动态规划作业完整.docx
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动态规划作业完整
1、
动态规划作业
1、设某工厂自国外进口一部精密机器，由机器制造厂至出
口港有三个港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经
费最低的路线？
把A看作终点，该问题可分为4个阶段。
fk（Sk）表示从第K阶段点Sk到终点A的最短距离。
f4（Bl）=20,f4（B2）=40,f4（B3）=30
d3（Cl,B3）+
f3（Ci）=min[d3（Ci,Bi）+f4（Bi）,d3（Ci,B2）+f4（B2）,
f4（B3）]=70,U3（Ci）=B2或B3
fi（E）=110，Ui（E）=Di或D2
所以可以得到以下最短路线,
EtD-i^C-i^B2/B3^A
3；
解：
1）将问题按地区分为三个阶段，三个地区的编号分别为1、2、
2）设Sk表示为分配给第k个地区到第n个地区的销售点数,
Xk表示为分配给第k个地区的销售点数，Sk+1=Sk—Xk
Pk（Xk）表示为Xk个销售点分到第k个地区所得的利润值
fk（Sk）表示为Sk个销售点分配给第k个地区到第n个地区的最
大利润值
3）递推关系式:
fk（Sk）=max[Pk（Xk）+fk+i（Sk—Xk）]k=3,2,1
f4（S4）=0
4）从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段:
设将S3个销售点（S3=0,1,2,3,4）全部分配给第三个地区时，最
大利润值为:
f3（S3）=max[P3（X3）]其中X3=S3=0,1,2,3,4
表1
X3
S3\
P3（X3）
f3（S3）
*
X3
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
12
12
1
2
22
22
2
3
36
36
3
4
47
47
4
第二阶段:
设将S2个销售点（S2=0,1,2,3,4）分配给乙丙两个地区时，对每
一个S2值，都有一种最优分配方案，使得最大盈利值为:
f2（S2）=max[P2（X2）+f3（S2—X2）]
其中，X2=0,1,2,3,4
表2
S2・
P2（X2）+f3（S2—X2）
f2（S2）
*
X2
0
1
2
3
4
0
0
0
0
1
0+12
13+0
13
1
2
0+22
13+12
24+0
25
1
3
0+36
13+22
24+12
34+0
36
0,2
4
0+47
13+36
24+22
34+12
42+0
49
1
第一阶段:
设将S1个销售点（S1=4）分配给三个地区时，则最大利润值为:
f1（S1）=max[P1（X1）+f2（4—X1）]
其中，X1=0,1,2,3,4
表3
P1（X1）+f2（4—X1）
f1（4）
X1*
0
1
2
3
4
4
0+49
16+36
28+25
40+13
50+0
53
2,3
然后按计算表格的顺序反推，可知最优分配方案有两个：
最大总利润为53
1）由X1*=2,X2*=1,X3*=1。
即得第一个地区分得2个销
售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得1个销售点。
2）由X1*=3,X2*=1,X3*=0。
即得第一个地区分得3个销
售点，第二个地区分得1个销售点，第三个地区分得0个销售点。
3、
某施工单位有500台挖掘设备，在超负荷施工情况下，年
产值为20万元/台，但其完好率仅为0.4,在正常负荷下，年产值为
15万元/台，完好率为0.8。
在四年内合理安排两种不同负荷下施工的
挖掘设备数量，使第四年年末仍有160台设备保持完好，并使产值最高。
试求出四年内使得产值最高的施工方案和产值数。
解：
1）该问题分成四个阶段，k表示年度，k=1,2,3,4
2）设Sk表示为分配给第k年初拥有的完好挖掘设备数量,
Uk表示为第k年初分配在超负荷下施工的挖掘设备数量,
Dk（Sk）={Uk|0Sk-Uk表示为第k年初分配在正常负荷下施工的挖掘设备数量。
状态转移方程：
Sk+,=0.4Uk+0.8（Sk-Uk）,S1=500台
3）设vk（sk,uk）为第k年度的产量，则
vk=20Uk+15（Sk—Uk）
4
故指标函数为V1,4=WV佝Uk）
k=1
fk（Sk）表示由资源量Sk出发，从第k年开始到第4年结束时所生
产的产量最大。
4）递推关系式：
fk（Sk）=MAX{20Uk+15（Sk—Uk）+fk+i[0・4Uk
+0.8（Sk—Uk）]}k=1,2,3,4
5）从第4阶段开始，向前逆推计算
当k=4时,
S5=160,0.4U4+0・8（S4U4）=1602S4-U4=400U4=2S4-400
f4（S4）=MAX{20U4+15（S4—U4）+f5[0.4U4+0.8（S4-U4）]}
=MAX{5U4+15S4}=25S4-2000
当k=3时,
f3（S3）=MAX{20U3+15（S3—U3）+f4[0.4U3+0.8（S3—U3）]}
=MAX{5U3+15S3+25（0.8S3-0.4U3）-2000}
=MAX{-5U3+35S3-2000}
故得最大解U3*=0
所以f3（S3）=35S3-2000
依次类推，可求得:
U2*=0,f2（S2）=43S2-2000
U1*=0,f1（S1）=49.4S1-2000
因为S1=500台，故f1（S1）=22700台
最优策略为U1*=0,U2*=0,U3*=0,U4*=112
已知S1=500,
S2=0.4U1*+0.8（S1—U1*）=0.8S1=400
S3=0.4U2*+0.8（S2—U2*）=0.8S2=320
S4=0.4U3*+0.8（S3—U3*）=0.8S3=256
U4=2S4-400=112S4-U4=256-112=144
即前三年应把年初全部完好的挖掘设备投入正常负荷下施工，第
四年应把年初112台全部完好的挖掘设备投入超负荷下施工，144台
4、
投入正常负荷下施工。
这样最高产量为22700台。
某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单
该怎样安排四个季度的生产，才能使总的费用最小?
