初中数学几何模型大全+经典题型含答案.docx
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初中数学几何模型大全+经典题型含答案
初中数学几何模子大全+经典题型（含答案）
全等变换
平移：
平行等线段（平行四边形）
对称：
角等分线或垂直或半角
扭转：
相邻等线段绕公共极点扭转
解释：
以角等分线为轴在角双方进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等.双方进行边或者角的等量代换,产生接洽.垂直也可以做为轴进行对称全等.
解释：
上图依次是45°.30°.22.5°.15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折）,翻折成正方形或者等腰直角三角形.等边三角形.对称全等.
半角：
有一个角含1/2角及相邻线段
自扭转：
有一对相邻等线段,须要结构扭转全等
共扭转：
有两对相邻等线段,直接查找扭转全等
中点扭转：
倍长中点相干线段转换成扭转全等问题
解释：
扭转半角的特点是相邻等线段所成角含一个二分之一角,经由过程扭转将别的两个和为二分之一的角拼接在一路,成对称全等.
结构办法：
遇60度旋60度,造等边三角形
遇90度旋90度,造等腰直角
遇等腰旋极点,造扭转全等
遇中点旋180度,造中间对称
解释：
扭转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考核的内容.经由过程“8”字模子可以证实.
解释：
模子变形主如果两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变更,别的是等腰直角三角形与正方形的混用.
当碰到庞杂图形找不到扭转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共极点,环绕公共极点找到两组相邻等线段,分组构成三角形证全等.
解释：
两个正方形.两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形极点连线的中点,证实别的两个极点与中点所成图形为等腰直角三角形.证实办法是倍长所要证等腰直角三角形的一向角边,转化成要证实的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公扭转极点,经由过程证实扭转全等三角形证实倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证.
对称最值（两点间线段最短）
解释：
经由过程对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离.
解释：
找到与所请求最值相干成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值.
三角形→四边形
四边形→四边形
解释：
剪拼主如果经由过程中点的180度扭转及平移转变图形的外形.
解释：
经由过程射影定理找到正方形的边长,经由过程平移与扭转完成外形转变
解释：
两个等腰直角三角形成扭转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成扭转类似.
推广：
两个随意率性类似三角形扭转成必定角度,成扭转类似.第三边所成夹角相符扭转“8”字的纪律.
解释：
留意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证实类似中起到经由过程等量代换来结构类似三角形的感化.
解释：
（1）三垂直到一线三等角的演化,三等角以30度.45度.60度情势消失的居多.
（2）表里角等分线定理到射影定理的演化,留意之间的雷同与不合之处.别的,类似.射影定理.订交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积,经由过程等线段.等比值.等乘积进行代换,进行证实得到须要的结论.
解释：
类似证实中最经常应用的帮助线是做平行,依据标题标前提或者结论的比值来做响应的平行线.
初中数学经典几何题（附答案）
经典难题
（一）
1.已知：
如图,O是半圆的圆心,C.E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO．
求证：
CD＝GF．（初二）
2.已知：
如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：
△PBC是正三角形．（初二）
3.如图,已知四边形ABCD.A1B1C1D1都是正方形,A2.B2.C2.D2分离是AA1.BB1.CC1.DD1的中点．
求证：
四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）
4.已知：
如图,在四边形ABCD中,AD＝BC,M.N分离是AB.CD的中点,AD.BC的延伸线交MN于E.F．
求证：
∠DEN＝∠F．
经典难题
（二）
1.已知：
△ABC中,H为垂心（各边高线的交点）,O为外心,且OM⊥BC于M．
（1）求证：
AH＝2OM;
（2）若∠BAC＝600,求证：
AH＝AO．（初二）
2.设MN是圆O外一向线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B.C及D.E,直线EB及CD分离交MN于P.Q．
求证：
AP＝AQ．（初二）
3.假如上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC.DE,设CD.EB分离交MN于P.Q．
求证：
AP＝AQ．（初二）
4.如图,分离以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点．
求证：
点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）
经典难题（三）
1.如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE＝AC,AE与CD订交于F．
求证：
CE＝CF．（初二）
2.如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE＝CA,直线EC交DA延伸线于F．
求证：
AE＝AF．（初二）
3.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF等分∠DCE．
求证：
PA＝PF．（初二）
4.如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE.AF与直线PO订交于B.D．求证：
AB＝DC,BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1.已知：
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA＝3,PB＝4,PC＝5．
求：
∠APB的度数．（初二）
2.设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA＝∠PDA．
求证：
∠PAB＝∠PCB．（初二）
3.设ABCD为圆内接凸四边形,求证：
AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）
4.平行四边形ABCD中,设E.F分离是BC.AB上的一点,AE与CF订交于P,且
AE＝CF．求证：
∠DPA＝∠DPC．（初二）
经典难题（五）
1.设P是边长为1的正△ABC内任一点,L＝PA＋PB＋PC,求证：
≤L＜2．
2.已知：
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA＋PB＋PC的最小值．
3.P为正方形ABCD内的一点,并且PA＝a,PB＝2a,PC＝3a,求正方形的边长．
4.如图,△ABC中,∠ABC＝∠ACB＝800,D.E分离是AB.AC上的点,∠DCA＝300,∠EBA＝200,求∠BED的度数．
经典难题
（一）
1.如下图做GH⊥AB,衔接EO.因为GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG,
即△GHF∽△OGE,可得
=
=
又CO=EO,所以CD=GF得证.
