ViVi八年级数学上册第一章.docx
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ViVi八年级数学上册第一章
1．1探索勾股定理
（1）
课时内容简介
理解并掌握几种常见的勾股定理验证方
法．
课前热身（上新课之前先来了解一下新知识吧！
）2
1.
测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺
直角边a
直角边b
斜边c
关系
1
2
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系．
课堂练兵（重点、难点可都在这里
哦！
）3
1.观察下图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P的面积＝
平方厘米；正方形Q的面积＝平方厘米；
（每一小方格表示1平方厘米）
正方形R的面积＝平方厘米．
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是．
由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系．
2．对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有，这种关系我们称为勾股定理．显然，勾股定理揭示了直角三角形关系
课后作业（试试你的身手吧！
）
1．知识巩固篇（懂了，不等于会了！
）3
1.如图，是由一个直角三角开和两个正方形组成的，如果大正方形的
面积等于41，AB=5，那么小正方形的边长等于（）
A.36B.16C.6D.4
2．如图，是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积．即AC
＋BC
＝AB
．由此我们进一步发现，任
意直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系．
2．综合应用提高篇（再接再厉，提高
能力！
）2
3．利用图
（1）或图
（2）两个图形中的有关面积的等量关系
都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．
4.读一读：
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．图4-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．图4-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就．
图4-1图4-2
1．1探索勾股定理
（2）
课时内容简介
能利用勾股定理去探求直角三角形间的三边关系（知道其中的两边，求第三边），并能利用勾股定理解决一些简单的实际问题。
课前热身（上新课之前先来了解一下新知识吧！
）2
1.如图1，是由一个直角三角开和两个正方形组成的，如果大正方形的面积等于41，AB=5，那么小正方形的边长等于（）
A.36B.16C.6D.4
2.已知等腰三角形的一条
腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．
课堂练兵（重点、难点可都在这里哦！
）3
1.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，半小时后它们之间的距离为（）
A.14海里B.10海里C.15海里D.28海里
2．佳惠从家到学校时，先向正南方向走了150米，接着向正东方向走了200米，则佳惠家离学校的最短距离为________米．
3．如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条长12m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
课后作业（试试你的身手吧！
）
1．知识巩固篇（懂
了，不等于会了！
）3
1.如图5，在底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有A、B两点,在A点，有一只小蚂蚁，现在向点B处爬行，则小蚂蚁爬
行的最短距离为（）.
A.4cm
B.8cmC.10cmD.5cm
2.图3是边长为1m的小正方形地砖铺成的地面示意图，小明沿图中所示的折线从点A到
B，再走到点C，最后回到点A，所走的路程为________m.
3.在一个长6米，宽3米，高2米的房间里放进一根竹竿，则竹竿的最大长度为____米.
2．综合应用提高篇（再接再厉，提高能力！
）2
4．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，
得到图2所示的“数学风车”，试分析这个风车的外围周长．
5．下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4,
请你求出第三边的平方．”
同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手说:
“第三边长的平方是25”;王华同学说:
“第三边长的平方是7．”还有一些同学也提出了不同的看法……
（1）假如你也在课堂上,你的意见如何?
为什么?
