B题在油价波动情况下的生产计划.docx
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B题在油价波动情况下的生产计划
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
*****
参赛队员（打印并签名）：
1.陈**
2.李*
3.吴**
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
赵**老师
日期：
2012年6月10日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
题目在油价波动情况下的生产计划
摘要
本题为油价波动情况下的生产最优化模型，可以用许多优化软件来规划，在实际生产过程中，企业只有充分考虑各方面因素，才能使成本最小，利润最大，才能有竞争力。
我们从各个方面分析了问题一到问题五，对生产计划进行了充分的研究使生产成本最小。
，
问题一：
要求在不考虑柴油价波动情况下使该厂全年生产费用最小，生产费用包括柴油费、其他成本以及储存费，运用lindo规划软件可以轻松求解。
问题二：
要求考虑柴油价波动的实际情况，只需在问题一的基础上对柴油费用进行相应改动，重新运用lindo规划软件求解即可。
问题三：
要求不考虑柴油价波动，需求量服从正态分布，可以运用matlab软件画出正态分布图来观察，并运用《统计与概率》的相应知识在问题一的基础上对约束条件进行修改，重新应用lindo软件进行灵敏度分析求解。
问题四：
考虑柴油价波动，收集数据运用matlab拟合函数,并运用残差分析法分析函数拟合的可靠性，并预测2012年柴油价格，又因需求量服从正态分布，故只需在问题三的基础上修改目标函数即可。
问题五：
考虑到其他成本中有25%是物流成本，收集数据运用matlab软件拟合柴油价格变动幅度与物流价格变动幅度的线性模型，改变目标函数中的其他成本重新运用lindo软件对问题一到三求解。
由于，柴油价格变动幅度影响着物流价格变动幅度，故让第一季度的物流成本固定为3.25万元，其他季度的物流成本根据汽油增减幅度确定。
关键词：
lindo线性规划matlab数值拟合残差分析法回归分析法
一、问题重述
某市某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供A万,B万,C万,D万台同一规格的机器。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的产品当季不交货，每万台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。
生产成本表
第一季度A
第二季度B
第三季度C
第四季度D
生产能力（万台）
25
35
30
10
需求（万台）
10
15
25
20
每万台耗0号柴油（升）
1000
800
800
1000
其他成本（万元/万台）
13
12
12
10
1.不考虑油价波动（四个季度的油价都一样），建立一个数学模型，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。
2.考虑油价格波动的实际情况，收集2011年某市（自己选定某一城市或加油站）0号柴油变化情况，重新对问题一建立数学模型，要使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。
3.若根据以往经验，由于市场需求的变化，各季度需求是正态随机变量，若第一季度需求服从
，第二季度需求服从
，第三季度需求服从
，第四季度需求服从
，请在此假设下，不考虑柴油价格，可以容忍2.5%的缺货的概率情况下，对该厂的2012年生产计划作出安排。
4.收集近几年的0号柴油价格波动数据，不考虑柴油价格对其他成本的影响，对2012年的柴油价格作预测，并以此来对问题3作出计划安排。
5.若考虑到柴油价格对其他成本的影响，收集柴油价格与物流价格的数据，建立柴油价格变动幅度与物流价格波动幅度之间的数学模型，若其他成本中有25%是物流成本，在此假设下分别重新考虑问题1-3。
2、模型基本假设
1.工厂去年没有存货，即第1季度初无存货。
2.从费用最小考虑,第4季度不能有库存。
3.工厂在生产过程中，生产能力不受季节、天气等环境因素的影响只取决于工时,且合格率稳定，每天的生产是稳定的。
