2.直角坐标参数情形
S=fj（0）2+（沙力
例9求星形线[“心丫的全长。
[y=as\nst
四、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
日期课时安排2
课题
§6.3定积分在物理学上的应用
教材的重
点、难点
分析
重点：
做功问题，水压力问题
难点：
结合物理意义分析，写出所求量的元素
教学目标
1•会用元素法求解变力做功
2.会用元素法求解水压力问题
3.会用元素法求解引力问题
教学方法
和
教学手段
教
学
过
程
一、变力沿直线所作的功
提示：
一个与物体位移方向一致的常力F,将物体自数轴上点"移动到点b所作之功W为
W=F{b—a）.
例1在底而积为s的圆柱形容器中盛有一泄虽的气体，在等温条件下，由于气体
的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为s）从点a处推移到点〃处，il•算在移动
过程中，气体压力所作的功.
二、水压力
教
提示：
在水深为〃处的压强卩=加（了为水比重）.
如果有一个而积为A的平板水平地放置在水深为力处，那么平板一侧所受的
学
水压力为
P=p•A=加•A・
例2—圆柱形的储水桶高为5X.底圆半径为3米，桶内盛满了水，试问要把
过
桶内的水全部吸出需作多少功？
三、引力
提示：
质量分别为“,也2且相距为广的两质点间的引力的大小为
程
厂
其中G为引力系数，引力的方向沿两质点的连线方向.
例3设有一个长度为/,线密度为Q的均匀细直棒，在其中垂线上距棒"单位处
有一质量为加的质点M,试计算该棒对质点M的引力.
四、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
日期
课时安排
2
课题
§7.1微分方程基本概念§7.2可分离变量的微分方程
教材的重
重点：
微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程的求解
点、难点
难点：
建立微分方程模型
分析
教
1.理解微分方程的槪念
学
2.理解微分方程及其解、阶
、通解、初始条件和特解等概念
目
3.掌握可分离的方程方程的解法
标
教学方法
和
教学手段
一、引例
例1一曲线通过点（1,2）,且在该曲线上任一点Ma;y）处的切线的斜率为纽求
教
这曲线的方程.
例2列车在平直线路上以20m/s（相当于72km/h）的速度行驶；当制动时列车获得加速度-O.Ws\问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里
学
行驶了多少路程？
过
二、基本概念
微分方程、常微分方程.偏微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、通解.
程
初始条件、特解、初值问题、积分曲线
例3、验证：
函数A-=ClCos^+C2sinkt是微分方程与+£S=o的解.dr
例4、已知函数eGcos灯+C?
sii谢伙hO）是微分方程与+£2*0的通解，求满足dt2
初始条件xlz=A,dz=0的特解.
三、可分离变量的微分方程
教
1、定义
2、求方程通解
例5、求微分方程——ysinx=0的通解。
学
dx
例6、求微分方程（y-l）Jx-（A>->W=0的通解。
例7、设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开
过
跳伞塔时速度为零（卩1-=0）,求降落伞下落速度与时间的函数关系。
四、习题讲解
程
片08Exl（5）（7）
五、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
日期课时安排2
课题
§7.3齐次方程：
§7.4一阶线性微分方程
教材的重点、难点分析
重点：
齐次微分方程、一阶线性微分方程的求解
难点：
y作为自变屋的一阶线性微分方程及伯努利方程的求解问题
教学目标
1.掌握齐次方程的解法
2.掌握一阶线性方程的解法
3.会解伯努利方程
4.会用简单的变量代换解某些微分方程
教学方法
和
教学手段
教
学过程
一、齐次微分方程
1.齐次微分方程定义
2.齐次微分方程的计算
提示：
令“=丄，得y=ux
X
例1解方程护+牙2叟芈
zdx-dx
例2求微分方程xy1=y（l+Iny-Ina）的通解.
二、一阶线性微分方程
1.定义
2.通解求法
常数变易法（4l5）
教
1
例1求方程（x-2）y的通解。
dx
例2求方程V.的通解「
学
dx2x-y"
例3求方程必‘2V-（x+1）5的通解。
dxx+1
过
三、伯努利方程
1.方程介绍A®
程
2.求解
例4求微分方程—+-=a（\nx）y2的通解*
dxX
四、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
日期课时安排2
课题
§7.5可降阶的髙阶微分方程
教材的重点、难点分析
重点：
三种特殊类型的高阶微分方程的求解难点：
微分方程/=f（y.y'）形式的求解
教学目标
1•会解y（w）=/U）型的微分方程
2.会解y"=型的微分方程
3.会解y"=/（y,yf）型的微分方程
教学方法
和
教学手段
教
学过程
一、y（”）=/（x）型的微分方程
解法：
积分c次
严=]7（吨+G,艸-2）=J[J/Wx+G如C2,……
例1求微分方程”"=e"cosx的通解.。
例2求微分方程y"=sinx-cosx满足初始条件y（0）=2,y'（0）=1的特解。
二、y"=/（x,f）型的微分方程
解法：
设则方程化为p'=f（X,P）-设p）的通解为尸（A-,G）,贝1」
教
牛=沁£）.原方程的通解为y=J（p（x^C］）dx+C2•
例3求微分方程（1y）^=2xy满足初始条件卩十1,/十3的特解.
学
例4设由一质量分布均匀，柔软的细绳，其两端固定，求它在自身重力作用下的曲线方程.
过
三、）'"=/（”），）型的微分方程
解法:
设宀，有y“_牛一晋夕一戸罟原方程化为p牛-设方程
程
£=/（"）的通解为畑=（y,G）,则原方程的通解为J^yc-=x+C2.