（2）通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
（用一句话表示）
1.1探索勾股定理（3）
一、目标导航
知识目标：
掌握勾股定理和它的简单应用．
能力目标：
经历运用割补的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯．
二、基础过关
1．直角三角形的两边长分别是3cm、4cm，则第三边长是．
2．等腰直角三角形的斜边长是12cm，它的面积是cm2．
3．一个长350m，宽120m的长方形公园ABCD，如果某人要从公园的一角A走到另一角C，那么他至少要走米．
4．如图，以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A、B、C之间的关系是：
___________．
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．
4题图5题图6题图10题图
6．如图，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（）
A．10米B．15米C．25米D．30米
7．已知有不重合的两点A和B，以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（）
A．2个B．4个C．6个D．8个
8．若边长分别为2，4，x的三角形为直角三角形，则x的可能值为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（）
A．2倍B．4倍C．2.5倍D．3倍
10．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜a＜c
11．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（）
A．60∶13B．5∶12C．12∶13D．60∶169
12．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（）
A．2nB．n＋1C．n2－1D．n2＋1
13．在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）a＝9，b＝12，求c；
（2）a＝9，c＝41，求b；（3）b＝24，c＝26，求a．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90○，CD⊥AB于D，若AC＝8，BC＝15，求CD的长．
15．求斜边是29m，一条直角边是21m的直角三角形土地的面积．
三、能力提升
16．如图，一个长为2.5m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为0.7m，如果梯子的顶端下滑0.4m，那么梯子的底端也将右滑0.4m吗？
为什么？
17．有一条24cm长的铁丝弯成一个直角三角形，要使它的一条直角边比另一条直角边长2cm，应该怎样弯呢？
18．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
四、聚沙成塔
从课本上，我们已经知道，中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（弦图），由形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．他利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
据说，古印度的数学家兼天文学家婆什迦罗利用如下图的拼图证明了勾股定理．他是如何证明的呢？
试一试，看看你能否对此作出解释．
1．2能得到直角三角形吗
（1）
课时内容简介
能通过三角形三边的
数
量关系，判定三角形是否为
直角三角形；知道什么事勾股数及其应用；掌握直角三角形的判别条件，并会简单的应用。
课前热身（上新课之前先来了解一下新知识吧！
）2
1．古埃及人曾经用下面的方法画直角：
将一根长绳打上等距离的1
3个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗?
这是因为：
如果三角形的三边长a、b、c有关系：
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是．
课堂练兵（重点、难点可都在这里哦！
）3
1．以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（）
A．5cm，12cm，13cmB．5cm，8cm，11cm
C．5cm，13cm，11cmD．8cm，13cm，11cm
2．三角形的三边长a、b、c满足
，则此三角形是（）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
3．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，且周长为60cm，则它的面积是__________．
4．如图，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，因此，从离地面6m的处向地面拉一条长6.5m的钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5m，请问：
张师
傅的安装方法是否符合要求？
请说明理由．
课后作业（试试你的身手吧！
）
1．知识
巩固篇（懂了，不等于会了！
）3
1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）
A．5，6，7B．1，4，9
C．5，12，13D．5，11，12
2．如果△ABC的三边分别为a、b、c，满足
，则这个三角形是_____三角形，其中斜边为______．
3．根据三角形的三边
，
，
的长，判断三角形是不是直角三角形：
（1）
＝11，
＝60，
＝61
（2）
＝
，
＝1，
＝
2．综合应用提高篇（再接再厉，提高能力！
）2
4.已知三角形的两边长为3cm，4cm，而第三边是奇数，则第三边为cm；其中第三边等于cm时，这是一个直角三角形.
5．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．（提示,连结AC）
1.2能得到直角三角形吗
（2）
A组
1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长．
（1）8，15，17；
（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．
2.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?
为什么?
3.下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗?
任意倍呢?
说说你的理由．
2倍
3倍
4倍
10倍
3,4,5
6，8，10
__，＿，＿
＿，＿，＿
＿，＿，＿
5,12,13
＿，＿，＿
15，36，39
＿，＿，＿
＿，＿，＿
8,15,17
＿，＿，＿
＿，＿，＿
32，60，68
＿，＿，＿
7,24,25
＿，＿，＿
＿，＿，＿
＿，＿，＿
70，240，250
4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）
A 直角三角形B 锐角三角形 C 钝角三角形D 不能确定
5．如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，说说你的理由．
B组
北
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验
船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断
船转弯后，是否沿正西方向航行？
7.如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．
（1）在方格纸上，以线段AB为边画正方形并计算所画正方形
的面积，解释你的计算方法；
（2）你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13
个单位的正方形吗?
C组
8．已知：
在∆ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求证：
AB＝AC.
9．美国哥伦比亚大学普林顿收藏馆收藏了一块很古怪的泥板，这块泥板是在巴比伦挖掘出来的，编号322．考古学家相信这块泥板是公元前18世纪的成品．泥板上有三列文字，没有人能解释．直至1945年，Neugebauer和Sachs经过细心考究，发现泥板上是三列数字．你知道这些数字间的关系吗?