4.每季度末的库存量等于下季度初的库存量，且积压下来的机器各方面性能保持完好，不影响出售。
5.问题五中第一季度的物流成本固定为0.25×13=3.25万元，其他季度的物流成本根据汽油增减幅度确定。
3、变量及符号说明
xi：
第i季度的产品生产数（单位：
万台）
yi：
第i季度末的产品剩余（单位：
万台）
Ai：
第i季度的产品需求（单位：
万台）
wi：
第i季度每万台的其他成本中的物流成本（单位：
万元）
四、问题分析
4.1问题一中,在不考虑油价波动，需求量是固定的情况下，是简单的线性规划问题，我们决定根据目标函数和约束条件运用lindo规划软件规划求解。
问题二中，由于考虑柴油价波动的实际情况，且需求量是固定的，只需在问题1的基础上对目标函数中柴油价格进行相应改动，重新运用lindo软件求解即可。
问题三中，不考虑柴油价波动，需求量服从正态分布，并且可以容忍缺货的概率为2.5%，反面意思就是需求量的概率要大于97.5%，运用《概率与统计》学的知识，对正态分布进行标准化，查表即可知相应的需求量，从而只需在问题一的基础上对约束条件进行修改，重新建立优化模型即可。
问题四中，要考虑柴油价波动，收集数据运用matlab软件拟合函数，并画出残差图，对残差进行分析，对模型进行改进，增加模型的可信度，并在此基础上预测2012年柴油价格，又要求需求量服从正态分布，只需在问题三的基础上修改目标函数的柴油费用，重新求解即可。
4.2问题五要求对问题1到3的重新求解，考虑到其他成本中有25%是物流成本，收集数据建立柴油价格变动幅度与物流价格变动幅度的线性模型，问题1到3只需更改目标函数中其他成本一项，75%的其他成本是不变的。
第一季度的物流成本固定为0.25×13万元，其他季度的物流成本根据汽油增减幅度确定。
五、模型建立和求解
5.1模型建立
5.1.1问题一
经过分析可以知道该厂的生产成本由每季度的柴油成本（可用全年平均柴油价格代替）、其他成本、储存维护成本组成，故在lindo规划软件中目标函数为：
Min0.715x1+0.572x2+0.572x3+0.715x4+13x1+12x2+12x3+10x4+0.15y1+0.15y2+0.15y3
每季度产量xi与储存量yi应满足如下约束条件
s.t.
x1-y1>10
x2-y2+y1>15
x3-y3+y2>25
x4+y3>20
x1<=25
x2<=35
x3<=30
x4<=10
x1>0
x2>0
x3>0
x4>0
5.1.2问题二
考虑油价格波动的实际情况，收集2011年天津市0号柴油变化情况，如下表：
表
（1）2011年天津市0号柴油变化情况
第1季度
第2季度
第3季度
第4季度
全年均价
6.95
7.26
7.32
7.06
7.15
如上表所示重新对问题一建立数学模型，使使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。
，故问题二目标函数如下：
min0.6948x1+0.5811x2+0.5856x3+0.7060x4+13x1+12x2+12x3+10x4+0.15y1+0.15y2+0.15y3
每季度产量xi与储存量yi应满足如下约束条件（同问题一）
s.t.
x1-y1>10
x2-y2+y1>15
x3-y3+y2>25
x4+y3>20
x1<=25
x2<=35
x3<=30
x4<=10
x1>0
x2>0
x3>0
x4>0
5.1.3问题三
运用matlab画图软件画出A1、A2、A3、A4的正态分布图
先考虑第一季度，第一季度需求服正态分布，将其标准化，由概率知识知道当A1<=0的概率为：
而概率太小可忽略不计，为了问题求解方便，故可当做完整图像出理，易知若取A1=10时，则可以容忍50%的缺货的概率，故A1应该取大于10的数，使得可以容忍2.5%的缺货的概率，当
时，查表得
，
则A1>=13.2。
同理分析可得第二、三、四季度Ai<=0的概率均为0.0000003，问题处理同第一季度得出，A2>=20.88，A3>=34.8,A4>=27.81,A1>=13.2.
同样，由于该厂的生产成本由每季度的柴油成本、其他成本、储存维护成本组成，故在lindo中目标函数可表示如下：
min0.715x1+0.572x2+0.572x3+0.715x4+13x1+12x2+12x3+10x4+0.15y1+0.15y2+0.15y3
约束条件只需改变需求量即可：
s.t.