2.如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300,从而得出△PBC是正三角形
3.如下图衔接BC1和AB1分离找个中点F,E.衔接C2F与A2E并延伸订交于Q点,
衔接EB2并延伸交C2Q于H点,衔接FB2并延伸交A2Q于G点,
由A2E=
A1B1=
B1C1=FB2,EB2=
AB=
BC=FC1,又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,
可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,
从而可得∠A2B2C2=900,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.
4.如下图衔接AC并取个中点Q,衔接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN＝∠F.
经典难题
（二）
1.
（1）延伸AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2（GH+HD）=2OM
（2）衔接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证.
3.作OF⊥CD,OG⊥BE,衔接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.
因为
由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE.
又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ,
∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ.
4.过E,C,F点分离作AB地点直线的高EG,CI,FH.可得PQ=
.
由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI.
从而可得PQ=
=
从而得证.
经典难题（三）
1.顺时针扭转△ADE,到△ABG,衔接CG.
因为∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB.
推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形.
∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠AEC=750.
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：
CE=CF.
2.衔接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形.
由AC=CE=2GC=2CH,
可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,
又∠FAE=900+450+150=1500,
从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF.
3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形.
令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.
tan∠BAP=tan∠EPF=
=
可得YZ=XY-X2+XZ,
即Z（Y-X）=X（Y-X）,既得X=Z,得出△ABP≌△PEF,
得到PA＝PF,得证.
经典难题（四）
1.顺时针扭转△ABP600,衔接PQ,则△PBQ是正三角形.
可得△PQC是直角三角形.
所以∠APB=1500.
2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）.
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证.
3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得：
=
即AD•BC=BE•AC,①
又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得
=
即AB•CD=DE•AC,②
由①+②可得:
AB•CD+AD•BC=AC（BE+DE）=AC·BD,得证.
4.过D作AQ⊥AE,AG⊥CF,由
=
=
可得：
=
由AE=FC.
可得DQ=DG,可得∠DPA＝∠DPC（角等分线逆定理）.
经典难题（五）
1.
（1）顺时针扭转△BPC600,可得△PBE为等边三角形.
既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图：
可得最小L=
;
（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F.
因为∠APD>∠ATP=∠ADP,
推出AD>AP①
又BP+DP>BP②
和PF+FC>PC③
又DF=AF④
由①②③④可得：
最大L<2;
由
（1）和
（2）既得：
≤L＜2.
2.顺时针扭转△BPC600,可得△PBE为等边三角形.
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,
即如下图：
可得最小PA+PB+PC=AF.
既得AF=
=
=
=
=
=
.
3.顺时针扭转△ABP900,可得如下图：
既得正方形边长L=
=
.
4.在AB上找一点F,使∠BCF=600,
衔接EF,DG,既得△BGC为等边三角形,
可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF,
得到BE=CF,FG=GE.
推出：
△FGE为等边三角形,可得∠AFE=800,
既得：
∠DFG=400①
又BD=BC=BG,既得∠BGD=800,既得∠DGF=400②
推得：
DF=DG,得到：
△DFE≌△DGE,
从而推得：
∠FED=∠BED=300.
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