2+Xi
再生产点性质,
Ci（Xi）=（0八xj=072,nhi（Xi）=0.2Xi
C（1,1）=C（3）+h（0）=5C（1,2）=C（5）+h
（2）=7.4
C（1,3）=C（8）+h（5）+h（3）=11・6
C（1,4）=C（10）+h（7）+h（5）+h
（2）=14・8
C（2,2）=C
（2）+h（0）=4C（2,3）=C（5）+h（3）=7・6
C（2,4）=C（7）+h（5）+h
（2）=10・4
C（3,3）=C（3）+h（0）=5C（3,4）=C（5）+h
（2）=7.4
C（4,4）=C
（2）+h（0）=4
f0=0f1=f0+C（1,1）=5j
（1）=1
j
（2）=1
f2=min{f0+C（1,2）,f1+C（2,2）}=min{0+7・4,5+4}=7・4
f3=min{f0+C（1,3）,f1+C（2,3）,f2+C（3,3）}
=min{0+11・6,5+7・6,7・4+5}=11・6j（3）=1
F4=min{f0+C（1,4）,f1+C（2,4）,f2+C（3,4）,f3+C（4,4）}
=min{0+14・8,5+10・4,7・4+7・4,11・6+4}=14・8j（4）=1,3
当j（4）=1，X1=d1+d2+d3+d4=10,X2=0,X3=0,X4=0
当j（4）=3,X3=d3+d4=5,X4=0,X1=d1+d2=5,X2=0。
5、
某工厂生产三种产品，各产品重量与利润关系如下表所示,
安排运输使总利润最大。
现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6吨。
问如何
种类
1
2
3
重量
2
3
4
利润
80
130
180
解:
f3（6）=max^180x3+max（80x1+130x2）=max^180x3+f2（6-4x3））
x3£1
=maxS+f2（6）180中f^2
f2（6）=ma^^130x2+max（80x1））
=max{130x2十^（6-3x2）>
x2zQ,1,2
FaxS+f1⑹130+f1⑶260+仏）}
=max{240,210,260}
=260
x1=0
f2
（2）=maxi130x2+max（80x1）=max{130x2+f1（2-3x2）}
x2T
=fr
（2）
=80
x1=1
f3（6）=max{260,260}=260
x1=0,x2=2,x3=0
x1=1,x2=0,x3=1
6、某工厂在一年进行了A、B、C三种新产品试制，由于资金不
0.80，因而都研制不成功的概率为0.4X0.6X0.8=0.192。
为了促进三
种新产品的研制，决定增援2万元的研制费，并要资金集中使用，以万元为单位进行分配。
其增援研制费与新产品不成功的概率如下表所
示。
试问如何分配费用，使这三秤新产品都研制不成功的概率为最小。
新产品
1
不成功ffi率
研制费5
A
3
c
0
OJO
（UO
0血
1
OJO
"0
2
0.15
OJO
0.30
解:
1）（1分）将问题按产品A、B、C分为三个阶段，k=1、2、
3；
2）（6分）设Sk表示第k阶段可分配给第k个产品到第n个产
品的研制费，S1=2
Xk设为决策变量，表示第k阶段分配给第k个产品的研制费。
状态转移方程为Sk+1=Sk—Xk
允许决策集合：
Dk（Sk）={XkI0Pk（Xk）表示为第k个产品失败的概率
fk（Sk）表示为Sk万元研制费分配给第k个产品到第n个产品的
最小的失败概率
3）（4分）递推关系式:
fk（Sk）=min[Pk（Xk）fk+i（Sk—Xk）]k=3,2,1
边界条件：
f4（S4）=1
4）（11分）从最后一个阶段开始向前逆推计算
第三阶段:
设将S3万元研制费（S3=0,1,2）全部分配给C产品时，最小的
失败概率为:
f3（S3）=min[P3（X3）]其中X3=S3=0,1,2
\X3
P3（X3）
f3（S3）
X3*
0
1
2
0
0.80
0.80
0
1
0.50
0.50
1
2
0.30
0.30
2
X3*表示使得f3（S3）为最大值时的最优决策。
第二阶段:
设将S2万元研制费（S2=0,1,2）分配给B、C产品时，最小的
失败概率为:
f2（S2）=min[P2（X2）f3（S2-X2）]
其中，X2=0,1,2
P2（X2）ff3（S2-X2）
f2（S2）
*
X2
0
1
2
0
0.600.80
0.48
0.48
0
1
0.600.50
0.30
0.400.80
0.32
0.30
0
2
0.600.30
0.18
0.400.50
0.20
0.200.80
0.16
0.16
2
第一阶段:
设将S1万元研制费（S1=2）分配给三个产品时，最小的失败概
率为:
f1（S1）=min[P1（X1）f2（S1—X1）]
其中，X1=0,1,2
*
S\
Pi（Xi）f2（Si—Xi）
f1
（2）
*
X1
0
1
2
2
0.400.16
0.064
0.200.30
0.060
0.150.48
0.072
0.060
1
5）即分配给A产品1万元，B产品0万元，C产品1万元，可
使三个小组都失败的概率减小到0.0600
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