x1-y1>13.92
x2-y2+y1>20.88
x3-y3+y2>34.8
x4+y3>27.84
x1<=25
x2<=35
x3<=30
x4<=10
x1>0
x2>0
x3>0
x4>0
5.1.4问题四
我们把天津市作为被调查城市，并收集了最近3年来数据求得每一季度0号柴油平均价格，如下表：
表
（2）
天津市
0号柴油季度均价（元/升）
2009.1
4.81
2009.2
4.96
2009.3
5.73
2009.4
5.90
2010.1
6.16
2010.2
6.42
2010.3
6.16
2010.4
6.16
2011.1
6.94
2011.2
7.26
2011.3
7.32
2011.4
7.06
并运用matlab画出散点图，如下图所示：
我们估计天津市0号柴油季度均价曾线性正相关分布并运用matlab软件对图形进行回归分析得到最小二乘法拟合系数的结果为:
线性拟合Y=0.2155x+4.8391
当X=13、14、15、16分别代表2012年第1季度第2季度第3季度第4季度
表（3）
时间
第1季度
第2季度
第3季度
第4季度
0号柴油拟合价（元/每升）
7.6406
7.8561
8.0716
8.2871
统计量stats值
0.8881
79.3286
0.0000
0.0837
由模型统计量stats只可以知道，Y=0.2155x+4.8391的模型拟合程度为88.81%，F值为79.3286，模型拟合的还是比较好的，但是还不是很好，于是我们对模型进行改进：
开根号拟合y=1.0090x^0.5+3.7806
X=13、141516分别代表2012年第1季度第2季度第3季度第4季度
表（4）
时间
第1季度
第2季度
第3季度
第4季度
0号柴油拟合价（元/每升）
7.4186
7.5559
7.6884
7.8166
统计量stats值
0.9131
105.0652
0.0000
0.0650
经过改进，我们看到模型的拟合程度为91.31%好于88.81%，模型的F值为105.0652明显好于79.3286。
下图为拟合效果对比：
我们还分别对线性拟合和开根号拟合的残差进行分析
分别如下图：
线性拟合残差图
开根号拟合残差图
可见，残差分布比较均匀，没有异常点。
因此我们选着开根号模型对2012年每个季度柴油价格进行估价，并运用lindo规划软件对模型求解，只需要对问题三目标函数中的柴油费用进行修改，约束条件不变求解即可。
5.1.5问题五
因为只是考虑到其他成本中有25%是物流成本，这当中的物流成本受到柴油价格的影响，而其他成本中的75%不受影响，因此只要收集物流价格和柴油价格的数据，建立两者的关系，针对问题1至3，只需改变线性优化模型的目标函数，其约束条件不需要改变。
我们用Matlab中一阶多项式曲线拟合函数polyfit编写程序拟合汽油变化幅度与物流成本[3]变化幅度的关系图（如下图）得到
物流价格变化幅度=0.7302柴油价格变化幅度+0.0129
（1）重新分析问题一
由于假定2011年第一季度的物流成本w1=13*0.25=3.25为已知的固定值，从而可以通过计算柴油价格变动幅度，带入到拟合方程中求出其他季度的物流价格变化幅度，从而求出其他季度的波动物流成本。
物流价格变化幅度=0.7302汽油价格变化幅度+0.0129
W1=13*0.25=3.25
W2=w1*（1+0.0617978）=3.45084
w3=w2*（1-0.010582）=3.41433
w4=w3*（1+0.0005347）=3.41615
改变问题一的目标函数中其他成本，约束条件不变，重新运用lindo软件求解，程序如下：
min0.715x1+0.572x2+0.572x3+0.715x4+9.75x1+9x2+9x3+7.5x4+3.25x1+3.45084x2+3.41433x3+3.41615x4+0.15y1+0.15y2+0.15y3
约束条件同问题一。
（2）重新分析问题二
在新问题一的基础上，新目标函数中各个季度的柴油价格取查询计算的均值
新目标函数为：
min0.6948x1+0.5811x2+0.5856x3+0.7060x4+9.75x1+9x2+9x3+7.5x4+3.25x1+3.45084x2+3.41433x3+3.41615x4+0.15y1+0.15y2+0.15y3
约束条件同问题二变。
（3）重新分析问题三
我们通过问题三开根号模型预测2012年天津市的柴油价格，算出柴油价格变化幅度和物流价格变化幅度从而估计出2012年物流成本，如下表格所示：
表（5）
时间
柴油价格
柴油变化幅度
物流变化幅度
物流成本
2011年第四季度
7.06
0
0
3.41615
2012年第一季度
7.4186
0.426
0.32397
4.52288
2012年第二季度
7.5559
0.1373
0.113156
5.03467
2012年第三季度
7.6884
0.1325
0.10965
5.58672
2012年第四季度
7.8166
0.1282
0.10651
6.18176
物流价格变化幅度=0.7302柴油价格变化幅度+0.0129
目标函数修改如下：
min0.715x1+0.572x2+0.572x3+0.715x4+9.75x1+9x2+9x3+7.5x4+4.52288x1+5.03467x2+5.58672x3+6.18176x4+0.15y1+0.15y2+0.15y3
约束条件如同问题三。
重新运用lindo规划软件进行灵敏度分析求解。
5.2模型求解
5.2.1问题一
由于不考虑柴油价格波动，我们选取天津市作为调查城市，由表
（1）数据可知天津市2011年四个季度0号柴油均值价格7.15元/升，运行lindo程序，结果为：
1）875.1500
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X110.0000000.000000
X220.0000000.000000
X330.0000000.000000
X410.0000000.000000
Y10.0000001.293000
Y25.0000000.000000
Y310.0000000.000000
可知费用最小为875.1500万元
其中x1=10万台x2=20万台x3=30万x4=10万台