借助计算器进行探索.
a bc
120119169
345633674825
4800460l6649
13500127091854l
726597
36031948l
2700229l3541
普林顿322号（Plimpton322）960799l249
600481769
6480496l8161
604575
2400l6792929
240161289
2700177l3229
9056106
选做题：
10、如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别AB=5km,BC=12km,AC=13km，要从B修一条公路BD直达AC。
已知公路的造价为26000元/km,求修这条公路的最低造价是多少？
1.3蚂蚁怎样走最近？
（1）
题型1、最短线路问题
例1：
有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（π的值取3）.
如图,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B点的最短路线是什么?
你画对了吗?
B
A
例2、如图，已知圆柱体底面直径AB为2cm，高为4cm
M
（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。
（2）如果蚂蚁从A点到BF边中点H，求蚂蚁爬行的距离。
例3、如图，已知正方体的棱长为2cm
（1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。
（2）如果蚂蚁从A点到G点，求蚂蚁爬行的距离。
（3）如果蚂蚁从A点到CG边中点M，求蚂蚁爬行
的距离。
●M
变式一：
将正方体改为有一组对面为正方形的长方体，长为4cm，宽2cm，高2cm，试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。
变式二：
将正方体改为长方体，长为AB=4cm，宽BC=2cm，高GC=3cm，
试求上述蚂蚁行走的对应路线的长。
题型2、数学与生活
例4、如图，某工厂需要这样的一个零件，工人师傅在生产过程中不知道如何计算AB之间的距离，请你帮助工人师傅计算出矩形零件上两孔中心A、B的距离。
变式练习：
如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了几步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
变式练习2、某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？
1.3蚂蚁怎样走最近？
（2）
一、基础达标:
1．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）
A．600米B.800米C.1000米D.不能确定
2．任意三角形的三条边必须满足________．
3.直角三角形两锐角，三边满足.
4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=14，b=48，则c=________；
②若a=8，c=17，则b=_______.
5．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
6．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则S3=____．
7．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以20cm/s的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要分的时间.
8．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你计算OA9的长.
二、综合发展:
9．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形如图，其中正确的是（）
A.B.C.D.
10.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）
A.45mB.40mC.50mD.56m.
11.如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为.
12.一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放与杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为___________cm.
13．如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8，
（1）求底边BC的长；
（2）S△ABC．
14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
15．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
1.3蚂蚁怎样走最近？
（3）
1.现有两根木棒，长度分别为44cm和55cm，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）cm
A.55B.44C.33D.22
2.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）
A.45mB.40mC.50mD.56m.
3.如图，已知雕塑底座的AB边长160cm,AD为120cm,要使AB垂直于AD,BD的长应为（）
A.180cmB.200cmC.220cmD.240cm
4.如图，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（）
A.14mB.13mC.12mD.10m
﹡5.如图，在高为5m,坡长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）
A.17mB.18mC.25mD.26m
﹡6.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（）
A.8B.5C.3D.2
﹡7.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一会，再回到家里。
已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（）
A.正东方向B.正南方向C.正西方向D.正北方向
﹡8.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是（）
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.以上答案都不对
二、填空题
9.一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.
﹡10.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行15千米，此时轮船与A点的距离为______。
11.如图，一个高2米，宽3米的大门上，在相对角的定点间加了一块加固木板，则以这块加固木板为边长的正方形的面积为______.
12.在△ABC中，∠C=90°，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以20cm/s的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要分钟的时间.
13.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
﹡14.在一个长6米，宽3米，高2米的房间里放进一根竹竿，这根竹竿最长是_______米。
﹡15.如图，某农户有一块直角三角形地，两直角边长分别为15米和36米，靠近这块地的斜边有一个长方形养鱼塘，已知鱼塘宽5米，则这个鱼塘的面积是________。
三、解答题
﹡﹡16.学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足
或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
（1）画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
______mm；
_______mm；较长的一条边长
_______mm。
比较
（填写“＞”,“＜”,或“＝”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是
______mm；
_______mm；较长的一条边长
_______mm。
比较
（填写“＞”,“＜”,或“＝”）；
（3）根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:
；
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