实验5线性代数方程组的数值解法.docx
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实验5线性代数方程组的数值解法
实验5线性代数方程组的数值解法
化工系分0班2010011805张亚清
【实验目的】
1、学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；
2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
【实验内容】
1、题目3
已知方程组Ax=b，其中
，定义为
试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
实验要求：
（1）选取不同的初始向量
和不同的方程组右端向量b，给出迭代误差要求，用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？
若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；
（2）取定右端向量b和初始向量
，将A的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用雅克比迭代法计算，要求迭代误差满足
，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
【问题分析】
对于线性方程组Ax=b，满足
（i=1,2,...,n）,将A分解为A=D-L-U，则雅克比迭代公式等价于如下的矩阵形式
或
。
类似的，Ax=b的高斯-赛德尔迭代公式等价于如下矩阵形式
。
【问题解答】
（1）选取初始向量
，
，迭代要求为
。
将A按A=D-L-U分解为如下三个矩阵：
①对方程组进行雅克比迭代，利用MATLAB编程计算。
源程序为：
functionx=jacobi（A,x0,b）
D=diag（diag（A））;
L=-tril（A,-1）;
U=-tril（A,1）;
B=D\（L+U）;
f=D\b;
x（:
1）=x0;
fork=1:
50
x（:
k+1）=B*x（:
k）+f;
Y=x（:
k+1）-x（:
k）;
n=norm（Y,inf）;
ifn<10^（-4）
break;
end
end
x0=ones（20,1）;
b=ones（20,1）;
A1=sparse（1:
20,1:
20,3,20,20）;
A2=sparse（2:
20,1:
19,-1/2,20,20）;
A3=sparse（1:
19,2:
20,-1/2,20,20）;
A4=sparse（3:
20,1:
18,-1/4,20,20）;
A5=sparse（1:
18,3:
20,-1/4,20,20）;
AA=A1+A2+A3+A4+A5;
A=full（AA）;%得到题目中的矩阵A
x=jacobi（A,x0,b）
1、由MATLAB计算得到初始向量
，
，迭代要求为
时，迭代次数为12次，每次雅克比迭代后的结果如下表：
k
0
1
2
3
4
5
6
X的各分量（雅克比迭代法）
1.00000
0.58333
0.52778
0.49942
0.48958
0.48514
0.48324
1.00000
0.75000
0.63889
0.60243
0.58603
0.57916
0.57605
1.00000
0.83333
0.71528
0.67014
0.64959
0.64054
0.63640
1.00000
0.83333
0.74306
0.69329
0.67159
0.66119
0.65640
1.00000
0.83333
0.75000
0.70428
0.68171
0.67091
0.66572
1.00000
0.83333
0.75000
0.70775
0.68557
0.67472
0.66937
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68707
0.67627
0.67092
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68745
0.67685
0.67153
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68750
0.67704
0.67177
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68750
0.67708
0.67184
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68750
0.67708
0.67184
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68750
0.67704
0.67177
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68745
0.67685
0.67153
1.00000
0.83333
0.75000
0.70833
0.68707
0.67627
0.67092
1.00000
0.83333
0.75000
0.70775
0.68557
0.67472
0.66937
1.00000
0.83333
0.75000
0.70428
0.68171
0.67091
0.66572
1.00000
0.83333
0.74306
0.69329
0.67159
0.66119
0.65640
1.00000
0.83333
0.71528
0.67014
0.64959
0.64054
0.63640
1.00000
0.75000
0.63889
0.60243
0.58603
0.57916
0.57605
1.00000
0.58333
0.52778
0.49942
0.48958
0.48514
0.48324
k
7
8
9
10
11
12
X的各分量（雅克比迭代法）
0.48237
0.48198
0.48180
0.48171
0.48167
0.48165
0.57464
0.57399
0.57369
0.57354
0.57348
0.57344
0.63449
0.63360
0.63318
0.63298
0.63289
0.63284
0.65414
0.65307
0.65257
0.65232
0.65221
0.65215
0.66324
0.66205
0.66148
0.66120
0.66107
0.66101
0.66677
0.66550
0.66489
0.66459
0.66445
0.66438
0.66827
0.66697