Y1=0万台Y2=5万台Y1=10万台
故该厂生产安排为第一季度生产10万台柴油机，第二季度生产20万台，第三季度生产30万台，第四季度生产10万台，使得生产总成本最小，为875.15万元。
5.2.2问题二
由于考虑到柴油价格波动，我们选取天津市作为调查城市，由表
（1）数据可知天津市2011年四个季度0号柴油均值价格分别为6.95元/升、7.26元/升、7.32元/升、7.06元/升，运行lindo程序，结果为：
1）875.4480
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X110.0000000.000000
X220.0000000.000000
X330.0000000.000000
X410.0000000.000000
Y10.0000001.263700
Y25.0000000.000000
Y310.0000000.000000
可知费用最小为875.4480万元
其中x1=10万台x2=20万台x3=30万x4=10万台
Y1=0万台Y2=5万台Y1=10万台
故该厂生产安排为第一季度生产10万台柴油机，第二季度生产20万台，第三季度生产30万台，第四季度生产10万台，使得生产总成本最小，为875.4480万元。
5.2.3问题三
运用lindo运行程序结果知:
1）1239.445
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X122.4400010.000000
X235.0000000.000000
X330.0000000.000000
X410.0000000.000000
Y18.5200000.000000
Y222.6399990.000000
Y317.8400000.000000
其中可安排x1=22.44万台x2=35万台x3=30万x4=10万台
Y1=8.25万台Y2=22.64万台Y1=17.84万台
可使全年费用最小为1239.445万元
故该厂生产安排为第一季度生产22.44万台柴油机，第二季度生产35万台，第三季度生产30万台，第四季度生产10万台，使得生产总成本最小为1239.445万元。
模型改进
如果还有其他条件引起变化还可以对模型进行灵敏度分析，微调结果。
灵敏度分析运行结果如下：
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X113.715000INFINITY1.293000
X212.5720011.293000INFINITY
X312.5720011.443000INFINITY
X410.7150003.450000INFINITY
Y10.150000INFINITY1.293000
Y20.150000INFINITY1.443000
Y30.150000INFINITY3.450000
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
213.9200002.56000022.440001
320.8799992.5600008.520000
434.7999992.5600008.520000
527.8400002.5600008.520000
625.000000INFINITY2.560000
735.0000008.5200002.560000
830.0000008.5200002.560000
910.0000008.5200002.560000
100.00000022.440001INFINITY
110.00000035.000000INFINITY
120.00000030.000000INFINITY
130.00000010.000000INFINITY
5.2.4问题四
运用lindo运行程序结果知:
1）1243.143
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X122.4400010.000000
X235.0000000.000000
X330.0000000.000000
X410.0000000.000000
Y18.5200000.000000
Y222.6399990.000000
Y317.8400000.000000
其中可安排x1=22.44万台x2=35万台x3=30万x4=10万台
Y1=8.25万台Y2=22.64万台Y1=17.84万台
可使全年费用最小为1243.143万元
故该厂生产安排为第一季度生产22.44万台柴油机，第二季度生产35万台，第三季度生产30万台，第四季度生产10万台，使得生产总成本最小为1243.143万元。
模型改进
如果还有其他条件引起变化还可以对模型进行灵敏度分析，微调结果。
灵敏度分析运行结果如下：
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X113.741860INFINITY1.287388
X212.6044721.287388INFINITY
X312.6150721.426788INFINITY
X410.7816603.410200INFINITY
Y10.150000INFINITY1.287388
Y20.150000INFINITY1.426788
Y30.150000INFINITY3.410200
RIGHTHANDSIDERANGES
ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE
RHSINCREASEDECREASE
213.9200002.56000022.440001
320.8799992.5600008.520000
434.7999992.5600008.520000
527.8400002.5600008.520000
625.000000INFINITY2.560000
735.0000008.5200002.560000
830.0000008.5200002.560000
910.0000008.5200002.560000
100.00000022.44000
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