第二十四章 圆 修复的.docx

第二十四章 圆 修复的.docx

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第二十四章圆修复的

第二十四章圆

24.1.1圆

学习目标：

【知识与技能】

理解圆的定义及弧、弦、半圆、直径等相关概念。

【过程与方法】

经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，养成自主探究、合作交流的良好习惯。

【情感、态度与价值观】

利用我国悠久的数学研究历史，对学生进行爱国主义熏陶；通过圆的完美性，让学生进行美的体验。

【重点】

与圆有关的概念

【难点】

圆的概念的理解

学习过程：

一、课前准备：

1、举出生活中常见的圆的图案。

2、研读课本P78~P79内容，理解记忆与圆有关的概念。

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做，线段OA叫做。

②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是

的点的集合。

③连接圆上任意两点的叫做弦，经过圆心的弦叫做；圆上任意两点叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做，大于的弧叫做优弧，小于的弧叫做劣弧。

二、自主学习：

1、以点A为圆心，可以画个圆；以已知线段AB的长为半径可以画个圆；

以点A为圆心，AB的长为半径，可以画个圆。

2、到定点O的距离为5的点的集合是以为圆心，为半径的圆。

3、⊙O的半径为2cm，则它的弦长d的取值范围是。

4、⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是。

5、如图，点A、B、C、D都在⊙O上.在图中画出以这4点为端点的各条弦.这样的弦共有多少条？

6、

（1）在图中，画出⊙O的两条直径;

（2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由.

三、巩固练习：

1、过圆上一点可以作圆的最长弦有（）条.

A.1B.2C.3D.无数条

2、一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,则这个圆的半径是______cm.

3、图中有____条直径,____条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有____条,劣弧有____条.

4、如图,⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线上，图中弦的条数为_____。

5题

5、如右图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中心，若AC=10cm，求OD的长。

6、如图，M、N为线段AB上的两个三等分点，点A、B在⊙O上，

求证：

∠OMN=∠ONM。

24.1.2垂直于弦的直径Ⅰ

学习目标：

【知识与技能】

1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论

2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题

3了解拱高、弦心距等概念

【过程与方法】

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法

【情感、态度与价值观】

在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的

新意识，良好的运用数学

【重点】

垂径定理及其推论

【难点】

垂径定理及其推论

学习过程：

一、课前准备：

1、圆是对称图形，任何一条都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为。

2、垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弦，即一条直线如果满足：

①；②；那么可以推出：

③；

④；⑤。

3、弦（）的直径垂直于弦，并且弦所对的两条弧。

二、自主学习：

1、如图，弦AB⊥直径CD于E，写出图中所有的弧；

优弧有：

；劣弧有：

；

最长的弦是：

；相等的线段有：

；

相等的弧有：

；此图是轴对称图形吗？

如果是，

对称轴是什么？

2、已知：

在⊙O中,CD是直径，AB是弦，垂足为E.求证：

AE=BE，

=

，

=

。

3、某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？

三、巩固练习：

1、在⊙O中，直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为。

2、在⊙O中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为。

3、⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________.

4、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长。

5、如图,A、B、C在圆上,且AB=AC=5厘米,BC=8厘米，求圆的半径。

四、拓展提高：

1、圆的半径为3,则弦长x的取值范围是__________.

2、⊙O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点C是AB的中点，则OC的长为。

3、在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°,那么弦AB的弦心距是　　　　

4、已知：

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。

求证：

AC=BD。

4、已知⊙O的直径是５０cm，⊙O的两条平行弦AB=４０cm，CD=４８cm，求弦AB与CD之间的距离。

（①AB、ＣＤ在点O两侧②AB、ＣＤ在点O同侧）

24.1.2垂直于弦的直径Ⅱ

自学目标：

1、进一步理解和掌握垂经定理。

2、能熟练的运用垂经定理及其推论进行计算和推理。

重、难点：

能熟练的运用垂经定理及其推论进行计算和推理相关问题。

自学过程：

一、课前准备：

1、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长是、最长弦的长为.

2、已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，则⊙O的半径为。

3、已知在⊙O中,弦AB长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

二、自主学习：

1、证明：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

①已知：

②求证：

③证明：

2、如图，⊙O中CD是弦，AB是直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，

求证：

CE＝DF。

、巩固练习：

1、垂经定理：

2、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　　　　　。

3、如图①，AB为⊙O的直径，E是

中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

4、如图②，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

①②③

5、如图③，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

6、已知：

如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：

AC=BD．

7、AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．

24.1.3弧、弦、圆心角

学习目标：

【知识与技能】

1理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算

2弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据

【过程与方法】

经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系

【情感、态度与价值观】

学生通在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其成立的喜悦

【重点】

弧、弦、圆心角之间的相等关系

【难点】

定理的证明

一、课前准备：

1、顶点在的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做；能够的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的性。