0.66633
0.66602
0.66587
0.66579
0.66888
0.66757
0.66691
0.66659
0.66643
0.66635
0.66913
0.66781
0.66715
0.66682
0.66666
0.66658
0.66921
0.66789
0.66723
0.66690
0.66674
0.66666
0.66921
0.66789
0.66723
0.66690
0.66674
0.66666
0.66913
0.66781
0.66715
0.66682
0.66666
0.66658
0.66888
0.66757
0.66691
0.66659
0.66643
0.66635
0.66827
0.66697
0.66633
0.66602
0.66587
0.66579
0.66677
0.66550
0.66489
0.66459
0.66445
0.66438
0.66324
0.66205
0.66148
0.66120
0.66107
0.66101
0.65414
0.65307
0.65257
0.65232
0.65221
0.65215
0.63449
0.63360
0.63318
0.63298
0.63289
0.63284
0.57464
0.57399
0.57369
0.57354
0.57348
0.57344
0.48237
0.48198
0.48180
0.48171
0.48167
0.48165
2、由MATLAB计算得到初始向量
，
，迭代要求为
时，迭代次数为13次，每次雅克比迭代后的结果如下表：
k
0
1
2
3
4
5
6
X的各分量（雅克比迭代法）
0.00000
0.33333
0.41667
0.45370
0.46894
0.47582
0.47893
0.00000
0.33333
0.47222
0.52778
0.55266
0.56379
0.56891
0.00000
0.33333
0.50000
0.57176
0.60455
0.61957
0.62656
0.00000
0.33333
0.50000
0.58102
0.61844
0.63616
0.64450
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62365
0.64300
0.65231
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62481
0.64506
0.65495
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64569
0.65588
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64582
0.65616
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64583
0.65624
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64583
0.65625
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64583
0.65625
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64583
0.65624
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64582
0.65616
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62500
0.64569
0.65588
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62481
0.64506
0.65495
0.00000
0.33333
0.50000
0.58333
0.62365
0.64300
0.65231
0.00000
0.33333
0.50000
0.58102
0.61844
0.63616
0.64450
0.00000
0.33333
0.50000
0.57176
0.60455
0.61957
0.62656
0.00000
0.33333
0.47222
0.52778
0.55266
0.56379
0.56891
0.00000
0.33333
0.41667
0.45370
0.46894
0.47582
0.47893
k
7
8
9
10
11
12
13
X的各分量（雅克比迭代法）
0.48037
0.48103
0.48135
0.48150
0.48157
0.48160
0.48162
0.57129
0.57241
0.57293
0.57318
0.57330
0.57336
0.57339
0.62984
0.63139
0.63212
0.63248
0.63264
0.63273
0.63276
0.64847
0.65036
0.65126
0.65170
0.65191
0.65201
0.65206
0.65678
0.65893
0.65997
0.66047
0.66072
0.66083
0.66089
0.65975
0.66209
0.66323
0.66378
0.66405
0.66418
0.66425
0.66090
0.66336
0.66456
0.66515
0.66544
0.66558
0.66565
0.66129
0.66382
0.66507
0.66568
0.66598
0.66613
0.66621
0.66141
0.66398
0.66526
0.66589
0.66620
0.66635
0.66643
0.66145
0.66403
0.66532
0.66596
0.66627
0.66643
0.66650
0.66145
0.66403
0.66532
0.66596
0.66627
0.66643
0.66650
0.66141
0.66398
0.66526
0.66589
0.66620
0.66635
0.66643
0.66129
0.66382
0.66507
0.66568
0.66598
0.66613
0.66621
0.66090
0.66336
0.66456
0.66515
0.66544
0.66558
0.66565
0.65975
0.66209
0.66323
0.66378
0.66405
0.66418
0.66425
0.65678
0.65893
0.65997
0.66047
0.66072
0.66083
