重庆中考数学第24题专题训练含答案.docx

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重庆中考数学第24题专题训练含答案

20XX年重庆中考数学第24题专题训练（含答案）（5月25日）

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．

（1）若HE=HG，求证：

△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：

∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：

过点H作HI⊥EG于I，

∵G为CH的中点，

∴HG=GC，

∵EF⊥DC，

HI⊥EF，

∴∠HIG=∠GFC=90°，

∠FGC=∠HGI，

∴△GIH≌△GFC，

∵△EBH≌△EIH（AAS），

∴FC=HI=BH=1，

∴AD=4-1=3．

2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．

（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：

BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：

F为DE中点．

证明：

（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AC=AE∠DAC=∠BAEAD=AB，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：

∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB∠DBG=∠ABCDB=AB，

∴△DGB≌△ACB（AAS），

∴DG=AC，

又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，

∴DG=AE，

在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF∠DFG=∠EFADG=EA，

∴△DGF≌△EAF（AAS），

∴DF=EF，即F为DE中点．

3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F

（1）求证：

BF=AD+CF；

（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．

（1）证明：

如图

（1），延长AD交FE的延长线于N

∵∠NDE=∠FCE=90°

∠DEN=∠FEC

DE=EC

∴△NDE≌△FCE

∴DN=CF

∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形

∴BF=AD+DN=AD+FC

（2）解：

∵AB∥EF，

∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，

又∵∠2+∠BEF=∠3，

∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，

∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，

∴EF=BF，

又∵BC+AD=7+1

∴BF+CF+AD=8

而由

（1）知CF+AD=BF

∴BF+BF=8

∴2BF=8，

∴BF=4，∴BF=EF=4

4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.

⑴求证：

△ABE≌△CFB;

⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.

解：

（1）证明：

连结CE，

在△BAE与△FCB中，

∵BA=FC，∠A=∠BCF，，AE=BC，

∴△BAE≌△FCB；

（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，

∵△BAE≌△FCB，

∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，

∴△BEF为等腰三角形，

又∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠EBG，

∴∠EBG=∠FBG，

∴BG⊥EF，

∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，

∴四边形AMGE为矩形，

∴AM=EG，

在Rt△ABM中，

AM=AB•sin60°=6×

=

，

∴EG=AM=

，

BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，

∴tan∠EBC=

5、已知：

AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点

（1）求证：

FG=FH；

（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．

（1）证明：

连接BF

∵ABCD为矩形

∴AB⊥BCAB⊥ADAD=BC

∴△ABE为直角三角形

∵F是AE的中点

∴AF=BF=BE

∴∠FAB=∠FBA

∴∠DAF=∠CBF

∵AD=BC,∠DAF=∠CBF,AF=BF,

∴△DAF≌△CBF

∴∠ADF=∠BCF

∴∠FDC=∠FCD

∴∠FGH=∠FHG

∴FG=FH；

（2）解：

∵AC=CE∠E=60°

∴△ACE为等边三角形

∴CE=AE=8

∵AB⊥BC

∴BC=BE=

=4

∴根据勾股定理AB=

∴梯形AECD的面积=

×（AD+CE）×CD=

×（4+8）×

=

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．

（1）求证：

BC=CD；

（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：

CD垂直平分EG；

（3）延长BE交CD于点P．求证：

P是CD的中点．

证明：

（1）延长DE交BC于F，

∵AD∥BC，AB∥DF，

∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．

在Rt△DCF中，

∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，

∴

=2，

即CD=2CF，

∵CD=2AD=2BF，

∴BF=CF，

∴BC=BF+CF=

CD+

CD=CD．

即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

由

（1）知BC=CD，

∵CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，

由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，

∴DE=DG，

∴C，D都在EG的垂直平分线上，

∴CD垂直平分EG．

（3）连接BD，

由

（2）知BE=DE，

∴∠1=∠2．

∵AB∥DE，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．

由

（1）知BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．

又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD（ASA）

∴DP=AD．

∵AD=

CD，∴DP=

CD．

∴P是CD的中点．

7、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：

EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

（1）证明：

∵△ADF为等边三角形，

∴AF=AD，∠FAD=60°

∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB

∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，

∵AE为公共边

∴△FAE≌△BAE

∴EF=EB

（2）过C作CQ⊥AB于Q，

∵CQ=AB=AD=6，

∵∠ABC=60°，

∴BC=6÷

=

．

8、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：

（1）∠ADF=∠BCF；

（2）AF⊥CF.