2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦也。

3、在同圆或等圆中，两个，两条，两条中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

4、如右图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，

⑴如果AB=CD，那么，；

⑵如果

=

，那么，；

⑶如果∠AOB=∠COD，那么，。

二、自主学习：

1、如图，AD是⊙O的直径，AB=CD，∠CAB=1200，根据以上条件写出三个正确结论。

（半径相等除外）

⑴

⑵

⑶

2、如图,在⊙O中，

=

，∠ACB=60°，

求证：

∠AOB=∠BOC=∠AOC。

3、如图，⑴已知

=

求证：

AB=CD。

⑵如果AD=BC，求证：

AB=CD。

三、巩固练习：

1、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4，则弦AB所对的圆心角为。

2、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为。

3、如图，在⊙O中，

=

，∠C=75°，求∠A的度数。

4、已知：

如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？

为什么？

5、如图，AB是⊙O的直径，

=

=

，∠COD=35°，求∠AOE的度数。

6、如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE=DF，连结OE、OF，并且它们的延长交⊙O于点A、B。

（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；

（2）求证：

=

。

24.1.4圆周角

学习目标：

【知识与技能】

理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题

【过程与方法】

经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题

【情感、态度与价值观】

在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。

【重点】

圆周角及圆周角定理

【难点】

圆周角定理的应用学习过程

自学过程：

一、课前准备：

1、顶点在上，并且两边都与圆的角叫做圆周角。

2、在同圆或等圆中，或所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的的一半。

3、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也。

4、半圆（或直径）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是。

5、如图

（1）所示，点A、B、C在⊙O上，连接OA、OB，若∠ABO=250，则∠C=。

6、如图

（2）所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO=320，则∠COB=。

7、如图（3）所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD=5cm，则BE=。

8、如图（4）所示，点A、B、C在⊙O上，已知∠B=600，则∠CAO=。

二、自主学习：

1、如图（a）所示，点A、B、C在圆周上，∠A=650，求∠D的度数。

2、如图（b）所示，已知圆心角∠BOC=1000，点A为优弧

上一点，求圆周角∠BAC的度数。

3、如图（c）所示，在⊙O中，∠AOB=1000，C为优弧

的中点，求∠CAB的度数。

4、如图（d）所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC=320，D是

的中点，那么∠DAC的度数是多少？

三、巩固练习：

1、如图,⊙O的直径AB为10cm，弦AC为６cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.

2、OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC。

求证：

∠ACB=2∠BAC。

3、如图，在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A。

24.2.1点和圆的位置关系

学习目标：

【知识与技能】

弄清并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系，探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆方法；了解运用“反证法”证明命题的思想方法

【过程与方法】

通过生活中的实际事例，探求点和圆三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想

【情感、态度与价值观】

通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中的射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在我们身边。

从而更加热爱生活，激发学习数学的兴趣。

【重点】

⑴圆的三种位置关系；⑵三点的圆；⑶证法；

【难点】

1线和圆的三种位置关系及数量间的关系；⑵反证法；

一、课前准备：

1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：

点P在圆外

；点P在圆上

；点P在圆内

。

2、经过已知点A可以作个圆，经过两个已知点A、B可以作个圆，它们的圆心在上；经过不在同一条直线上的A、B、C三点可以作个圆。

3、经过三角形的的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边的交点，叫做这个三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形；

直角三角形的外心在三角形；钝角三角形的外心在三角形；任意三角形的外接圆有个，而一个圆的内接三角形有个。

4、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到⊙O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是。

5、在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是。

6、△ABC内接于⊙O，若∠OAB=280，则∠C的度数是。

二、自主学习：

1、用反证法证明命题的一半步骤：

①

②

③

2、经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

（用反证法证明）

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是怎样的？

4、如图，⊙O的半径r=10，圆心O到直线l的距离OD=6，在直线l上有A、B、C三点，AD=6，BD=8，CD=5

，问A、B、C三点与⊙O的位置关系是怎样的？

三、巩固练习：

1、已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的。

2、已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足。

3、已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的。

4、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的外接圆半径。

5、如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D，连接BD，求证：

DB=DC.

24.2.2直线和圆的位置关系Ⅰ

学习目标：

【知识与技能】

了解直线和圆的三种位置关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线和圆交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法。

了解切线，割线的概念。

【过程与方法】

通过生活中的实际事例，探求直线和圆三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合、分类讨论等数学思想

【情感、态度与价值观】

通过本节知识的操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。

【重点】

⑴直线与圆的三种位置关系；⑵会正确判断直线和圆的位置关系。

【难点】

会正确判断直线和圆的位置关系

自学过程：

一、课前准备：

1、直线和圆有公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的。

2、直线和圆有公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的；这个点叫做

3、直线和圆有公共点时，直线和圆相离。

4、设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：

直线l和⊙O相交

；

直线l和⊙O相切

；直线l和⊙O相离

。

5、在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为。

6、已知⊙O的半径r=3cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是。

7、已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是。

二、自主学习：

1、已知⊙O的半径是3cm，直线l上有一点P到O的距离为3cm，试确定直线l和⊙O的位置关系。

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？

（分相切和相交两类讨论）

3、在坐标平面上有两点A（5，2），B（2，5），以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系。