0.66089
0.64847
0.65036
0.65126
0.65170
0.65191
0.65201
0.65206
0.62984
0.63139
0.63212
0.63248
0.63264
0.63273
0.63276
0.57129
0.57241
0.57293
0.57318
0.57330
0.57336
0.57339
0.48037
0.48103
0.48135
0.48150
0.48157
0.48160
0.48162
3、由MATLAB计算得到初始向量
，
，迭代要求为
时，迭代次数为16次。
（数据略）
②对方程组进行高斯-赛德尔迭代，利用MATLAB编程计算。
源程序为：
functionx=gauss（A,x0,b）
D=diag（diag（A））;
L=-tril（A,-1）;
U=-triu（A,1）;
B=（D-L）\U;
f=（D-L）\b;
x（:
1）=x0;
fork=1:
50
x（:
k+1）=B*x（:
k）+f;
Y=x（:
k+1）-x（:
k）;
n=norm（Y,inf）;
ifn<10^（-4）
break;
end
end
x0=ones（20,1）;
b=ones（20,1）;
B=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];
A1=sparse（1:
20,1:
20,3,20,20）;
A2=sparse（2:
20,1:
19,-1/2,20,20）;
A3=sparse（1:
19,2:
20,-1/2,20,20）;
A4=sparse（3:
20,1:
18,-1/4,20,20）;
A5=sparse（1:
18,3:
20,-1/4,20,20）;
AA=A1+A2+A3+A4+A5;
A=full（AA）;%得到题目中的矩阵A
x=gauss（A,x0,b）
1、由MATLAB计算得到初始向量
，
，迭代要求为
时，每次高斯-赛德尔迭代后的结果如下表：
k
0
1
2
3
4
5
6
X的各分量（高斯-赛德尔迭代法）
1.00000
0.58333
0.50887
0.49005
0.48434
0.48252
0.48193
1.00000
0.68056
0.60606
0.58382
0.57681
0.57453
0.57378
1.00000
0.74537
0.66853
0.64442
0.63662
0.63406
0.63322
1.00000
0.76427
0.68872
0.66415
0.65608
0.65342
0.65254
1.00000
0.77283
0.69789
0.67318
0.66501
0.66229
0.66139
1.00000
0.77583
0.70134
0.67661
0.66840
0.66567
0.66476
1.00000
0.77704
0.70277
0.67805
0.66983
0.66709
0.66618
1.00000
0.77749
0.70333
0.67862
0.67039
0.66765
0.66674
1.00000
0.77767
0.70355
0.67886
0.67062
0.66788
0.66697
1.00000
0.77774
0.70364
0.67895
0.67072
0.66797
0.66706
1.00000
0.77776
0.70368
0.67899
0.67076
0.66801
0.66707
1.00000
0.77777
0.70369
0.67900
0.67077
0.66798
0.66698
1.00000
0.77778
0.70370
0.67901
0.67073
0.66777
0.66671
1.00000
0.77778
0.70370
0.67901
0.67031
0.66708
0.66607
1.00000
0.77778
0.70370
0.67843
0.66859
0.66538
0.66456
1.00000
0.77778
0.70370
0.67467
0.66425
0.66168
0.66111
1.00000
0.77778
0.69676
0.66244
0.65419
0.65255
0.65220
1.00000
0.77778
0.66667
0.63856
0.63395
0.63304
0.63285
1.00000
0.69444
0.58816
0.57612
0.57394
0.57352
0.57344
1.00000
0.51389
0.48691
0.48257
0.48182
0.48167
0.48164
k
7
8
9
X的各分量（高斯-赛德尔迭代法）
0.48173
0.48167
0.48165
0.57354
0.57346
0.57343
0.63294
0.63285
0.63282
0.65225
0.65215
0.65212
0.66109
0.66099
0.66096
0.66446
0.66436
0.66433
0.66587
0.66577
0.66574
0.66643
0.66633
0.66629
0.66666
0.66655
0.66652
0.66674
0.66663
0.66659
0.66673
0.66662
0.66659
0.66664
0.66654
0.66651
0.66639
0.66631
0.66628
0.66581
0.66574
0.66572
0.66437
0.66432
0.66431
0.66098
0.66095
0.66095
0.65212
0.65211
0.65210
0.63281
0.63280
0.63280
0.57342
0.57342
0.57341
0.48164
0.48164
0.48164
2、由MATLAB计算得到初始向量
，
，迭代要求为
时，每次高斯-赛德尔迭代后的结果如下表：
k
0
1
2
3
4
5
6
X的各分量（高斯-赛德尔迭代法）
0.00000
0.33333
0.43364
0.46588
0.47643
0.47991
0.48106
0.00000
0.38889
0.51299
0.55347
0.56680
0.57122
0.57268
0.00000
0.42593
0.56456
0.61019
0.62529
0.63030
0.63197
0.00000
0.43673
0.58072
0.62839
0.64422
0.64948
0.65123
0.00000
0.44162
0.58806
0.63670
0.65287
0.65826
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