例5求微分y/严=0的通解。
四、习題讲解
P沏Ex2（5）（6）,4
五、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
4日期课时安排2
课题
§7.6高阶线性微分方程
教材的重
点、难点
分析
重点：
线性微分方程通解的结构
难点：
高阶非齐次线性微分方程解的结构
教
学目标
1.理解线性微分方程解的性质
2.掌握线性微分方程通解的结构
教学方法
和
教学手段
教
学过程
一、二阶线性微分方程举例
（叱
二、二阶线性微分方程的解的结构
定理1若x（x）与为⑴是方程⑴的两个解,则y=Ciy{（x）+C2y2（x）也
是方程
（1）的解.
注意齐次线性方程的解符合叠加原理，但是上而的解不一定是通解.
教
学
过
程
定理2如果函数儿（x）与y2（x）是微分方程
（1）的两个线性无关的特解，那么y=C^（x）+C2y2（x）（C,,C2为任意常数）
是微分方程
（1）的通解.
例1求微分方程（cosx）y"+（sinx）y'+（secx）y=0的通解.
三、二阶线性非齐次微分方程解的结构
y"+p（X）y+Q（Qy=/（x）
（2）
定理3设y\x）是微分方程
（2）的一个特解，Y（x）是与
（2）对应的线性齐次
微分方程
（1）的通解，则
>-=y（x）+
是二阶线性非齐次微分方程
（2）的通解.
例2求线性微分方程y”+y=x2的通解.
定理4设线性非齐次微分方程为
y"+P（x）yr+Q（x）y=人（x）+f2（x）
而函数><（x）与分别是微分方程
与y"+P（x）y'+Q（x）y=/2（x）
的特解，那么）四、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
日期课时安排2
课题
§7.7常系数齐次线性微分方程
教材的重
点、难点
分析
重点：
二阶常系数线性齐次微分方程的求解
难点：
髙阶常系数线性齐次微分方程的求解
教学目标
1.掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法会计算广义积分
2.了解髙阶常系数线性齐次微分方程的解法
教学方法
和
教学手段
教
学过程
一、二阶常系数线性齐次微分方程
1.方程形式（〈8）
2.方程求解
（1）写岀微分方程的特征方程尸2+/”+§=0；
（2）求出特征方程的两个根r,,r2；
（3）根据特征根的不同情况，按下表写出微分方程通解
情形1特征方程有两个不相等的实根斤Hr2,方程的通解为y=C^x+C2e^x
情形2特征方程有两个相等实根斤=5，方程的通解为F=（G+C2x）er'x.
情形3特征方程有一对共轨复根八=a+i0,r2方程的通解为
y=eax[C|cospx+C2sinfix].
教学过程
3.例题分析
例1求微分方程y"-即-3尸0的通解.
例2求方程y"+2#+尸0满足初始条件ylz=4、2的特解.
例3求微分方程y〃-2丫+5）=0的通解.
二、"阶常系数线性齐次微分方程
1.通解求法
n阶常系数线性齐次微分方程的通解为
y=C,y,+C2y2+……+Cnyn.
特征方程的根与通解中项的对应：
（1）单实根「对应于一项:
CK;
⑵一对单复根门,^a±ip对应于两项:
e〃（C|COS侏+C2Sin0v）;
（3沐重实根r对应于k项:
严（Ci+Cm+…+G占）；
⑷一对k重复根门,2=a±f0对应于2k项：
严[（Ci+C?
x+…+G.xJ：
-,）cos/?
r+（D+Dzx+…+DAAA-,）sin/?
v].
2.例题分析
例4求方程y4>-2y,,/+5y,,=0的通解
三、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
日期课时安排2
课题
§7.8常系数非齐次线性微分方程
教材的重点、难点分析
重点：
自由项为f（x）=eaxpii（x）的二阶常系数线性非齐次微分方程的解。
难点:
自由项为f（x）=严（p”，（x）sinpx+pn（x）cosJ3x）的二阶常系数线性非齐次微分方程的解。
教学目标
1•会求自由项为多项式、指数函数二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
2.会求自由项为正弦函数、余弦函数，以及它们的和二阶常系数非次线性微分方程的特解和通解。
教学方法
和
教学手段
教
学过程
二阶常系数线性非齐次微分方程y"+py1+P=fM<1）
一、f（x）=eAxPm（x）型
方程
（1）具有如下形式的特解
当2不是特征方程的根
y*=xkQm（x）eAx=<吆,©）0,当几是特征方程的单根，疋0（无）訂，当兄是特征方程的重根
其中QmM=boxm+blXm~l+......+bm_lx+bm,系数％,b、,……bm_vbm由恒
等式（3）通过比较两边x的同次幕系数求得.
教
学过程
例1求微分方程y"-2屮-3尸3x+l的一个特解.
例2求微分方程y〃-5屮+6〉=«^的通解.
二、f（x）="x[£（x）cosor+代（x）sin则微分方程
（1）的特解为
y*=xke/x[R,''（x）coscox-\-R,2'（x）sincox],
其中R；；）a）,R；Jg是X的加次多项式，m=max{/,w},而£按X+ico不是特征方程根取0,是特征方程根取1.
例3求微分方程y"+〉=xcos2r的一个特解.
例4求解方程y"—2y'+2y=/cosx的通解.
三、习题讲解
马62Exl（l）（3）（7）（9）
四、课堂小结、布置作业
课后
作业
教学
后记
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