证明：

（1）在矩形ABCD中，

∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

∵F为DE中点，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠DCF，

∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，

即∠ADF=∠BCF；

（2）连接BF，

∵BE=BD，F为DE的中点，

∴BF⊥DE，

∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，

在△AFD和△BFC中AD=BC∠ADF=∠BCFCF=DF，

∴△ADF≌△BCF，

∴∠AFD=∠BFC，

∵∠AFD+∠BFA=90°，

∴∠BFC+∠BFA=90°，

即∠AFC=90°，

∴AF⊥FC．

9、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．

（1）求证：

CF=CG；

（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．

解答：

（1）证明：

连接AC，

∵DC∥AB，AB=BC，

∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，

∴∠1=∠2；

∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，

∴△ADC≌△AEC，

∴CD=CE；

∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，

∴△FDC≌△GEC，

∴CF=CG．

（2）解：

由

（1）知，CE=CD=2，

∴BE=4CE=8，

∴AB=BC=CE+BE=10，

∴在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=6，

∴在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=

由

（1）知，△ADC≌△AEC，

∴CD=CE，AD=AE，

∴C、A分别是DE垂直平分线上的点，

∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）

在Rt△AEC中，S△AEC=

AE•CE=

AC•EH，

∴EH=

=

=

∴DE=2EH=2×

=

10、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．

（1）求证：

∠BFC=∠BEA；

（2）求证：

AM=BG+GM．

证明：

（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，

在△ABE和△CBF中，

AB=BC∠ABC=∠ABCBE=BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BFC=∠BEA；

（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，

AB=AD∠DAC=∠BAC=45°AG=AG，

∴△ABG≌△ADG（SAS），

∴BG=DG，∠2=∠3，

∵BG⊥AE，

∴∠BAE+∠2=90°，

∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，

∴∠2=∠3=∠4，

∵GM⊥CF，

∴∠BCF+∠1=90°，

又∠BCF+∠BFC=90°，

∴∠1=∠BFC=∠2，

∴∠1=∠3，

在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，

∴∠DGC也是△CGH的外角，

∴D、G、M三点共线，

∵∠3=∠4（已证），

∴AM=DM，

∵DM=DG+GM=BG+GM，

∴AM=BG+GM．

11、直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．

（1）若∠DMC=45°，求证：

AD=AM．

（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．

（1）证明：

作AF⊥CD交延长线于点F．

∵∠DMC=45°，∠C=90°

∴CM=CD，

又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，

∴四边形ABCF为正方形，

∴BC=CF，

∴BM=DF，

在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AF，∠B=∠AFD=90°，BM=DF，

∴△ABM≌△AFD，

∴AD=AM．

（2）解：

把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN．

∵∠DAM=45°，

∴∠BAM+∠DAF=45°，

由旋转知∠BAM=∠NAF，∴∠DAF+∠NAF=45°，

即∠DAM=∠DAN，

由旋转知AM=AN，

∴△ADM≌△ADN，

∴DM=DN，

设BM=x，

∵AB=BC=CF=7，

∴CM=7-x

又∵CD=4，

∴DF=3，BM=FN=x，

∴MD=DN=3+x，

在Rt△CDM中，（7-x）2+42=（3+x）2，

解得：

x=

∴BM的值为

．

答：

BM的值为

．

12、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；

求证：

（1）△BCQ≌△CDP；

（2）OP=OQ．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，

∴∠2+∠3=90°，

又∵DP⊥CQ，

∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3，

在△BCQ和△CDP中，

∠B=∠PCDBC=CD∠1=∠3．

∴△BCQ≌△CDP．

（2）连接OB．

由

（1）：

△BCQ≌△CDP可知：

BQ=PC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

而点O是AC中点，

∴BO=

AC=CO，∠4=

∠ABC=45°=∠PCO，

在△BCQ和△CDP中，BQ=CP∠4=∠PCOBO=CO

∴△BOQ≌△COP，

∴OQ=OP．

13.（2011重庆市潼南,24,10分）如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

⑴求证：

AD=AE；

⑵若AD=8，DC=4，求AB的长.

解：

（1）连接AC∵AB∥CD∴∠ACD=∠BAC∵AB

=BC

∴∠ACB=∠BAC∴∠ACD=∠ACB∵AD⊥DCAE⊥BC

∴∠D=∠AEC=900∵AC=AC∴△ADC≌△AEC∴AD=AE

（2）由

（1）知：

AD=AE，DC=EC

设AB＝x,则BE=x－4，AE=8在Rt△ABE中∠AEB=900

由勾股定理得：

解得：

x=10∴AB=10

14.（2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，

，

交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

（1）证明：

；

（2）当

时，求EF的长．

解：

（1）过D作DG⊥BC于G．由已知可得，四边形ABGD为正方形．

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，∴△ADE≌△GDC．

∴DE=DC，且AE=GC．在△EDF和△CDF中，∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF

≌△CDF．

∴EF=CF．

（2）∵tan∠ADE=

=

，∴

．设

，则

，BE=6－2=4.

由勾股定理，得　

．解之，得　

，即

．

15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC于G，BH⊥DC于H，CH=DH，点E在AB上，点F在BC上，并且EF∥DC．

（1）若AD=3，CG=2，求CD；

（2）若CF=AD+BF，求证：

EF=

CD．

（1）解：

连BD，如图，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，∴四边形ABGD为矩形，∴AD=BG=3，AB=DG，又∵BH⊥DC，CH=DH，∴△BDC为等腰三角形，∴BD=BG+GC=3+2=5，在Rt△ABD中，AB=

=

=4，∴DG=4，在Rt△DGC中，∴DC=

=

=2

．

（2）证明：

∵CF=AD+BF，∴CF=BG+BF，∴FG+GC=BF+FG+BF，即GC=2BF，∵EF∥DC，∴∠BFE=∠GCD，∴Rt△BEF∽Rt△GDC，∴EF：

DC=BF：

GC=1：

2，∴EF=

DC．

16.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=

，CF=6．

（1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：

∠BCH=45°-

∠EBC．

（1）解：

连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=

，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=

，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．

（2）证明：

∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由

（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由

（1）得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=

∠BCD=

=

．