相交线与平行线复习及练习题.docx

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相交线与平行线复习及练习题

2、知识点梳理

一、知识定义

邻补角：

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

对顶角：

一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

垂线：

两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

平行线：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同位角、内错角、同旁内角：

同位角：

∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：

∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：

∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

命题：

判断一件事情的语句叫命题。

平移：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

对应点：

平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

三、定理与性质

对顶角的性质：

对顶角相等。

垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

平行公理：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

平行线的性质：

性质1：

两直线平行，同位角相等。

性质2：

两直线平行，内错角相等。

性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：

判定1：

同位角相等，两直线平行。

判定2：

内错角相等，两直线平行。

判定3：

同旁内角相等，两直线平行。

三、经典例题

题型一　互余与互补

例1一个角的余角比它的补角的少20°.则这个角为（　　　）

°　　　　°　　　　°　　　　°

分析　若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.

解　设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.

则根据题意，得

（180°－x）－（90°－x）＝20°.解得：

x＝40°.故应选B.

说明　处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.

题型二　平行线的性质与判定

例2判断题：

1）不相交的两条直线叫做平行线。

　　　　　　　　　　　（　　　）

2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

　　　　　　（　　　）

3）两直线平行，同旁内角相等。

　　　　　　　　　　　　（　　　）

4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

　　　　　　（　　　）

答案：

（1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

（2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

（3）错，应为“两直线平行，同旁内角互补”。

（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

例3已知：

如图1，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（　　　）

°°°°

分析　要求∠2的度数，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.

解　因为l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，

又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B.

说明　本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.

例4如图2，已知直线l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.

分析　如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.

解　因为l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.

又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.

说明　本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.

图3

例5如图3，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（　　）

°　°　　　　　°　　　　　°

分析　要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF∥AB，由有∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.

解　如图3，过∠2的顶点作EF∥AB.所以∠1＝∠AEF，

又因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠3＝∠CEF，

而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A.

　　说明　本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.

例6如图4，AB∥CD ，直线EF分别交AB，CD于E，F两点，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠EFG＝72°，则∠EGF等于（　　）

°°　　°　°

分析　要求∠EGF的大小，由于AB∥CD ，则有∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，而EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以可以求得∠EGF＝54°.

解　因为AB∥CD ，所以∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，

又因为EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以∠BEG＝∠FEG＝54°.故应选B.

说明　求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.

课堂作业：

如图，已知

，

于D，

为

上一点，

于F，

交CA于G.求证

.

例7已知：

如图，AB∥CD，求证：

∠B+∠D=∠BED。

分析：

可以考虑把∠BED变成两个角的和。

如图5，过E点引一条直线EF∥AB，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF∥CD，这可通过已知AB∥CD和EF∥AB得到。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）。

变式1已知：

如图6，AB∥CD，求证：

∠BED=360°-（∠B+∠D）。

分析：

此题与例1的区别在于E点的位置及结论。

我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。

因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。

∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。

变式2已知：

如图7，AB∥CD，求证：

∠BED=∠D-∠B。

分析：

此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。

模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵∠BED=∠FED-∠FEB，

∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。

变式3已知：

如图8，AB∥CD，求证：

∠BED=∠B-∠D。

分析：

此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：

过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。

∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。

即∠BED=∠B-∠D。

例8已知：

如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。

求证：

∠BFE=∠FEC。

证法一：

过F点作FG∥AB，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。

过E点作EH∥CD，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。

∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），

∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又∵EH∥CD（已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠BFE=∠FEC。

证法二：

如图10，延长BF、DC相交于G点。

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE、AB相交于H点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。

证法三：

（如图12）连结BC。

∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE（等式的性质）。

即∠FBC=∠BCE。

∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC（两直线平行，内错角相等）。

题型三　尺规作图

例9已知角α和线段c如图5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.

分析　要作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰长AB＝c，可以先作出底角∠B＝α，再在底角的一边截取BA＝c，然后以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C，即得.

作法

（1）作射线BP，再作∠PBQ＝∠α；

（2）在射线BQ上截取BA＝c；

（3）以点A为圆心，线段c为半径作弧交BP于点C；

（4）连接AC.则△ABC为所求.如图6.

例10如图7，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB（要求保留作图痕迹）.

分析　只要再过点O′作一条射线O′A′，使得∠A′O′B′＝∠AOB即可.

作法

（1）以O为圆心，任意长为半径，画弧，交OA、OB于点C、D；

（2）以O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′B′于点D′；

（3）以D′为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C′；

（4）过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.

说明　在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.

课后作业:

1、选择题

1．下列说法中，正确的是（）

A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;

B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到L的距离一定是1;

C．相等的角是对顶角;D．钝角的补角一定是锐角.

