海淀一模数学文科试题含答案Word文档下载推荐.docx
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(8)已知直线:
与圆相交于,两点,是线段中点,则到直线的距离的最大值为
(A)2(B)3(C)4(D)5
第二部分(非选择题,共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)复数____.
(10)已知点是双曲线的一个顶点,则的离心率为.
(11)在中,若,则,.
(12)某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是____.
(13)已知函数给出下列结论:
①在上是减函数;
②在上的最小值为;
③在上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)
(14)将标号为1,2,……,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出,将这些卡片中标号最大的数设为;
把每行标号最大的卡片选出,将这些卡片中标号最小的数设为.
甲同学认为有可能比大,乙同学认为和有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
已知等比数列满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)试判断是否存在正整数,使得的前项和为?
若存在,求出的值;
若不存在,说明理由.
(16)(本小题13分)
函数的部分图象如图所示,其中是函数的零点.
(Ⅰ)写出及的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
(17)(本小题13分)
流行性感冒多由病毒引起,据调查,空气相对湿度过大或过小时,都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定,当空气相对湿度大于或小于时,病毒繁殖滋生较快,当空气相对湿度在时,病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据,整理得到数据分组及频数分布表,其中为了记录方便,将空气相对湿度在时记为区间.
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
频数
15
30
50
75
120
(Ⅰ)求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率;
(Ⅱ)从区间的数据中任取两个数据,求恰有一个数据位于的概率;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组(只需写出结论).
(18)(本小题14分)
如图,四棱锥中,,,
且平面,为棱的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面;
(Ⅲ)当四面体的体积最大时,判断直线与直线是否垂直,并说明理由.
(19)(本小题14分)
已知椭圆的两个焦点为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆的右顶点,过点的直线与椭圆交于两点,直线与直线分别交于、两点.求证:
点在以为直径的圆上.
(20)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)当时,判断在上的单调性,并说明理由;
(Ⅲ)当时,求证:
,都有.
2018文科参考答案
一.选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
题号
答案
C
A
D
B
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.11.
12.13.①③14.乙
三.解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.解:
(Ⅰ)设的公比为,
因为,且,
所以,………………2分
得………………4分
所以………………6分
(Ⅱ)不存在,使得的前项和为………………7分
因为,,
所以………………10分
方法1:
令,则
得,该方程无解.………………13分
所以不存在,使得的前项和为.
方法2:
因为对任意,有,
所以………………13分
所以不存在,使得的前项和为。
16.解:
(Ⅰ)………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,………………7分
因为,
所以………………9分
当即时,的最小值为.………………11分
当即时,的最大值为.………………13分
17.解:
(Ⅰ)由已知,当空气相对湿度在时,病毒死亡较快.
而样本在上的频数为30,
所以所求频率为………………3分
(Ⅱ)设事件为“从区间的数据中任取两个数据,恰有一个数据位于”…………………….…4分
设区间中的两个数据为,区间中的三个数据为,
因此,从区间的数据中任取两个数据,
包含
共10个基本事件,…………………….…6分
而事件包含共6个基本事件,
…………………….…8分
所以.…………………….…10分
(Ⅲ)第6组.…………………….…13分
18.(Ⅰ)证明:
取线段的中点,连接.
因为为棱的中点,
所以在中,.…………………….…1分
又,,
所以.
所以四边形是平行四边形,
所以.…………………….…2分
又平面,平面,
所以平面.…………………….…4分
(Ⅱ)因为,为中点,
所以.…………………….…5分
又平面,平面,
所以.…………………….…6分
又,
所以平面.…………………….…7分
又,
所以平面.…………………….…8分
因为平面,
所以平面平面..…………………….…9分
(Ⅲ)..…………………….…10分
设,
则四面体的体积.………………….…11分
当,即时体积最大..…………………….…12分
所以..…………………….…13分
因为,
所以平面.
因为平面,
所以..…………………….…14分
19.解:
(Ⅰ)由题意,设椭圆方程为,
则.…………………….…2分
得.…………………….…4,
所以椭圆方程为.…………………….…5分
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)可得.
当直线不存在斜率时,可得
直线方程为,令得,
同理,得.
所以,
得.
所以,在以为直径的圆上..…………………….…7分
当直线存在斜率时,设方程为,、.
由可得.
显然,,.…………………….…8分
直线方程为,得,
同理,..…………………….…9分
.…………………….…10分
因为
所以.…………………….…11分
所以..…………………….…13分
所以,在以为直径的圆上..…………………….…14分
综上,在以为直径的圆上.
20.解:
(Ⅰ)当时,,
..…………………….…1分
得.…………………….…2分
又,.…………………….…3分
所以曲线在处的切线方程为.…………………….…4分
(Ⅱ)因为,
.…………………….…5分
所以..…………………….…6分
所以..…………………….…7分
所以当时,,
所以在区间单调递增..…………………….…8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,在区间单调递增,
所以时,..…………………….…9分
当时,设,
则,
随x的变化情况如下表:
x
+
极大值
所以在上单调递增,在上单调递减.…………………….…10分
因为,,
所以存在唯一的实数,使得,.…………………….…11分
且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减..…………………….…12分
又,,
所以当时,对于任意的,.
综上所述,当时,对任意的,均有.
.…………………….…13分
所以..…………………….…5分
令,
则,.…………………….…6分
.…………………….…7分
当时,.
所以时,,即,
所以在区间单调递增..…………………….…8分
当时,由(Ⅱ)可知,在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递增,在上单调递减.
.…………………….…12分
综上所述,当时,对任意的,均有..…………………….…13分