三、课堂巩固：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。

①当r满足______________时，⊙C与直线AB相离。

②当r满足______________时，⊙C与直线AB相切。

③当r满足______________时，⊙C与直线AB相交。

2、已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是．直线a与⊙O的公共点个数是．

3、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是．

4、已知⊙O的直径是6cm，圆心O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是．

5、已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d-3|+（6-2r）2=0.试判断直线与⊙O的位置关系。

6、在RtΔABC中，∠C=90º，AC=4cm，BC=3cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？

为什么？

四、拓展提高：

1、设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r，d，r是方程（m+9）x2－（m+6）x+1=0的两根,且直线与⊙O相切时,求m的值?

2、如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动，①当⊙P和x轴相切时，写出点P坐标。

②当⊙P和y轴相切时，写出点P坐标。

③⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？

若能写出点P坐标；若不能，说明理由。

24.2.2直线和圆的位置关系Ⅱ

学习目标：

【知识与技能】

1、了解切线的概念,掌握切线的性质定理和判定定理

2、会过圆上一点画圆的切线

【过程与方法】

经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯

【情感、态度与价值观】

体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的确定性

【重点】

切线的性质定理和判定定理

【难点】

切线的性质定理和判定定理

学习过程：

一、课前准备：

1、经过并且的直线是圆的切线。

2、切线的性质有：

①切线和圆只有公共点；②切线和圆心的距离等于；③圆的切线过切点的半径。

3、当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接

和，得到半径，那么半径切线。

4、如图

（1），∠ACB=600，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是cm。

5、如图

（2），直线AB、CD相交于点O，∠AOC=300，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过秒后⊙P与直线CD相切。

6、如图（3），以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为cm。

7、如图（4），AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O与C，若∠A=250，则∠D＝。

二、自主学习：

1、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？

若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由。

2、如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。

（1）求证：

DB为⊙O的切线。

（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长。

三、巩固练习：

1、如图

（1），已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB=3cm，PB=4cm，则BC=。

2、如图

（2），BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知BC=10，AD=4，那么直线CE与以点O为圆心，

为半径的圆的位置关系是。

3、如图（3），AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于点D，DE⊥AC于E，连接AD，则下面结论正确有

①AD⊥BC②∠EDA=∠B③OA=

AC④DE是⊙O的切线

4、如图（4），AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD=2，TC=3，则⊙O的半径是

5、如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=600，

求∠C的度数。

6、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，

（1）求证：

点E是

的中点；

（2）求证：

CD是⊙O的切线。

24.2.2直线和圆的位置关系Ⅲ

学习目标：

【知识与技能】

1、掌握切线长的概念及切线长定理

2、掌握三角形的内切圆及内心等概念

3、会作三角形的内切圆

【过程与方法】

1、利用圆的轴对称性帮助探索切线长的特征

2、结合求三角形内面积最大的圆的问题，给出了三角形的内切圆和内心的概念

3、类比思想、数形结合、方程思想的运用

【情感、态度与价值观】

通过操作、实验、发现、证明等数学活动，探索数学结论，激发学生学习数学的兴趣

【重点】

切线长定理

【难点】

内切圆、内心的概念及运用

学习过程：

一、课前准备：

1、经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长叫做切线长。

2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线平分

的夹角，这就是切线长定理。

3、与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆。

4、三角形内切圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的，它到三边的距离。

5、如图

（1），PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C，图中互相垂直的的线段共有对。

6、如图

（2），PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB=600，则∠P=度。

7、如图（3），PA、PB分别切⊙O于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在

上，若PA长为2，则△PEF的周长是。

8、⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∠DOB=730，∠DOE=1200，则∠DOF=，∠C=，∠A=。

二、自主学习:

1、如图，直角梯形ABCD中，∠A=900，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB=12cm，梯形面积为120cm2，求CD的长。

2、如图，已知⊙O是Rt△ABC（∠C=900）的内切圆，切点分别为D、E、F。

（1）求证：

四边形ODCE是正方形。

（2）设BC=a，AC=b，AB=c，求⊙O的半径r。

三、巩固练习：

1、如图

（1），Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆半径r=。

2、如图

（2），AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC=。

3、如图（3），AB、AC与⊙O相切于B、C两点，∠A=500，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC=。

4、如图（4），点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=1400，

则∠BIC=。

5、如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=900，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB，求证：

PB是⊙O的切线。

6、已知,如图,D（0,1）,⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负半轴于C点,过C点的直线:

y=－2x－4与y轴交于P.⑴试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由.⑵判断在直线PC上是否存