2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）

A．3对B．4对C．5对D．6对

（1）

（2）（3）

3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）

A．40°B．140°C．40°或140°D．不确定

4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）

5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）

A．a∥b，b∥c;B．a⊥b，b⊥c;

C．a⊥c，b∥c;D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等

6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：

（1）∠1=∠5；

（2）∠1=∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）

A．

（1）、

（2）B．

（1）、（3）C．

（1）、（4）D．（3）、（4）

7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）

A．∠1与∠5，∠2与∠6;B．∠3与∠7，∠4与∠8;

C．∠2与∠6，∠3与∠7;D．∠1与∠5，∠4与∠8

8．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，则∠2的度数为（）

A．36°B．54°C．45°D．68°

（4）（5）（6）

9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线L的条数为（）

A．1B．2C．3D．4

10．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为（）

A．65°B．80°C．100°D．115°

11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）

A．30°B．70°C．30°或70°D．100°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上）

13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．

14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：

（1）∵∠1=∠ABC（已知），

∴AD∥______

（2）∵∠3=∠5（已知），

∴AB∥______,

（_______________________________）

（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），

∴_______∥________,

（________________________________）

16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度，∠BOC=___度．

17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE为_________．

（7）（8）（9）

18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．

19．如图9，直线L1∥L2，AB⊥L1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=_______度．

20．如图，∠ABD=∠CBD，DF∥AB，DE∥BC，则∠1与∠2的大小关系是________．

三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22．（7分）如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于点D，∠B与∠B′有什么关系？

为什么？

23．（6分）如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（要求给出两个答案）．

24．（6分）如图，AB∥CD，∠1：

∠2：

∠3=1：

2：

3，说明BA平分∠EBF的道理．

25．（7分）如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度数．

26．（8分）如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

课堂作业答案：

　　22.∠A＝∠F.∵∠1＝∠DGF（对顶角相等）又∠1＝∠2　　∴∠DGF＝∠2　　∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）　∴∠DBA＝∠C（两直线平行，同位角相等）　又∵∠C＝∠D　　∴∠DBA＝∠D　∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行,内错角相等）.

课后作业答案:

1．D

2．D点拨：

图中的邻补角分别是：

∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠AOD，∠COE与∠DOE，∠BOE与∠AOE，∠BOD与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共6对，故选D．

3．D4．C5．C6．A

7．C点拨：

本题的题设是AB∥CD，解答过程中不能误用AD∥BC这个条件．

8．B点拨：

∵AB∥CD，∠1=72°，

∴∠BEF=180°-∠1=108°．

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED=

∠BEF=54°．

∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故选B．

9．C点拨：

如答图，L1，L2两种情况容易考虑到，但受习惯性思维的影响，L3这种情况容易被忽略．

10．B

11．D点拨：

∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．

故选D．

12．C点拨：

由题意，知

或

解之得∠B=30°或70°．故选C．

13．120°

14．

（1）BC；同位角相等，两直线平行

（2）CD；内错角相等，两直线平行

（3）AB；CD；同旁内角互补，两直线平行

15．

（2），（3），（5）

16．115；65

点拨：

设∠BOC=x°，则∠AOC=x°+50°．

∵∠AOC+∠BOC=180°．

∴x+50+x=180，解得x=65．

∴∠AOC=115°，∠BOC=65°．

17．145°

18．102

19．133

点拨：

如答图，延长AB交L2于点F．

∵L1∥L2，AB⊥L1，∴∠BFE=90°．

∴∠FBE=90°-∠1=90°-43°=47°．

∴∠2=180°-∠FBE=133°．

20．∠1=∠2

21．解：

如答图，由邻补角的定义知∠BOC=100°．

∵OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线，

∴∠DOB=

∠AOB=40°，∠BOE=

∠BOC=50°．

∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=40°+50°=90°．

22．解：

相等

理由∵AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠B=∠A′DC，∠A′DC=∠B′，

∴∠B=∠B′．

23．CF∥BE或CF、BE分别为∠BCD、∠CBA的平分线等．

24．解：

设∠1、∠2、∠3分别为x°、2x°、3x°．

∵AB∥CD．

∴由同旁内角互补，得2x+3x=180，解得x=36．

∴∠1=36°，∠2=72°．

∵∠EBG=180°，

∴∠EBA=180°-（∠1+∠2）=72°．

∴∠2=∠EBA．

∴BA平分∠EBF．

25．解：

CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠FCD．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠FCD．

∴DG∥BC．∴∠BCA=∠3=80°．

26．解：

AB∥CD．

理由：

如答图，过点F作FH∥AB，则∠AEF+∠EFH=180°．

∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30°．

又∵EF⊥GF，∴∠HFG=90°-30°=60°．

又∵∠DGF=60°，

∴∠HFG=∠DGF．

∴HF∥CD，从而可得AB∥CD．