CE1BD.

2

5.（8分）如图22，在△ABC中，/C=90°.

（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等.

（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）当满足

（1）的点P到ABBC的距离相等时，求/A的度数.

6.（8分）如图23，/AOB90°，0M平分/AOB将直角三角板的顶H

Ap/凱

点P在射线OM上移动，两直角边分别与OAOB相交于点d、D^\

PC与PD相等吗？

试说明理由.Q£

图23

四、拓广探索（本大题12分）

如图24,在厶ABC中,AB=ACAB的垂直平分线交AB于点N,

交BC的延长线于点M,若/A=40°.

（1）求/NMB勺度数；

（2）如果将

（1）中/A的度数改为70°，其余条件不变，再求

/NMB勺度数；

（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将

（1）中的/A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？

也

图24